新高考數學二輪復習專題38 由函數零點或方程根的個數求參數范圍問題 (教師版)_第1頁
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專題38由函數零點或方程根的個數求參數范圍問題【例題選講】[例1]已知函數f(x)=x2+eq\f(2,x)-alnx(a∈R).(1)若f(x)在x=2處取得極值,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)當a>0時,若f(x)有唯一的零點x0,求[x0].注:[x]表示不超過x的最大整數,如[0.6]=0,[2.1]=2,[-1.5]=-2.(參考數據:ln2=0.693,ln3=1.099,ln5=1.609,ln7=1.946)[規(guī)范解答](1)∵f(x)=x2+eq\f(2,x)-alnx,∴f′(x)=eq\f(2x3-ax-2,x2)(x>0),由題意得f′(2)=0,則2×23-2a-2=0,a=7,經驗證,當a=7時,f(x)在x=2處取得極值,∴f(x)=x2+eq\f(2,x)-7lnx,f′(x)=2x-eq\f(2,x2)-eq\f(7,x),∴f′(1)=-7,f(1)=3,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-3=-7(x-1),即7x+y-10=0.(2)令g(x)=2x3-ax-2(x>0),則g′(x)=6x2-a,由a>0,g′(x)=0,可得x=eq\r(\f(a,6)),∴g(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\r(\f(a,6))))上單調遞減,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(a,6)),+∞))上單調遞增.由于g(0)=-2<0,故當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\r(\f(a,6))))時,g(x)<0,又g(1)=-a<0,故g(x)在(1,+∞)上有唯一零點,設為x1,從而可知f(x)在(0,x1)上單調遞減,在(x1,+∞)上單調遞增,由于f(x)有唯一零點x0,故x1=x0,且x0>1,則g(x0)=0,f(x0)=0,可得2lnx0-eq\f(3,x\o\al(3,0)-1)-1=0.令h(x)=2lnx-eq\f(3,x3-1)-1(x>1),易知h(x)在(1,+∞)上單調遞增,由于h(2)=2ln2-eq\f(10,7)<2×0.7-eq\f(10,7)<0,h(3)=2ln3-eq\f(29,26)>0,故x0∈(2,3),[x0]=2.[例2]已知函數f(x)=xex-eq\f(1,2)a(x+1)2.(1)若a=e,求函數f(x)的極值;(2)若函數f(x)有兩個零點,求實數a的取值范圍.[破題思路]第(1)問求f(x)的極值,想到求f′(x)=0的解,然后根據單調性求極值;第(2)問求實數a的取值范圍,想到建立關于a的不等式,給出函數f(x)的解析式,并已知f(x)有兩個零點,利用f(x)的圖象與x軸有兩個交點求解.[規(guī)范解答](1)由題意知,當a=e時,f(x)=xex-eq\f(1,2)e(x+1)2,函數f(x)的定義域為(-∞,+∞),f′(x)=(x+1)ex-e(x+1)=(x+1)(ex-e).令f′(x)=0,解得x=-1或x=1.當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表所示:x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f′(x)+0-0+f(x)極大值-eq\f(1,e)極小值-e所以當x=-1時,f(x)取得極大值-eq\f(1,e);當x=1時,f(x)取得極小值-e.(2)法一:分類討論法f′(x)=(x+1)ex-a(x+1)=(x+1)(ex-a),若a=0,易知函數f(x)在(-∞,+∞)上只有一個零點,故不符合題意.若a<0,當x∈(-∞,-1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減;當x∈(-1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增.由f(-1)=-eq\f(1,e)<0,且f(1)=e-2a>0,當x→-∞時,f(x)→+∞,所以函數f(x)在(-∞,+∞)上有兩個零點.若lna<-1,即0<a<eq\f(1,e),當x∈(-∞,lna)∪(-1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(lna,-1)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.又f(lna)=alna-eq\f(1,2)a(lna+1)2<0,所以函數f(x)在(-∞,+∞)上至多有一個零點,故不符合題意.若lna=-1,即a=eq\f(1,e),當x∈(-∞,+∞)時,f′(x)≥0,f(x)單調遞增,故不符合題意.若lna>-1,即a>eq\f(1,e),當x∈(-∞,-1)∪(lna,+∞)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增;當x∈(-1,lna)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減.