理論力學(xué)-第2章-基本力系

2基本力系§2-1匯交力系的合成現(xiàn)實(shí)生活中往往有許多力的作用線匯交于一點(diǎn)。我們把這樣的力系稱(chēng)為匯交力系。幾何法設(shè)F1、F2、F3和F4為一組匯交力系作用于剛體上。xyzF1F2F3F4F1F2F3F4R12R123RabcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4稱(chēng)多邊形abcde

為力多邊形，R為封閉邊。R=R123+F4=R12+F3+F4=F1+F2+F3+F4

推廣得： R

=F1+F2+…FN=ΣFiOxyz

ijkXiFiFi=X

ii+Y

ij+Z

ikR=F1+F2+…+FN=ΣF

i=(ΣXi)i+(ΣY

i)j+(ΣZ

i)k又由

R=Rxi+

Ryj+Rz

k得：Rx=ΣX

i;

Ry

=ΣY

i;Rz=ΣZi顯然，合力的大小方向余弦

cos(R

,i)=R

x/R;

cos(R

,

j)=R

y/R;

cos(R

,

k)=R

z/R

R

=把空間中的力Fi向三個(gè)坐標(biāo)軸投影，

分別為Xi、Y

i和Zi。XiZiYiZiYiXiZiYi解析法Oxyz§2-2匯交力系的平衡條件F1F2F3F1F2F3R12abcdF4R123F4設(shè)F1、F2、F3和F4為作用于剛體上的一組匯交力系，使剛體平衡。由二力平衡條件知：要使剛體保持平衡，需滿足

R123+

F4=0又因?yàn)镽123=F1+F2+F3所以R=R123+

F4=F1+F2+F3+F4=0a力多邊形自行封閉了。O匯交力系平衡的解析條件：ΣX

i=0;ΣY

i=0;Σ

Zi

=0推廣前述的證明可得匯交力系平衡的充要條件：

R

=F1+F2+…+FN=0即

ΣF

i=0匯交力系平衡的幾何條件：

力多邊形自行封閉。

結(jié)論由

R

==0ABFhRαOP圖示石磙重P=20kN，半徑R=0.6m，障礙物高h(yuǎn)=0.08m。求（1）水平力F=5kN時(shí)磙對(duì)地面和對(duì)障礙物的壓力；（2）欲將磙拉過(guò)障礙物F

沿什么方向拉最省力，此力為多大？例2-1解：(1)首先受力分析cosα

=(R-h)/R

=0.866故α=30°再畫(huà)力多邊形

(見(jiàn)后續(xù)）FAFB按比例量得：

FA=11.4kN，F(xiàn)B=10kNFPαPαFFFBFminFmin

=Psinα=P/2=10kN(2)例2-1（續(xù)）FFFFBFAFB對(duì)于手算，在列平衡方程時(shí)，往往將第一個(gè)投影量作為正投影。對(duì)以后的投影量則認(rèn)為：與第一個(gè)量方向同，取正號(hào)，否則，取負(fù)號(hào)。ABCEDααβP∑Z=0，Scosβ+P’=0 S=-P’/cosβ=-1414N∑X=0，TCsinα-TDsinα=0 TC=TD∑Y=0，TC

cosα+TD

cosα+Ssinβ=0

TC

=Ssinβ/(2cosα)=559

NzxyTCSP’例2-2重為P

的物體受無(wú)重桿AB和繩索AC、AD

的支承（ACD位于同一水平面內(nèi)）。已知P=1000N,β=45°,CE=ED=12cm，EA=24cm，求繩索的拉力和桿所受到的力。解：以節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，取坐

標(biāo)軸如圖TDSTCTDS受力分析，假定AB桿受拉P’P’TDTCxyO平面匯交力系的特殊情形1、力在軸上的投影

根據(jù)力在某軸上的投影等于力的模乘以力與投影軸正向間夾角的余弦。對(duì)于正交軸Oxy，有

F=Xi+Y

j必須注意，力在軸上的投影X、Y

為代數(shù)量（力與軸間的夾角為銳角時(shí)，其值為正），而力沿兩軸的分量是矢量。在兩軸相互不正交時(shí)，分力在數(shù)值上不等于投影。2、平面問(wèn)題的平衡條件∑X=0，∑Y=0事實(shí)上，兩坐標(biāo)軸并不要求一定相互垂直，只要兩軸不平行即可。（思考）XYFyFxF分力投影XYFyFx分力投影求圖示結(jié)構(gòu)支座A、B的反力。

