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文檔簡介
長風(fēng)破浪會有時,直掛云帆濟滄海。住在富人區(qū)的她2023年廣東科學(xué)技術(shù)職業(yè)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.中心在坐標(biāo)原點,離心率為的雙曲線的焦點在y軸上,則它的漸近線方程為()
A.
B.
C.
D.答案:D2.棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,=(
)
A.
B.4
C.
D.-4答案:D3.已知P(B|A)=,P(A)=,則P(AB)=()
A.
B.
C.
D.答案:D4.下列關(guān)于算法的說法中正確的個數(shù)是()
①求解某一類問題的算法是唯一的;
②算法必須在有限步操作之后停止;
③算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊;
④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果.A.1B.2C.3D.4答案:由算法的概念可知:求解某一類問題的算法不是唯一的,故①不正確;算法是有限步,結(jié)果明確性,②④是正確的.對于③,算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊是正確的;故③正確.∴關(guān)于算法的說法中正確的個數(shù)是3.故選C.5.函數(shù)y=ax2+a與(a≠0)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:D6.已知e1,e2是夾角為60°的單位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2
(1)求a?b;
(2)求a與b的夾角<a,b>.答案:(1)求a?b=(2e1+e2)?
(-3e1+2e2)=
-6e12+e1
?e2+2e22=-6+1×1×cos60°+2=-72.(2)|a|=|2e1+e2|=(2e1+e2)2=4e12+2e1?e2+e22=7同樣地求得|b|=7.所以cos<a,b>=a?b|a||b|=-727
×7=-12,又0<<a,b><π,所以<a,b>=2π3.7.根據(jù)下列條件,求圓的方程:
(1)過點A(1,1),B(-1,3)且面積最?。?/p>
(2)圓心在直線2x-y-7=0上且與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2).答案:(1)過A、B兩點且面積最小的圓就是以線段AB為直徑的圓,∴圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑r=12|AB|=12(-1+1)2+(1-3)2=12×8=2,∴所求圓的方程為x2+(y-2)2=2;(2)由圓與y軸交于點A(0,-4),B(0,-2)可知,圓心在直線y=-3上,由2x-y-7=0y=-3,解得x=2y=-3,∴圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=5,∴所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.8.隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),則P()的值為()
A.
B.
C.
D.
答案:D9.設(shè)z是復(fù)數(shù),a(z)表示zn=1的最小正整數(shù)n,則對虛數(shù)單位i,a(i)=()A.8B.6C.4D.2答案:a(i)=in=1,則最小正整數(shù)n為4.故選C.10.如圖,D、E分別在AB、AC上,下列條件不能判定△ADE與△ABC相似的有()
A.∠AED=∠B
B.
C.
D.DE∥BC
答案:C11.若e1、e2、e3是三個不共面向量,則向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?請說明理由.答案:解:設(shè)c=1a+2b,則即∵a、b不共線,向量a、b、c共面.12.求由曲線圍成的圖形的面積.答案:面積為解析:當(dāng),時,方程化成,即.上式表示圓心在,半徑為的圓.所以,當(dāng),時,方程表示在第一象限的部分以及軸,軸負(fù)半軸上的點,.同理,當(dāng),時,方程表示在第四象限的部分以及軸負(fù)半軸上的點;當(dāng),時,方程表示圓在第二象限的部分以及軸負(fù)半軸上的點;當(dāng),時,方程表示圓在第三象限部分.以上合起來構(gòu)成如圖所示的圖形,面積為.13.若角α和β的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相反,則當(dāng)α=45°時,β=______.答案:由題意知∠α=45°°,AB∥CE,AE∥BD∵AE∥BD∴∠BDC=∠α=45°∵AB∥CE∴∠β=∠BDC=45°故為45°.14.參數(shù)方程x=sinθ+cosθy=sinθ?cosθ化為普通方程是______.答案:把x=sinθ+cosθy=sinθ?cosθ利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)θ,化為普通方程可得x2=1+2y,故為x2=1+2y.15.整數(shù)630的正約數(shù)(包括1和630)共有______個.答案:首先將630分解質(zhì)因數(shù)630=2×32×5×7;然后注意到每一因數(shù)可出現(xiàn)的次冪數(shù),如2可有20,21兩種情況,3有30,31,32三種情況,5有50,51兩種情況,7有70,71兩種情況,按分步計數(shù)原理,整數(shù)630的正約數(shù)(包括1和630)共有2×3×2×2=24個.故為:24.16.袋子A和袋子B均裝有紅球和白球,從A中摸出一個紅球的概率是13,從B中摸出一個紅球的概率是P.