又f(-1)=-eq\f(1,e)<0,所以函數f(x)在(-∞,+∞)上至多有一個零點,故不符合題意.綜上,實數a的取值范圍是(-∞,0).法二:數形結合法令f(x)=0,即xex-eq\f(1,2)a(x+1)2=0,得xex=eq\f(1,2)a(x+1)2.當x=-1時,方程為-e-1=eq\f(1,2)a×0,顯然不成立,所以x=-1不是方程的解,即-1不是函數f(x)的零點.當x≠-1時,分離參數得a=eq\f(2xex,(x+1)2).記g(x)=eq\f(2xex,(x+1)2)(x≠-1),則g′(x)=eq\f((2xex)′(x+1)2-[(x+1)2]′·2xex,(x+1)4)=eq\f(2ex(x2+1),(x+1)3).當x<-1時,g′(x)<0,函數g(x)單調遞減;當x>-1時,g′(x)>0,函數g(x)單調遞增.當x=0時,g(x)=0;當x→-∞時,g(x)→0;當x→-1時,g(x)→-∞;當x→+∞時,g(x)→+∞.故函數g(x)的圖象如圖所示.作出直線y=a,由圖可知,當a<0時,直線y=a和函數g(x)的圖象有兩個交點,此時函數f(x)有兩個零點.故實數a的取值范圍是(-∞,0).[題后悟通]利用函數零點的情況求參數范圍的方法(1)分離參數(a=g(x))后,將原問題轉化為y=g(x)的值域(最值)問題或轉化為直線y=a與y=g(x)的圖象的交點個數問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解;(2)利用零點的存在性定理構建不等式求解;(3)轉化為兩個熟悉的函數圖象的位置關系問題,從而構建不等式求解[例3]已知函數f(x)=ex-2x-1.(1)求曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程;(2)設g(x)=af(x)+(1-a)ex,若g(x)有兩個零點,求實數a的取值范圍.[規(guī)范解答](1)由題意知f′(x)=ex-2,k=f′(0)=1-2=-1,又f(0)=e0-2×0-1=0,∴f(x)在(0,f(0))處的切線方程為y=-x.(2)g(x)=ex-2ax-a,g′(x)=ex-2a.當a≤0時,g′(x)>0,∴g(x)在R上單調遞增,不符合題意.當a>0時,令g′(x)=0,得x=ln(2a),在(-∞,ln(2a))上,g′(x)<0,在(ln(2a),+∞)上,g′(x)>0,∴g(x)在(-∞,ln(2a))上單調遞減,在(ln(2a),+∞)上單調遞增,∴g(x)極小值=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-a=a-2aln(2a).∵g(x)有兩個零點,∴g(x)極小值<0,即a-2aln(2a)<0,∵a>0,∴l(xiāng)n(2a)>eq\f(1,2),解得a>eq\f(\r(e),2),∴實數a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(e),2),+∞)).[例4]已知函數f(x)=lnx-ax2+x,a∈R.(1)當a=0時,求曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程;(2)討論f(x)的單調性;(3)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.[規(guī)范解答](1)當a=0時,f(x)=lnx+x,f(e)=e+1,f′(x)=eq\f(1,x)+1,f′(e)=1+eq\f(1,e),∴曲線y=f(x)在點(e,f(e))處的切線方程為y-(e+1)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,e)))(x-e),即y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)+1))x.(2)f′(x)=eq\f(1,x)-2ax+1=eq\f(-2ax2+x+1,x),x>0,①當a≤0時,顯然f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調遞增;②當a>0時,令f′(x)=eq\f(-2ax2+x+1,x)=0,則-2ax2+x+1=0,易知其判別式為正,設方程的兩根分別為x1,x2(x1<x2),則x1x2=-eq\f(1,2a)<0,∴x1<0<x2,∴f′(x)=eq\f(-2ax2+x+1,x)=eq\f(-2a(x-x1)(x-x2),x),x>0.令f′(x)>0,得x∈(0,x2);令f′(x)<0,得x∈(x2,+∞),其中x2=eq\f(1+\r(8a+1),4a),∴函數f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1+\r(8a+1),4a)))上單調遞增,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+\r(8a+1),4a),+∞))上單調遞減.(3)法一:由(2)知,①當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,至多一個零點,不符合題意;②當a>0時,函數f(x)在(0,x2)上單調遞增,在(x2,+∞)上單調遞減,∴f(x)max=f(x2).