各桿的自重忽略，且∠

ABC=∠BAC=30

。例2-3CABPFFBFA解：法一，取坐標(biāo)軸如圖并做受力分析∑X=0,FAcos30°－FB

cos30°+F=0∑Y=0,(FA+FB

)Sin30°－P=0yxFBFAFBFAFBFA聯(lián)立求解，便可解出FA

和FB（這里暫不解）

CABPFFBFA例2-3續(xù)法二，取坐標(biāo)軸如圖x∑X=0,FB

cos30°－Pcos30°－Fcos60°=0∑Y=0,

FA

cos30°+Fcos60°－Pcos30°=0y顯見(jiàn)，x

和y

軸并不相互正交，而求解反而方便了?！?-3力對(duì)點(diǎn)的矩nO1.

力對(duì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力對(duì)點(diǎn)的矩來(lái)度量

a.平面力系的力對(duì)同平面中的點(diǎn)之矩hOABF假設(shè)力作用在圖示平面內(nèi)，且O點(diǎn)也在此平面內(nèi)，則力F對(duì)O點(diǎn)的矩為

MO

(F

)=±Fh

或：

MO

(F

)=±2△OAB

力使物體繞矩心逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。

O——稱(chēng)為矩心

h——稱(chēng)為力臂單位：Nm或kNmhOABhOABhOABrFFnnnnhABMO(F)rhABMO(F)r空間力系中力對(duì)點(diǎn)的矩需用矢量表示：hABOzxyMO(F)矩的矢量記作MO(F)，且

MO

(F)=

r×F——定位矢量b.空間力系中的力對(duì)點(diǎn)的矩2）矢量的方位與力和矩心組成的平面的法向同，矩心為矢起端；3）矢量的指向確定了轉(zhuǎn)向，按右手法則。r1）矢量的模等于力矩的大??；hABMO(F)r顯然|M

O(F)|=Fh=2△OABF見(jiàn)后續(xù)力對(duì)點(diǎn)的矩為零的條件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r

與F

共線，即力通過(guò)矩心；2）F=0力對(duì)點(diǎn)的矩采用行列式可得如下形式：由：

r

=xi+y

j+zk

和

F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k2.

合力矩定理設(shè)r

為矩心到匯交點(diǎn)的矢徑，R

為F1、F2、…、Fn的合力，即：R

=F1+F2+…+Fn

可得：MO

(R)=r×R=r×(F1+F2+…+Fn

)

=r×F1+r×

F2

+…+r×Fn

=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO

(F

n

)也就是：匯交力系的合力對(duì)點(diǎn)的矩等于該力系所有分力對(duì)同一點(diǎn)的矩的矢量和。證：§2-4力偶理論1.力偶與力偶矩力偶——由兩個(gè)等值、反向且不共線的平行力系組成。記作（F，F(xiàn)

’）這一矢量稱(chēng)作力偶矩矢1）其長(zhǎng)度表示力偶矩大??；dFF’BA兩個(gè)力組成的平面稱(chēng)

力偶作用面兩個(gè)力間的垂距

d稱(chēng)為

力偶臂空間力系因力偶作用面的方位可能各不相同，故把力偶用矢量表示。M2）方位與作用面法方向方位n同。3）指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋法則。nMdddMnMMnMMnM按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可以平行搬移，且不需確定矢的初端位置。為進(jìn)一步說(shuō)明力偶矩矢為自由矢，顯示力偶的等效性質(zhì)，可以證明：ndFF’BAMnM∵F=-F’顯見(jiàn)力偶矩的大小為M為自由矢M為自由矢M為自由矢M為自由矢Oa.力偶矩矢是自由矢力偶對(duì)空間任一點(diǎn)的矩都相等，即等于力偶矩矢。證：如圖求力偶（F，F(xiàn)’）對(duì)任意點(diǎn)，如O

點(diǎn)的矩。畫(huà)出O點(diǎn)到二力作用點(diǎn)A、B的矢徑所以，力偶對(duì)空間任意點(diǎn)的矩矢與矩心無(wú)關(guān)。b.平面力偶系的力偶若在所研究的問(wèn)題中，所有的力偶都作用在同一平面內(nèi)，則稱(chēng)為平面力偶系。FF’BACd將平面力偶系的力偶記作M(F,F’)，簡(jiǎn)稱(chēng)