(1)從A中有放回地摸球,每次摸出一個,共摸5次,求恰好有3次摸到紅球的概率;
(2)若A、B兩個袋子中的總球數(shù)之比為1:2,將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率為25,求P的值.答案:(1)每次從A中摸一個紅球的概率是13,摸不到紅球的概率為23,根據(jù)獨立重復(fù)試驗的概率公式,故共摸5次,恰好有3次摸到紅球的概率為:P=C35(13)3(23)2=10×127×49=40243.(2)設(shè)A中有m個球,A、B兩個袋子中的球數(shù)之比為1:2,則B中有2m個球,∵將A、B中的球裝在一起后,從中摸出一個紅球的概率是25,∴13m+2mp3m=25,解得p=1330.17.電子手表廠生產(chǎn)某批電子手表正品率為,次品率為,現(xiàn)對該批電子手表進行測試,設(shè)第X次首次測到正品,則P(1≤X≤2013)等于()
A.1-()2012
B.1-()2013
C.1-()2012
D.1-()2013答案:B18.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0.x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值時兩圓外切?
(2)m取何值時兩圓內(nèi)切?
(3)當(dāng)m=45時,求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.答案:(1)由已知可得兩個圓的方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=61-m,兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5,兩圓的半徑之和為11+61-m,由兩圓的半徑之和為11+61-m=5,可得m=25+1011.(2)由兩圓的圓心距d=(5-1)2+(6-3)2=5等于兩圓的半徑之差為|11-61-m|,即|11-61-m|=5,可得
11-61-m=5(舍去),或
11-61-m=-5,解得m=25-1011.(3)當(dāng)m=45時,兩圓的方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11、(x-5)2+(y-6)2=16,把兩個圓的方程相減,可得公共弦所在的直線方程為4x+3y-23=0.第一個圓的圓心(1,3)到公共弦所在的直線的距離為d=|4+9-23|5=2,可得弦長為211-4=27.19.已知直線l:ax+by=1(ab>0)經(jīng)過點P(1,4),則l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和的最小值是______.答案:∵直線l:ax+by=1(ab>0)經(jīng)過點P(1,4),∴a+4b=1,故a、b都是正數(shù).故直線l:ax+by=1,此直線在x、y軸上的截距分別為1a、1b,則l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為1a+1b=a+4ba+a+4bb=5+4ba+ab≥5+24ba?ab=9,當(dāng)且僅當(dāng)4ba=ab時,取等號,故為9.20.已知隨機變量ξ~N(3,22),若ξ=2η+3,則Dη=()
A.0
B.1
C.2
D.4答案:B21.直線y=2x+1的參數(shù)方程是()
A.(t為參數(shù))
B.(t為參數(shù))
C.(t為參數(shù))
D.(θ為參數(shù))
答案:B22.將函數(shù)="2x"+1的圖像按向量平移得函數(shù)=的圖像則
A=(1)B=(1,1)C=()
D(1,1)答案:C解析:分析:本小題主要考查函數(shù)圖象的平移與向量的關(guān)系問題.依題由函數(shù)y=2x+1的圖象得到函數(shù)y=2x+1的圖象,需將函數(shù)y=2x+1的圖象向左平移1個單位,向下平移1個單位;故=(-1,-1).解:設(shè)=(h,k)則函數(shù)y=2x+1的圖象平移向量后所得圖象的解析式為y=2x-h+1+k∴∴∴=(-1,-1)故答案為:C.23.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a+b在a方向上的投影為______.答案:∵|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,∴a?b=a|×|b|×cos60°=1由此可得(a+b)2=|a|2+2a?b+|b|2=1+2+4=7∴|a+b|=7.設(shè)a+b與a的夾角為θ,則∵(a+b)?a=|a|2+a?b=2∴cosθ=(a+b)?a|a+b|?