要使f(x)有兩個零點,需f(x2)>0,即lnx2-axeq\o\al(2,2)+x2>0,又由f′(x2)=0得axeq\o\al(2,2)=eq\f(1+x2,2),代入上面的不等式得2lnx2+x2>1,解得x2>1,∴a=eq\f(1+x2,2x\o\al(2,2))=eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x\o\al(2,2))+\f(1,x2)))<1.下面證明:當a∈(0,1)時,f(x)有兩個零點.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))=lneq\f(1,e)-ae-2+eq\f(1,e)<0,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))=lneq\f(2,a)-a·eq\f(4,a2)+eq\f(2,a)<eq\f(2,a)-a·eq\f(4,a2)+eq\f(2,a)=0(∵lnx<x).又x2=eq\f(1+\r(8a+1),4a)<eq\f(1+\r(8+1),4a)=eq\f(1,a)<eq\f(2,a),且x2=eq\f(1+\r(8a+1),4a)=eq\f(2,\r(8a+1)-1)>eq\f(2,\r(8+1)-1)=1>eq\f(1,e),f(x2)=lnx2-axeq\o\al(2,2)+x2=eq\f(1,2)(2lnx2+x2-1)>0,∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),x2))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2,\f(2,a)))上各有一個零點.∴a的取值范圍為(0,1).法二:函數f(x)有兩個零點,等價于方程a=eq\f(lnx+x,x2)有兩解.令g(x)=eq\f(lnx+x,x2),x>0,則g′(x)=eq\f(1-2lnx-x,x3).由g′(x)=eq\f(1-2lnx-x,x3)>0,得2lnx+x<1,解得0<x<1,∴g(x)在(0,1)單調遞增,在(1,+∞)單調遞減,又當x≥1時,g(x)>0,當x→0時,g(x)→-∞,∴作出函數g(x)的簡圖如圖,結合函數值的變化趨勢猜想:當a∈(0,1)時符合題意.下面給出證明:當a≥1時,a≥g(x)max,方程至多一解,不符合題意;當a≤0時,方程至多一解,不符合題意;當a∈(0,1)時,geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))<0,∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))-a<0,geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))=eq\f(a2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(2,a)+\f(2,a)))<eq\f(a2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)+\f(2,a)))=a,∴geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))-a<0.∴方程在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),1))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(2,a)))上各有一個根,∴f(x)有兩個零點.∴a的取值范圍為(0,1).[例5](2017·全國Ⅰ)已知函數f(x)=ae2x+(a-2)·ex-x.(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.[規(guī)范解答](1)f(x)的定義域為(-∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).(ⅰ)若a≤0,則f′(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調遞減.(ⅱ)若a>0,則由f′(x)=0得x=-lna.當x∈(-∞,-lna)時,f′(x)<0;當x∈(-lna,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,-lna)單調遞減,在(-lna,+∞)單調遞增.(2)(ⅰ)若a≤0,由(1)知,f(x)至多有一個零點.(ⅱ)若a>0,由(1)知,當x=-lna時,f(x)取得最小值,最小值為f(-lna)=1-eq\f(1,a)+lna.①當a=1時,由于f(-lna)=0,故f(x)只有一個零點;②當a∈(1,+∞)時,由于1-eq\f(1,a)+lna>0,即f(-lna)>0,故f(x)沒有零點;③當a∈(0,1)時,1-eq\f(1,a)+lna<0,即f(-lna)<0.又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(-∞,-lna)有一個零點.設正整數n0滿足n0>lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)-1)),則f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>2n0-n0>0.由于lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)-1))>-lna,因此f(x)在(-lna,+∞)有一個零點.