第三章(2) 多維隨機(jī)變量及其分布

第三章多維隨機(jī)變量及其分布§5隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、最大最小值的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布方法：分兩步1、找出Z所有可能的取值；2、求出Z取每一個可能值的概率是多大。設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為求隨機(jī)變量的分布律。例1設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立且都服從參數(shù)為p的分布，已知矩陣為正定矩陣的概率為1/8，求（1）參數(shù)p的值；（2）隨機(jī)變量的分布律。例2設(shè)X與Y相互獨(dú)立,且求的分布律。二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為，求隨機(jī)變量的概率密度。方法：分布函數(shù)法先求分布函數(shù)，再求概率密度。隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)為隨機(jī)變量Z的密度函數(shù)為例1設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為令求Z的分布函數(shù)及密度函數(shù)。例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為（1）求；（2）求的概率密度。（2007）例3設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為求:(I)的邊緣概率密度(II)的概率密度(2005)y=2x例4設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求的概率密度。1、若且X與Y相互獨(dú)立，則結(jié)論：2、若且X與Y相互獨(dú)立，則3、若且相互獨(dú)立，則例5在一簡單電路中，兩電阻和串聯(lián)連接，設(shè)與相互獨(dú)立，它們的概率密度均為求總電阻的概率密度。例6設(shè)X與Y相互獨(dú)立,且服從同一分布,其概率密度為求的概率密度。三、最大最小值的分布設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的分布函數(shù)分別為記隨機(jī)變量M的分布函數(shù)為若獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)為，此時，隨機(jī)變量M的分布函數(shù)為三、最大最小值的分布設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的分布函數(shù)分別為記隨機(jī)變量N的分布函數(shù)為若獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)為，此時，隨機(jī)變量N的分布函數(shù)為例1某系統(tǒng)L由兩個子系統(tǒng)A與B聯(lián)接組成,聯(lián)接的方式有三種(1)A與B串聯(lián);(2)A與B并聯(lián);(3)A與B一個工作一個備用.已知子系統(tǒng)A,B的壽命X,Y均服從指數(shù)分布,其概率密度分別為其中常數(shù)且設(shè)系統(tǒng)L的壽命為Z,分別求三種情況下,L的壽命Z的概率密度.例2設(shè)X,Y相互獨(dú)立，同服從(0,2)上的均勻分布，例5設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，且則例2設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，X的概率分布為Y的密度分布為記（1）求（2）求Z的概率密度。例4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且X服從參數(shù)為p的幾何分布,即(1)U=X+Y的分布函數(shù)；(2)V=XY的分布函數(shù)。第三章小結(jié)主要內(nèi)容一、二維隨機(jī)變量的定義設(shè)E是一個隨機(jī)試驗，其樣本空間為，設(shè)是定義在S上的兩個隨機(jī)變量，則由它們構(gòu)成的一個向量稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)1、聯(lián)合分布函數(shù)的定義稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)(或稱聯(lián)合分布函數(shù)).設(shè)是二維隨機(jī)變量,對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)性質(zhì)1對任意的有且有性質(zhì)2是變量x和y的單調(diào)非降函數(shù);2、聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4對任意的x(或y)都是右連續(xù)的,即對任意的均有性質(zhì)3對任意的總有且1、二維離散型隨機(jī)變量的定義如果二維隨機(jī)變量的所有可能取的值是有限對或若及的全部不同的可能取值分別為則的全部可能取值為:2、二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布三、二維離散型隨機(jī)變量及其分布可列無限對,則稱是離散型隨機(jī)變量.稱概率函數(shù)為二維離散型隨機(jī)變量的(聯(lián)合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯(lián)合分布列)稱概率函數(shù)為二維離散型隨機(jī)變量的(聯(lián)合)概率分布(律).或列表為(概率分布也稱為聯(lián)合分布列)(1)(2)3、概率分布的性質(zhì)4、二維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為則有進(jìn)行的。這個求和式是對滿足及的一切下標(biāo)i和j1、聯(lián)合概率密度的定義對于二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，如果存在一個二元非負(fù)值函數(shù)使得對任意有則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量.稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù).（簡稱聯(lián)合密度函數(shù)或聯(lián)合密度）四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布2、聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)（1）（2）具有性質(zhì)(1),(2)的二元函數(shù)f(x,y),必是某個注:二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)。（3）設(shè)R為xoy平面內(nèi)任一區(qū)域,則有（4）在的連續(xù)點處，有五、邊緣分布1、邊緣分布函數(shù)若二隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為，則隨機(jī)變量（X,Y）關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為同理有2、邊緣分布律設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為則隨機(jī)變量X的邊緣分布律為同理隨機(jī)變量Y的邊緣分布律為3、邊緣概率密度設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為,聯(lián)合概率密度函數(shù)為。于是，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為得X的密度函數(shù)為同理可得隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)為密度函數(shù)為1、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為六、條件分布2、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布在條件下,連續(xù)型隨機(jī)變量X的條件密度函數(shù)為:條件分布函數(shù)為在條件下,連續(xù)型隨機(jī)變量Y的條件密度函數(shù)為:條件分布函數(shù)為1、隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義設(shè)是兩個隨機(jī)變量,若對任意實數(shù)都有則稱隨機(jī)變量X與Y是(相互)獨(dú)立的.七、隨機(jī)變量的獨(dú)立性2、二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件X與Y相互獨(dú)立3、離散型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件2、二維隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件X與Y相互獨(dú)立4、連續(xù)型隨機(jī)變量相互獨(dú)立的充要條件八、隨機(jī)變量函數(shù)的分布1、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布方法：分兩步1、找出Z所有可能的取值；2、求出Z取每一個可能值的概率是多大。設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為求隨機(jī)變量的分布律。2、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為，求隨機(jī)變量的概率密度。方法：分布函數(shù)法先求分布函數(shù)，再求概率密度。隨機(jī)變量Z的分布函數(shù)為隨機(jī)變量Z的密度函數(shù)為3、最大最小值的分布設(shè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的分布函數(shù)分別為記隨機(jī)變量M，N的分布函數(shù)為若獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)為，此時，隨機(jī)變量M，N的分布函數(shù)為4、二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布.記為其中為常數(shù)，且。結(jié)論:則若九、關(guān)于正態(tài)分布的一些重要結(jié)論則若1、2、二元正態(tài)分布的條件分布仍是正態(tài)分布。則X與Y相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)。若3、習(xí)題選講2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球。以X表示取到黑球的只數(shù)，Y表示取到紅球的只數(shù)。求X和Y的聯(lián)合分布律。3.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為（1）確定常數(shù)k；（2）求；（3）求；（4）求；4.將一枚硬幣擲3次，以X表示前2次中出現(xiàn)H的次數(shù)，以Y表示3次中出現(xiàn)H的次數(shù)。求X，Y的聯(lián)合分布律及邊緣分布律。6.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求邊緣概率密度。7.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為（2）邊緣概率密度。（1）試確定常數(shù)c;9.以X記某醫(yī)院一天出生的嬰兒的個數(shù)，Y記其中男嬰的個數(shù)，設(shè)X和Y的聯(lián)合分布律為（1）求邊緣分布律；（2）求條件分布律；（3）特別，寫出當(dāng)時，Y的條件分布律。解隨機(jī)變量X的分布律為(利用二項式定理)9.以X記某醫(yī)院一天出生的嬰兒的個數(shù)，Y記其中男嬰的個數(shù)，設(shè)X和Y的聯(lián)合分布律為（1）求邊緣分布律；（2）求條件分布律；（3）特別，寫出當(dāng)時，Y的條件分布律。解隨機(jī)變量Y的分布律為(利用)12.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為求條件概率密度。14.設(shè)X和Y是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在(0,1)上服從均勻分布，Y的概率密度為（1）求X和Y的聯(lián)合概率密度；（2）試求二次方程為有實根的概率。進(jìn)行打靶，設(shè)彈著點A(X,Y)的坐標(biāo)X和Y相互獨(dú)立，且都服從分布，規(guī)定點A落在區(qū)域得2分；點A落在得1分；點A落在得0分。以Z記打靶的得分。寫出X,Y的聯(lián)合概率密度，并求Z的分布律。19.設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為（1）問X與Y是否相互獨(dú)立；（2）求的概率密度。21.設(shè)隨機(jī)