|a|=277,可得向量a+b在a方向上的投影為|a+b|cosθ=7×277=2故為:224.在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直兩底,求頂點D的坐標(biāo).答案:設(shè)D(x,y),則∵DC∥AB,∴y-10x-5=0+1015+5,又∵DA⊥AB,∴y+10x+5?0+1015+5=-1.由以上方程組解得:x=-11,y=2.∴D(-11,2).25.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,拋物線上一點A的橫坐標(biāo)為x1(x1>0),過點A作拋物線C的切線l1交x軸于點D,交y軸于點Q,交直線l:y=p2于點M,當(dāng)|FD|=2時,∠AFD=60°.
(1)求證:△AFQ為等腰三角形,并求拋物線C的方程;
(2)若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上,過點B作拋物線C的切線l2交直線l1于點P,交直線l于點N,求△PMN面積的最小值,并求取到最小值時的x1值.答案:(1)設(shè)A(x1,x122p),則A處的切線方程為l1:y=x1px-x122p,可得:D(x12,0),Q(0,-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|;∴△AFQ為等腰三角形.由點A,Q,D的坐標(biāo)可知:D為線段AQ的中點,∴|AF|=4,得:p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2,C:x2=4y.(2)設(shè)B(x2,y2)(x2<0),則B處的切線方程為y=x22x-x224聯(lián)立y=x22x-x224y=x12x-x214得到點P(x1+x22,x1x24),聯(lián)立y=x12x-x214y=1得到點M(x12+2x1,1).同理N(x22+2x2,1),設(shè)h為點P到MN的距離,則S△=12|MN|?h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2
①設(shè)AB的方程為y=kx+b,則b>0,由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得:S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,要使面積最小,則應(yīng)k=0,得到S△=(1+b)2bb②令b=t,得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t,則S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以當(dāng)t∈(0,33)時,S(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(33,+∞)時,S(t)單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=33時,S取到最小值為1639,此時b=t2=13,k=0,所以y1=13,解得x1=233.故△PMN面積取得最小值時的x1值為233.26.若兩直線l1,l2的傾斜角分別為α1,α2,則下列四個命題中正確的是()
A.若α1<α2,則兩直線斜率k1<k2
B.若α1=α2,則兩直線斜率k1=k2
C.若兩直線斜率k1<k2,則α1<α2
D.若兩直線斜率k1=k2,則α1=α2答案:D27.如圖所示,已知點P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對角線
BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP與CC′所成角的大小;
(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.答案:(1)DP與CC′所成的角為45°(2)DP與平面AA′D′D所成的角為30°解析:如圖所示,以D為原點,DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz.則=(1,0,0),=(0,0,1).連接BD,B′D′.在平面BB′D′D中,延長DP交B′D′于H.設(shè)="(m,m,1)"(m>0),由已知〈,〉=60°,由·=||||cos〈,〉,可得2m=.解得m=,所以=(,,1).(1)因為cos〈,〉==,所以〈,〉=45°,即DP與CC′所成的角為45°.(2)平面AA′D′D的一個法向量是=(0,1,0).因為cos〈,〉==,所以〈,〉=60°,可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.28.若長方體的三個面的對角線長分別是a,b,c,則長方體體對角線長為()A.a(chǎn)2+b2+c2B.12a2+b2+c2C.22a2+b2+c2D.32a2+b2+c2答案:解析:設(shè)同一頂點的三條棱分別為x,y,z,則x2+y2=a2,y2+z2=b2,x2+z2=c2得x2+y2+z2=12(a2+b2+c2),則對角線長為12(a2+b2+c2)=22a2+b2+c2.故選C.29.設(shè)m、n是兩條不同的直線,α、β是兩個不同的平面,則下列命題中正確的是()