綜上,a的取值范圍為(0,1).[例6]已知a∈R,函數f(x)=ex-ax(e=2.71828…是自然對數的底數).(1)若函數f(x)在區(qū)間(-e,-1)上是減函數,求實數a的取值范圍;(2)若函數F(x)=f(x)-(ex-2ax+2lnx+a)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))內無零點,求實數a的最大值.[規(guī)范解答](1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a且f′(x)在R上單調遞增.若f(x)在區(qū)間(-e,-1)上是減函數,只需f′(x)≤0在(-e,-1)上恒成立.因此只需f′(-1)=e-1-a≤0,解得a≥eq\f(1,e).又當a=eq\f(1,e)時,f′(x)=ex-eq\f(1,e)≤0,當且僅當x=-1時取等號.所以實數a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),+∞)).(2)由已知得F(x)=a(x-1)-2lnx,且F(1)=0,則F′(x)=a-eq\f(2,x)=eq\f(ax-2,x)=eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(2,a))),x),x>0.①當a≤0時,F′(x)<0,F(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減,結合F(1)=0知,當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))時,F(x)>0.所以F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))內無零點.②當a>0時,令F′(x)=0,得x=eq\f(2,a).若eq\f(2,a)≥eq\f(1,2),即a∈(0,4]時,F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上是減函數.又x→0時,F(x)→+∞.要使F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))內無零點,只需Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=-eq\f(a,2)-2lneq\f(1,2)≥0,則0<a≤4ln2.若eq\f(2,a)<eq\f(1,2),即a>4時,則F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(2,a)))上是減函數,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a),\f(1,2)))上是增函數.所以F(x)min=Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))=2-a-2lneq\f(2,a),令φ(a)=2-a-2lneq\f(2,a),則φ′(a)=-1+eq\f(2,a)=eq\f(2-a,a)<0.所以φ(a)在(4,+∞)上是減函數,則φ(a)<φ(4)=2ln2-2<0.因此Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)))<0,所以F(x)在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))內一定有零點,不合題意,舍去.綜上,函數F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))內無零點,應有a≤4ln2,所以實數a的最大值為4ln2.【對點訓練】1.(2018·全國Ⅱ)已知函數f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,證明:當x≥0時,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一個零點,求a.1.解析(1)當a=1時,f(x)≥1等價于(x2+1)e-x-1≤0.設函數g(x)=(x2+1)e-x-1,則g′(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.當x≠1時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)單調遞減.而g(0)=0,故當x≥0時,g(x)≤0,即f(x)≥1.(2)設函數h(x)=1-ax2e-x.當且僅當h(x)在(0,+∞)只有一個零點時,f(x)在(0,+∞)只有一個零點.①當a≤0時,h(x)>0,h(x)沒有零點;②當a>0時,h′(x)=ax(x-2)e-x.當x∈(0,2)時,h′(x)<0;當x∈(2,+∞)時,h′(x)>0.所以h(x)在(0,2)單調遞減,在(2,+∞)單調遞增.故h(2)=1-eq\f(4a,e2)是h(x)在[0,+∞)的最小值.1)若h(2)>0,即a<eq\f(e2,4),h(x)在(0,+∞)沒有零點;2)若h(2)=0,即a=eq\f(e2,4),h(x)在(0,+∞)只有一個零點;3)若h(2)<0,即a>eq\f(e2,4),由于h(0)=1,所以h(x)在(0,2)有一個零點.