M

。力偶矩為代數(shù)量

即：M=±Fd=±2△ACB一般以逆時(shí)針為正，反之為負(fù)，單位與力矩相同。預(yù)備知識(shí)（兩平行力的合力）前面已經(jīng)證明了力偶矩矢為自由矢，后面將再?gòu)牧硪粋€(gè)角度說(shuō)明力偶的性質(zhì)，使同學(xué)們有一個(gè)較直觀的理解。為此，先看看兩平行力的合力。以一對(duì)大小相等且同向的平行力為例。兩個(gè)方向相反的平行力有合力嗎？作用于剛體上的兩力偶，若它們的力偶矩矢相等，則此二力偶等效。——力偶等效定理2.力偶的性質(zhì)性質(zhì)一證：分兩部分加以證明（1）力偶作用面可平行移動(dòng)而不改變力偶對(duì)剛體的效應(yīng)。（2）在同平面內(nèi)的兩力偶，若力偶矩相等，

兩力偶對(duì)剛體的作用彼此等效。等效eabdc證：設(shè)==-Fd力的作用線分別相交于a、b兩點(diǎn)，等效地移至a、b兩點(diǎn)，力=-2△acb∵兩三角形同底等高∴△aeb=△acb

得：=-Fd=的力偶臂也為d∴

F1=F將

=-2△aeb和分別分解性質(zhì)一的實(shí)質(zhì)（1）力偶在其作用面內(nèi)只要力偶矩不變（即力與力偶臂的積不變），它就可以隨意的轉(zhuǎn)移，也可以增大力的同時(shí)減小力偶臂（或減小力的同時(shí)增大力偶臂），不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。（2）力偶的作用面可以隨意平行搬移，不改變它對(duì)剛體的作用效應(yīng)。性質(zhì)一實(shí)質(zhì)的圖解不同平面力偶等效

平行搬移性質(zhì)二

力偶不能與一個(gè)力相平衡。證：用反證法。即假設(shè)平衡力存在。1、平衡力與力偶作用面平行。由性質(zhì)一知總可以轉(zhuǎn)動(dòng)力偶和平行搬移力偶作用面使三力有兩個(gè)交點(diǎn)，這與平衡匯交定理相矛盾。2、平衡力與力偶作用面不平行。仍由性質(zhì)一知總可以轉(zhuǎn)動(dòng)力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的一個(gè)力與所謂的平衡力合成為一個(gè)大小及方位都與力偶的另一個(gè)力不同的力,這與二力平衡原理相矛盾。性質(zhì)三 力偶沒(méi)有合力。證：

仍用反證法，即假定力偶有合力，那么總可找到一個(gè)與此力大小相等，方向相反而作用線共線的力與此力平衡，即力與力偶相平衡。與性質(zhì)二矛盾。

性質(zhì)一、二和三告訴我們力偶只能與力偶等效而不能與單個(gè)力等效。力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡力偶只能與力偶相平衡3.力偶系的合成任意個(gè)力偶可以合成為一個(gè)合力偶，這個(gè)合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=

M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2RBABA證：

設(shè)有n個(gè)力偶，由性質(zhì)一,總可得到兩個(gè)匯交力系，匯交點(diǎn)分別為A和B。證畢。4.力偶系的平衡條件在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和。

M=M1+M2+…+Mn

=∑Mi由合成結(jié)果可知：力偶系平衡的充分必要條件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。平面力偶系平衡條件：三鉸剛架由兩直角剛架組成，AC部分上作用一力偶，其力偶矩為M，自重不計(jì)，且a:c=b:a，求A、B支座的反力。例2-4MACMbcaACBCBAC為對(duì)象，∑M=0,考慮CB部分為二力構(gòu)件，得：解： 由

a:c=b:a知：AC⊥CB，受力分析CBA圖示機(jī)構(gòu)自重不記。圓輪上的銷(xiāo)子A放在搖桿

BC上的光滑導(dǎo)槽內(nèi)。M

1=2kNm，OA=r=0.5m。圖示位置OA⊥OB，α=30°，且系統(tǒng)平衡。求作用于搖桿BC上力偶的矩M

2及O、B支座的反力。αAOα例2-5M2M

1αBACαBACOrM2M1解：受力分析ABAO

先以輪為對(duì)象，∑M=0，M1-FArsinα=0M2αBACαAOαM

1再以搖桿為研究對(duì)象，由力偶平衡條件∑M=0，M2=4M1=8kNmM

1=2kNm，OA=r=0.5m本章小結(jié)1、匯交力系的合力（1）幾何法求合力

R=F1+F2+…FN=Σ

Fi（2）解析法求合力方向余弦

cos(R,

i)=Rx/R

cos(R,

j)=Ry/R