第九章 壓桿穩(wěn)定問題

壓桿穩(wěn)定問題壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念現(xiàn)象粗短壓桿塑性材料(Steel)脆性材料（Iron）壓力增加壓力增加強度問題壓桿穩(wěn)定性的概念強度滿足情況下，變形不能過大剛度問題變形特點：連續(xù)性壓桿穩(wěn)定性的概念細長壓桿PPPPP<PcrP>PcrPP內(nèi)燃機挺桿油缸中活塞桿壓桿穩(wěn)定性的概念其它結(jié)構(gòu)柱殼受軸壓作用變形特點：突發(fā)性穩(wěn)定性問題壓桿穩(wěn)定性的概念細長壓桿彎曲原因

——這是由于在桿件的受壓變形過程中，往往伴隨著桿件的彎曲變形，因為實際壓桿的軸線存在著初始曲率作用在桿件上的外力作用線一般也不與桿件的軸線恰好重合桿件的材料不可能達到理想的均勻性壓桿穩(wěn)定性的概念如果桿件的抗彎剛度比較大，并且，軸向壓力在一定的范圍內(nèi)，桿件的變形可分別由桿件的壓縮和彎曲變形疊加而得到——組合變形如果軸向壓力逐漸增大，軸向壓力對桿件彎曲變形的影響就不可忽略，并且，當軸向壓力達到某一特定值時，桿件的變形極度增大，從而導(dǎo)致受壓桿件喪失承載能力PwPcrPP壓桿穩(wěn)定性的概念PP現(xiàn)假想有一微小的橫向力Q同時作用于直桿上，則在力P和Q作用下，直桿發(fā)生壓縮和彎曲的耦合變形。受壓桿件的理想力學(xué)模型

考慮受軸向壓力P作用的一理想直桿，則其直線形態(tài)是一個平衡態(tài)。PPQ壓桿穩(wěn)定性的概念如果撤去橫向力Q后，桿的彎曲變形消失，直桿恢復(fù)到其原來的直線平衡狀態(tài)，則稱直桿的直線平衡態(tài)是穩(wěn)定的平衡態(tài)。撤去橫向力Q后，桿的彎曲變形不能消失，桿的軸線不能保持為一條曲線，則稱直桿的直線平衡態(tài)是不穩(wěn)定的平衡態(tài)。桿的直線平衡態(tài)由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定平衡時所受的軸向壓力稱為臨界壓力，簡稱為臨界力。P小大穩(wěn)定的不穩(wěn)定的壓桿穩(wěn)定性的概念當P較小時，P當P較大時，PP撤去橫向力Q穩(wěn)定的PP撤去橫向力Q不穩(wěn)定的臨界壓力PcrPQPQ壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的工程實例細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式壓桿的線（性）彈性穩(wěn)定性問題設(shè)細長中心受壓直桿在臨界力的作用下處于不穩(wěn)定平衡的直線形態(tài)，如果此時材料仍處于理想的線彈性范圍內(nèi)，（即虎克定理成立），則稱細長中心受壓直桿的穩(wěn)定性問題為線彈性穩(wěn)定性問題線彈性穩(wěn)定性問題是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問題分析中最簡單的一類，其中又以細長中心受壓直桿的穩(wěn)定性問題為最基本的下面以兩端絞支的細長中心受壓直桿為例，說明壓桿臨界壓力的分析和計算方法歐拉公式如圖所示，考慮兩端絞支，長為l的等截面細長中心受壓直桿，設(shè)直桿在臨界壓力Pcr的作用下發(fā)生失穩(wěn)，產(chǎn)生微小彎曲。APcrBl設(shè)桿件失穩(wěn)后軸線的撓度為v(x)，則任一橫截面上的彎矩為這里，壓力Pcr取為正值，位移v(x)以沿y軸正向為正。xxyvPcrM(x)m變形前后問題歐拉公式將彎曲M(x)代入梁彎曲的撓曲線微分方程，得令則梁撓曲線微分方程變?yōu)檫@是一個二階線性齊次常微分方程APcrBlxxyvPcrM(x)m歐拉公式方程的通解為其中，A、B和k為待定常數(shù)利用邊界條件得APcrBlxxyvPcrM(x)m歐拉公式利用邊界條件得由此可得若則APcrBlxxyvPcrM(x)m歐拉公式意味著直桿保持直線平衡狀態(tài)，不存在非直線的平衡態(tài)，即直桿未發(fā)生失穩(wěn)，顯然無意義若得由此求得APcrBlxxyvPcrM(x)mdAPcrBl歐拉公式Pcrn中最小的值稱為直桿的臨界壓力，記為Pcr。即此時，直桿的撓曲線為若桿中點處的撓度為d，利用條件得歐拉公式至此，得到結(jié)論對兩端絞支的等截面細長中心受壓直桿，其臨界壓力為此式稱為歐拉公式臨界壓力Pcr下，直桿的失穩(wěn)撓曲線為其形狀為半個正弦波dAPcrBl歐拉公式兩端絞支的等截面細長中心受壓直桿的失穩(wěn)撓曲線為這表明在線性彈性穩(wěn)定性理論的范疇內(nèi)，受壓直桿在臨界壓力處是一個隨遇平衡狀態(tài)。這里，d是一個未定的量，即只要d是一個小量，上式均成立。dAPcrBl歐拉公式在實際中，這種隨遇平衡狀態(tài)是不存在的，前面的分析之所以得到這樣的結(jié)論，其原因是我們采用了近似的線性彈性穩(wěn)定性理論。更嚴格合理的分析需采用非線性彈性穩(wěn)定性理論。梁彎曲撓曲線的精確微分方程這里，q