由(1)知,當x>0時,ex>x2,所以h(4a)=1-eq\f(16a3,e4a)=1-eq\f(16a3,e2a2)>1-eq\f(16a3,2a4)=1-eq\f(1,a)>0.故h(x)在(2,4a)有一個零點.因此h(x)在(0,+∞)有兩個零點.綜上,f(x)在(0,+∞)只有一個零點時,a=eq\f(e2,4).2.設函數f(x)=lnx+x.(1)令F(x)=f(x)+eq\f(a,x)-x(0<x≤3),若F(x)的圖象上任意一點P(x0,y0)處切線的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立,求實數a的取值范圍;(2)若方程2mf(x)=x2有唯一實數解,求正數m的值.2.解析(1)∵F(x)=lnx+eq\f(a,x),x∈(0,3],∴F′(x)=eq\f(1,x)-eq\f(a,x2)=eq\f(x-a,x2),∴k=F′(x0)=eq\f(x0-a,x\o\al(2,0)),∵F(x)的圖象上任意一點P(x0,y0)處切線的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立,∴k=eq\f(x0-a,x\o\al(2,0))≤eq\f(1,2)在x0∈(0,3]上恒成立,∴a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)x\o\al(2,0)+x0))max,x0∈(0,3],當x0=1時,-eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)+x0取得最大值eq\f(1,2),∴a≥eq\f(1,2),即實數a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)).(2)∵方程2mf(x)=x2有唯一實數解,∴x2-2mlnx-2mx=0有唯一實數解.設g(x)=x2-2mlnx-2mx,則g′(x)=eq\f(2x2-2mx-2m,x).令g′(x)=0,則x2-mx-m=0.∵m>0,∴Δ=m2+4m>0,∵x>0,∴x1=eq\f(m-\r(m2+4m),2)<0(舍去),x2=eq\f(m+\r(m2+4m),2),當x∈(0,x2)時,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上單調遞減,當x∈(x2,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)單調遞增,當x=x2時,g′(x2)=0,g(x)取最小值g(x2).∵g(x)=0有唯一解,∴g(x2)=0,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′(x2)=0,,g(x2)=0,))即xeq\o\al(2,2)-2mlnx2-2mx2=xeq\o\al(2,2)-mx2-m,∴2mlnx2+mx2-m=0,∵m>0,∴2lnx2+x2-1=0.(*)設函數h(x)=2lnx+x-1,∵當x>0時,h(x)是增函數,∴h(x)=0至多有一解.∵h(1)=0,∴方程(*)的解為x2=1,即1=eq\f(m+\r(m2+4m),2),解得m=eq\f(1,2).3.函數f(x)=ax+xlnx在x=1處取得極值.(1)求f(x)的單調區(qū)間;(2)若y=f(x)-m-1在定義域內有兩個不同的零點,求實數m的取值范圍.3.解析(1)由題意知,f′(x)=a+lnx+1(x>0),f′(1)=a+1=0,解得a=-1,當a=-1時,f(x)=-x+xlnx,即f′(x)=lnx,令f′(x)>0,解得x>1;令f′(x)<0,解得0<x<1.∴f(x)在x=1處取得極小值,f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+∞),單調遞減區(qū)間為(0,1).(2)y=f(x)-m-1在(0,+∞)上有兩個不同的零點,可轉化為f(x)=m+1在(0,+∞)上有兩個不同的根,也可轉化為y=f(x)與y=m+1的圖象有兩個不同的交點,由(1)知,f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,f(x)min=f(1)=-1,由題意得,m+1>-1,即m>-2,①當0<x<1時,f(x)=x(-1+lnx)<0;當x>0且x→0時,f(x)→0;當x→+∞時,顯然f(x)→+∞.如圖,由圖象可知,m+1<0,即m<-1,②由①②可得-2<m<-1.故實數m的取值范圍為(-2,-1).4.設函數f(x)=-x2+ax+lnx(a∈R).(1)當a=-1時,求函數f(x)的單調區(qū)間;(2)設函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),3))上有兩個零點,求實數a的取值范圍.4.解析(1)函數f(x)的定義域為(0,+∞),當a=-1時,f′(x)=-2x-1+eq\f(1,x)=eq\f(-2x2-x+1,x),令f′(x)=0,得x=eq\f(1,2)(負值舍去),當0<x<eq\f(1,2)時,f′(x)>0;當x>eq\f(1,2)時,f′(x)<0,∴f(x)的單調遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2))),單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞)).