第三章概率論課件

2023/2/51概率論基礎(chǔ)2第二章隨機(jī)變量及其分布

內(nèi)容：

1、隨機(jī)變量

2、離散型隨機(jī)變量及其分布

3、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布3§1隨機(jī)變量*

常見的兩類試驗(yàn)結(jié)果：示數(shù)的——降雨量；候車人數(shù)；發(fā)生交通事故的次數(shù)…示性的——明天天氣（晴，多云…）；化驗(yàn)結(jié)果（陽(yáng)性，陰性）…esxX=f(e)－－為S上的單值函數(shù)，X為實(shí)數(shù)*

中心問題：將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化*

定義：隨試驗(yàn)結(jié)果而變的量X稱為隨機(jī)變量*

常見的兩類隨機(jī)變量離散型的連續(xù)型的離散型隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量X的所有可能取值可以一一列舉，即所有可能取值為有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)，則稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量：若隨機(jī)變量X的所有可能取值為某一區(qū)間，則稱隨機(jī)變量X為連續(xù)型隨機(jī)變量§2離散型隨機(jī)變量及其分布1.離散型隨機(jī)變量定義：離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值及其相對(duì)應(yīng)的概率值的全體稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱分布，或者概率函數(shù)。離散型隨機(jī)變量的概率分布的表示方法：1）解析法：隨機(jī)變量X的形如的概率表達(dá)式，稱為X的概率分布律。2）列表法：將離散型隨機(jī)變量的所有值及相對(duì)應(yīng)的概率值列成一種概率分布表。3）圖示法：借助坐標(biāo)系，將離散型變量X的概率分布用圖表示。6

離散量的概率分布(分布圖)樣本空間S＝{X=x1，X=x2，…，X=xn，…}由于樣本點(diǎn)兩兩不相容1、寫出可能取值——即寫出了樣本點(diǎn)2、寫出相應(yīng)的概率——即寫出了每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率…………#

概率分布X123456P1/61/61/61/61/61/6離散型均勻分布：X01P0.950.05X0123P0.10.60.10.210

例：某人騎自行車從學(xué)校到火車站，一路上要經(jīng) 過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú)立，且設(shè) 各燈為紅燈的概率為p，0<p<1，以X表示首次 停車時(shí)所通過(guò)的交通燈數(shù)，求X的概率分布律。pX0123pp(1-p)(1-p)2p(1-p)3

解： 設(shè)Ai={第i個(gè)燈為紅燈}，則P(Ai)=p，i=1,2,3

且A1,A2,A3相互獨(dú)立。11

兩個(gè)主要的離散型隨機(jī)變量若一個(gè)試驗(yàn)的樣本空間只有兩個(gè)可能結(jié)果：稱之為貝努利試驗(yàn)

Xpq01p(p+q=1)定義：1）兩點(diǎn)分布（0—1分布）2）二項(xiàng)分布n次重復(fù)獨(dú)立的貝努利試驗(yàn)稱為n重貝努利試驗(yàn)，或稱為貝努利概型。二項(xiàng)分布：如果在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生了k次的概率為：14

例：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路上 要經(jīng)過(guò)3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數(shù)。

(1)求Y的概率分布律；

(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。

解：這是三重貝努利試驗(yàn)

15

例：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p，

0<p<1，設(shè)命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：這是n重貝努利試驗(yàn)同時(shí)可知：上式的意義為：若p較小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗(yàn)中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。16

例：有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下：先作第一次檢驗(yàn)， 從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大 于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，從中任取5件，僅當(dāng)5件 中無(wú)次品便接受這批產(chǎn)品，設(shè)產(chǎn)品的次品率為p． 求這批產(chǎn)品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)

解： 設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2次抽得的次品數(shù)； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}與{Y=j}獨(dú)立。A={接受該批}。17

泊松分布(Poisson分布)若隨機(jī)變量X的概率分布律為稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記例：設(shè)某汽車停靠站候車人數(shù)

(1)求至少有兩人候車的概率；

(2)已知至少有兩人候車，求恰有兩人候車的概率。解：1819§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)20

例：

解：pX01qp01q121§4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義：對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)若存在 非負(fù)的函數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù)有：其中稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，

三連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布1.連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)23連續(xù)型隨機(jī)變量在某一點(diǎn)取值的概率為0（1）要驗(yàn)證該函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)，只要驗(yàn)證滿足密度函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：所以，該函數(shù)是某個(gè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)。26

例：設(shè)X的概率密度為

(1)求常數(shù)c的值；(2)

寫出X的概率分布函數(shù)；

(3)要使 求k的值。解：272、幾個(gè)重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

1）均勻分布定義：若隨機(jī)變量X具有概率密度為

稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為例在某公交車始發(fā)站上，每隔6分鐘發(fā)車，使得所有候車乘客都能上車離去，一位乘客候車時(shí)間X分鐘是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，它服從區(qū)間[0,6]上的均勻分布，求：1）任選1位乘客候車時(shí)間超過(guò)5分鐘的概率；2）任選4位乘客中恰好有2位乘客候車時(shí)間超過(guò)5分鐘的概率。292）指數(shù)分布定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布。記為303）正態(tài)分布定義：如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中

為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布(Gauss分布)，記為可以驗(yàn)算：31稱μ為位置參數(shù)(決定對(duì)稱軸位置)

σ為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)X的取值呈中間多，兩頭少，對(duì)稱的特性。第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1

若離散型隨機(jī)變量X概率分布為X…P…則把和數(shù)叫做隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望或均值，記為E(X)，即隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望反映了X取值的平均值。例1求兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望。解兩點(diǎn)分布列為X01Pqp例2

甲乙兩工人，在一天中生產(chǎn)的廢品數(shù)是一隨機(jī)變量，其分布列如下：0123P0.40.30.20.1012P0.30.50.2假定兩人日產(chǎn)量相等，問誰(shuí)的技術(shù)好？解根據(jù)分布列很難判斷兩人誰(shuí)的技術(shù)好，只有看他們的平均廢品數(shù)，故得2.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，則稱例3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)是求E(X).例4求指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望。解指數(shù)分布密度函數(shù)為所以3.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1E(C)=C(C為常數(shù))性質(zhì)2E(kX)=kE(X)(k是常數(shù))性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5例5離散型隨機(jī)變量X的概率分布如下表：X234P0.20.50.3求隨機(jī)變量Y=2X+3的數(shù)學(xué)期望。解根據(jù)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有題意知二、隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望只描述取值的平均值，但不能揭示隨機(jī)變量取值偏離平均值大小，也就是隨機(jī)變量的分散程度。1、離散型隨機(jī)變量的方差定義如果離散型隨機(jī)變量X的分布列為則把和數(shù)稱為隨機(jī)變量X的方差，記作，即注：由于E(X)是一個(gè)數(shù)，所以也是一個(gè)隨機(jī)變量，由期望的定義可知，隨機(jī)變量的取值與其對(duì)應(yīng)概率的乘積之和，就是隨機(jī)變量的期望，即也即，隨機(jī)變量X的方差D(X)等于隨機(jī)變量的均值。定義：隨機(jī)變量x的方差的算術(shù)根，稱為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差），記為，即根據(jù)均值的性質(zhì)，可得例甲、乙兩射手在一次射擊中的得分分別為隨機(jī)變量X、Y，其分布列為X0123P(X=k)0.60.150.130.12Y0123P(Y=k)0.50.250.20.05試比較他們射擊水平的高低。解先計(jì)算均值再來(lái)計(jì)算方差2.連續(xù)型隨機(jī)變量的方差定義如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的