為撓曲線上一點的切線與x

軸的夾角。APcrBl歐拉公式求解上述非線性微分方程，可得撓曲線中點撓度d與壓力P之間的近似關(guān)系其圖形為PdPcrAB可見，只有當PPcr時，壓桿才可能存在軸線非直線的平衡態(tài)，即直桿發(fā)生失穩(wěn)，并且，撓度d與壓力P之間存在一對一關(guān)系，既不存在隨意平衡的狀態(tài)歐拉公式中點撓度d與壓力P的曲線在P=Pcr處的切線就是采用撓曲線近似微分方程得到的d—P曲線?？梢姡捎脫锨€近似微分方程得到的d—P曲線在壓桿微彎的平衡形態(tài)下，呈現(xiàn)隨遇平衡的假象。PdPcrABB'大撓度理論、小撓度理論、實際壓桿歐拉公式在兩端絞支等截面細長中心受壓直桿的臨界壓力公式中形心主慣矩I的選取準則為若桿端在各個方向的約束情況相同（如球形絞），I

應(yīng)取最小的形心主慣矩，得到直桿的實際臨界力若桿端在不同方向的約束情況不同，I應(yīng)取撓曲時橫截面對其中性軸的慣性矩。即，此時要綜合分析桿在各個方向發(fā)生失穩(wěn)時的臨界壓力，得到直桿的實際臨界力（最小值）。歐拉公式思考題不同約束下壓桿臨界力的歐拉公式?壓桿的長度系數(shù)長度系數(shù)考慮下端固定、上端自由并在上端承受軸向壓力作用的等截面細長桿，其幾何尺寸見圖，確定此壓桿的臨界壓力解根據(jù)桿端的約束情況可知，桿在臨界壓力作用下的撓曲線形狀如圖所示。設(shè)此時壓桿上端的撓度為D，撓曲線為w(x)。臨界力引起桿的任一橫截面上的彎矩為長度系數(shù)將彎矩代入梁撓曲近似微分方程令則控制方程化簡為方程的通解為A，B和k為待定常數(shù)，由邊界條件確定。長度系數(shù)利用邊界條件可得利用邊界條件得表明壓桿未發(fā)生失穩(wěn)若解1由解2得長度系數(shù)此時，D為任意小量。相應(yīng)的軸向壓力為其最小值為臨界壓力Pcr，即對應(yīng)于臨界壓力的撓曲線為長度系數(shù)一端固定、一端自由的壓桿臨界壓力為Pcr兩端絞支壓桿臨界壓力為PcrPcr2l

稱為一端固定、一端自由壓桿的相當長度，即其臨界壓力等于長為2l的兩端絞支壓桿的臨界壓力長度系數(shù)的物理意義類比法：兩端的彎距長度系數(shù)通常，桿端的約束越強，桿的抗彎能力就越大，從而其臨界壓力也就越高。對于各種桿端約束情況，細長等截面中心受壓直桿的臨界壓力公式（歐拉公式）可寫成統(tǒng)一的形式：這里