(2)令f(x)=-x2+ax+lnx=0,得a=x-eq\f(lnx,x),令g(x)=x-eq\f(lnx,x),其中x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),3)),則g′(x)=1-eq\f(\f(1,x)·x-lnx,x2)=eq\f(x2+lnx-1,x2),令g′(x)=0,得x=1,當eq\f(1,3)≤x<1時,g′(x)<0;當1<x≤3時,g′(x)>0,∴g(x)的單調遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),1)),單調遞增區(qū)間為(1,3],∴g(x)min=g(1)=1,由于函數f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3),3))上有兩個零點,geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))=3ln3+eq\f(1,3),g(3)=3-eq\f(ln3,3),3ln3+eq\f(1,3)>3-eq\f(ln3,3),∴實數a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1,3-\f(ln3,3))).5.已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)討論f(x)的單調性;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.5.解析(1)f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①設a≥0,則當x∈(-∞,1)時,f′(x)<0;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.②設a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).若a=-eq\f(e,2),則f′(x)=(x-1)(ex-e),所以f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增.若a>-eq\f(e,2),則ln(-2a)<1,故當x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)時,f′(x)>0;當x∈(ln(-2a),1)時,f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上單調遞增,在(ln(-2a),1)上單調遞減.若a<-eq\f(e,2),則ln(-2a)>1,故當x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)時,f′(x)>0;當x∈(1,ln(-2a))時,f′(x)<0.所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上單調遞增,在(1,ln(-2a))上單調遞減.(2)①設a>0,則由(1)知,f(x)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b滿足b<0且b<lneq\f(a,2),則f(b)>eq\f(a,2)(b-2)+a(b-1)2=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2-\f(3,2)b))>0,所以f(x)有兩個零點.②設a=0,則f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一個零點.③設a<0,若a≥-eq\f(e,2),則由(1)知,f(x)在(1,+∞)上單調遞增.又當x≤1時,f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點;若a<-eq\f(e,2),則由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a))上單調遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調遞增.又當x≤1時,f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點.綜上,a的取值范圍為(0,+∞).6.已知函數f(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R.(1)討論函數f(x)的單調區(qū)間;(2)若f(x)有兩個零點,求a的取值范圍.6.解析(1)f′(x)=ex+(x-1)ex+2ax=x(ex+2a).①若a≥0,則當x>0時,f′(x)>0;當x<0時,f′(x)<0.故函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.②當a<0時,由f′(x)=0,解得x=0或x=ln(-2a).(ⅰ)若ln(-2a)=0,即a=-eq\f(1,2),則?x∈R,f′(x)=x(ex-1)≥0,故f(x)在(-∞,+∞)上單調遞增;(ⅱ)若ln(-2a)<0,即-eq\f(1,2)<a<0,則當x∈(-∞,ln(-2a))∪(0,+∞)時,f′(x)>0;當x∈(ln(-2a),0)時,f′(x)<0.故函數f(x)在(-∞,ln(-2a)),(0,+∞)上單調遞增,在(ln(-2a),0)上單調遞減.