ml——稱為原壓桿的相當長度

m——稱為原壓桿的長度系數(shù)長度系數(shù)幾種典型支承約束條件下直桿的歐拉公式長度系數(shù)例考慮如圖所示一端固定、另一端鉸支，長為l的等截面細長中心受壓直桿，試確定其臨界壓力Pcr。APcrBl解根據(jù)壓桿的約束情況，壓桿失穩(wěn)后，在鉸支端處不僅存在軸向壓力Pcr，而且存在橫向剪力Q的作用。QPcrQMB設(shè)桿件失穩(wěn)后軸線的撓度為v(x)，則任一橫截面上的彎矩為mmxM(x)yx長度系數(shù)代入撓曲線的近似微分方程，得令則控制微分方程化簡為此方程的通解為APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx長度系數(shù)利用邊界條件得從而，有撓曲線表達式利用邊界條件APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx長度系數(shù)得由于，壓桿失穩(wěn)時，有從而必須有其最小非零解為即（超越方程）APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx長度系數(shù)從而可得壓桿的臨界壓力此時，壓桿的撓曲線程為APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx長度系數(shù)為確定撓曲線的拐點，令即APcrBlyxx1由此可得到在的解長度系數(shù)為m=1-0.3=0.7Pcr長度系數(shù)例考慮如圖所示兩端固定、但上端可有自由水平位移的等截面細長中心受壓直桿，試確定其臨界壓力Pcr。解根據(jù)壓桿的約束情況，壓桿失穩(wěn)后，在上端處不僅存在軸向壓力Pcr，而且存在彎矩MB的作用。ABPcrlPcrMAMB設(shè)桿件失穩(wěn)后軸線的撓度為v(x)，則任一橫截面上的彎矩為mmxM(x)yx長度系數(shù)代入撓曲線的近似微分方程，得令則控制微分方程化簡為此方程的通解為ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yx長度系數(shù)利用邊界條件得從而，有撓曲線表達式利用邊界條件ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd長度系數(shù)得由于，壓桿失穩(wěn)時，有從而必須有其最小非零解為ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd長度系數(shù)從而可得壓桿的臨界壓力此時，壓桿的撓曲線方程為代入得ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd長度系數(shù)為確定撓曲線的拐點，令A(yù)BPcrl即x1此點處的撓度為長度系數(shù)為m=2x1/l=1.0PcrlPcr歐拉公式的應(yīng)用范圍歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力與柔度當桿件承受臨界壓力Pcr作用而仍處在直線平衡狀態(tài)下維持不穩(wěn)定平衡時，橫截面上的壓應(yīng)力yxzPo由于從而scr稱為臨界應(yīng)力歐拉公式的應(yīng)用范圍記壓桿橫截面對中性軸的慣性半徑為于是無量綱量

稱為壓桿的長細比或柔度，一般記為歐拉公式的應(yīng)用范圍于是，臨界應(yīng)力可表示為柔度物理意義：1.綜合反映長度l

、支持方式m、截面幾何性質(zhì)i對臨界應(yīng)力影響。2.壓桿的長細比越大，臨界壓力越小，因此，壓桿越容易失穩(wěn)。歐拉公式的應(yīng)用范圍上述公式給出了臨界壓力和細長比的關(guān)系，它在scr—l平面內(nèi)是一條雙曲線，通常稱為歐拉臨界應(yīng)力曲線。scrl歐拉公式的應(yīng)用范圍適用范圍即只有當llp時，才能應(yīng)用歐拉公式計算壓桿的臨界壓力。scrllpsp稱滿足llp的壓桿為大柔度壓桿

小變形和Hooke定律歐拉公式的應(yīng)用范圍臨界應(yīng)力的經(jīng)驗公式scr≤

s

p壓桿

llp大柔度桿Euler公式

linearelasticstabilitysespsss

p<scr≤

s

s,此時，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不呈現(xiàn)線性關(guān)系，而是非線性關(guān)系。歐拉公式的應(yīng)用范圍直線公式（非細長桿）適用材料:合金鋼\鋁合金\鑄鐵\松木sespssscr=a-bls

p<scr≤

s

s壓桿

l0

≤

l<lp中柔度桿直線公式

inelasticstabilityscr>

s

s壓桿

l<lo小柔度桿

strengthproblem歐拉公式的應(yīng)用范圍拋物線公式（非細長桿）適用材料:結(jié)構(gòu)鋼/低合金鋼sespss適用范圍：強度問題和穩(wěn)定性問題scr=a1-b1l20

≤

l<lp由于結(jié)構(gòu)鋼存在殘余應(yīng)力歐拉公式的應(yīng)用范圍注意到λ=0，σcr=σs,λ=λp,σcr=σp=σs/2scrlpspss臨界壓力總圖l0小中大lscrllpspQ235鋼臨界壓力總圖小中大壓桿的穩(wěn)定性計算壓桿的穩(wěn)定性計算這些因素導(dǎo)致壓桿臨界壓力的降低。中心受壓直桿的數(shù)學(xué)模型，并不能反映實際壓桿受壓后的變形情況，因為實際壓桿的軸線不可能是理想的直線外壓力的作用線通常也不恰好與直桿的軸線重合由于加工中的扎制、切割、焊接等原因，壓桿中存在著殘余應(yīng)力，壓桿材料呈現(xiàn)一定的非均勻性壓桿的穩(wěn)定性計算如果嚴格考慮這些因素來設(shè)計壓桿的承載能力，得到符合實際情況的極限應(yīng)力，必須借助電子計算機進行復(fù)雜的計算和分析，然而，即便采用這種做法，也不可能包含實際中的所有情況。為此，引入穩(wěn)定性條件軸向壓力穩(wěn)定安全系數(shù)穩(wěn)定許用壓力壓桿的穩(wěn)定性計算注1：先計算柔度λ，再計算Fcr。注2：nst說明高于強度安全系數(shù)突發(fā)性帶來很大破壞(不同平衡態(tài)跳躍)敏感性（幾何，材料，加載缺陷）整體性壓桿的穩(wěn)定性計算穩(wěn)定分析，