(ⅲ)若ln(-2a)>0,即a<-eq\f(1,2),則當x∈(-∞,0)∪(ln(-2a),+∞)時,f′(x)>0;當x∈(0,ln(-2a))時,f′(x)<0.故函數f(x)在(-∞,0),(ln(-2a),+∞)上單調遞增,在(0,ln(-2a))上單調遞減.(2)①當a>0時,由(1)知,函數f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增.因為f(0)=-1<0,f(2)=e2+4a>0,取實數b滿足b<-2且b<lna,則f(b)>a(b-1)+ab2=a(b2+b-1)>a(4-2-1)>0,所以f(x)有兩個零點;②若a=0,則f(x)=(x-1)ex,故f(x)只有一個零點.③若a<0,由(1)知,當a≥-eq\f(1,2)時,則f(x)在(0,+∞)上單調遞增,又當x≤0時,f(x)<0,故f(x)不存在兩個零點;當a<-eq\f(1,2)時,則f(x)在(-∞,0),(ln(-2a),+∞)上單調遞增;在(0,ln(-2a))上單調遞減.又f(0)=-1,故不存在兩個零點.綜上所述,a的取值范圍是(0,+∞).7.已知函數f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a.(1)當a=1時,求f(x)的單調區(qū)間.(2)若函數f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上無零點,求a的最小值.7.解析(1)當a=1時,f(x)=x-1-2lnx,則f′(x)=1-eq\f(2,x),其中x∈(0,+∞).由f′(x)>0,得x>2,由f′(x)<0,得0<x<2,故f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,2),單調遞增區(qū)間為(2,+∞).(2)f(x)=(2-a)x-2(1+lnx)+a=(2-a)(x-1)-2lnx,令m(x)=(2-a)(x-1),h(x)=2lnx,其中x>0,則f(x)=m(x)-h(huán)(x).①當a<2時,m(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上為增函數,h(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上為增函數,結合圖象知,若f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上無零點,則meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≥heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))),即(2-a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-1))≥2lneq\f(1,2),所以a≥2-4ln2,所以2-4ln2≤a<2.②當a≥2時,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上m(x)≥0,h(x)<0,所以f(x)>0,所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,2)))上無零點.由①②得a≥2-4ln2,所以amin=2-4ln2.8.已知函數F(x)=eq\f(lnx,x-1)-eq\f(a,x+1).(1)設函數h(x)=(x-1)F(x),當a=2時,證明:當x>1時,h(x)>0;(2)若F(x)有兩個不同的零點,求a的取值范圍.8.解析(1)當a=2,x>1時,h′(x)=eq\f((x-1)2,x(x+1)2)>0,所以h(x)在(1,+∞)上單調遞增,且h(1)=0,所以當x>1時,h(x)>0.(2)設函數f(x)=lnx-eq\f(a(x-1),x+1),則f′(x)=eq\f(x2+2(1-a)x+1,x(x+1)2).令g(x)=x2+2(1-a)x+1,當a≤1,x>0時,g(x)>0,當1<a≤2時,Δ=4a2-8a≤0,得g(x)≥0,所以當a≤2時,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,此時f(x)至多有一個零點,F(x)=eq\f(1,x-1)f(x)至多有一個零點,不符合題意,舍去.當a>2時,Δ=4a2-8a>0,此時g(x)有兩個零點,設為t1,t2,且t1<t2.又t1+t2=2(a-1)>0,t1t2=1,所以0<t1<1<t2.所以f(x)在(0,t1),(t2,+∞)上單調遞增,在(t1,t2)上單調遞減,且f(1)=0,所以f(t1)>0,f(t2)<0,又f(e-a)=-eq\f(2a,ea+1)<0,f(ea)=eq\f(2a,ea+1)>0,且f(x)的圖象連續(xù)不斷,所以存在唯一x1∈(e-a,t1),使得f(x1)=0,存在唯一x2∈(t2,ea),使得f(x2)=0.又F(x)=eq\f(1,x-1)f(x),所以當F(x)有兩個不同零點時,a的取值范圍為(2,+∞).9.已知函數f(x)=xex-a(lnx+x),a∈R.(1)當a=e時,求f(x)的單調區(qū)間;(2)若f(x)有兩個零點,求實數a的取值范圍.9.解析(1)函數的定義域為(0,+∞),當a=e時,f′(x)=eq\f((1+x)(xex-e),x).令f′(x)>0,得x>1,令f′(x)

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