A.若m∥n,m∥α,則n∥α
B.若α⊥β,m∥α,則m⊥β
C.若α⊥β,m⊥β,則m∥α
D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,則α⊥β答案:D30.設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且滿足:“當(dāng)成立時,總可推出成立”.那么,下列命題總成立的是A.若成立,則當(dāng)時,均有成立B.若成立,則當(dāng)時,均有成立C.若成立,則當(dāng)時,均有成立D.若成立,則當(dāng)時,均有成立答案:D解析:若成立,依題意則應(yīng)有當(dāng)時,均有成立,故A不成立,若成立,依題意則應(yīng)有當(dāng)時,均有成立,故B不成立,因命題“當(dāng)成立時,總可推出成立”.“當(dāng)成立時,總可推出成立”.因而若成立,則當(dāng)時,均有成立,故C也不成立。對于D,事實上,依題意知當(dāng)時,均有成立,故D成立。31.已知圓C:x2+y2-4x-6y+12=0的圓心在點C,點A(3,5),求:
(1)過點A的圓的切線方程;
(2)O點是坐標(biāo)原點,連接OA,OC,求△AOC的面積S.答案:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.當(dāng)切線的斜率不存在時,對直線x=3,C(2,3)到直線的距離為1,滿足條件;當(dāng)k存在時,設(shè)直線y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,∴|-k+2|k2+1=1,得k=34.∴得直線方程x=3或y=34x+114.(2)|AO|=9+25=34,l:5x-3y=0,d=134,S=12d|AO|=12.32.三個數(shù)a=60.5,b=0.56,c=log0.56的大小順序為______.(按大到小順序)答案:∵a=60.5>60=1,0<b=0.56<0.50=1,c=log0.56<log0.51=0.∴a>b>c.故為a>b>c.33.紙制的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北.現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開、外面朝上展平,得到右側(cè)的平面圖形,則標(biāo)“△”的面的方位()
A.南
B.北
C.西
D.下
答案:B34.某醫(yī)院計劃從10名醫(yī)生(7男3女)中選5人組成醫(yī)療小組下鄉(xiāng)巡診.
(I)設(shè)所選5人中女醫(yī)生的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(II)現(xiàn)從10名醫(yī)生中的張強、李軍、王剛、趙永4名男醫(yī)生,李莉、孫萍2名女醫(yī)生共6人中選一正二副3名組長,在張強被選中的情況下,求李莉也被選中的概率.答案:(I)ξ的所有可能的取值為0,1,2,3,….….(2分)則P(ξ=0)=C57C510=112P(ξ=1)=C47C13C510=512P(ξ=2)=C27C23C510=512;P(ξ=3)=C27C33C510=112…(6分)ξ.的分布列為ξ0123P112512512112Eξ=1×112+2×512+3×112=32…(9分)(II)記“張強被選中”為事件A,“李莉也被選中”為事件B,則P(A)=C25C36=12,P(BA)=C14C36=15,所以P(B|A)=P(BA)P(A)=25…(12分)35.已知R為實數(shù)集,Q為有理數(shù)集.設(shè)函數(shù)f(x)=0,(x∈CRQ)1,(x∈Q),則()A.函數(shù)y=f(x)的圖象是兩條平行直線B.limx→∞f(x)=0或limx→∞f(x)=1C.函數(shù)f[f(x)]恒等于0D.函數(shù)f[f(x)]的導(dǎo)函數(shù)恒等于0答案:函數(shù)y=f(x)的圖象是兩條平行直線上的一些孤立的點,故A不正確;函數(shù)f(x)的極限只有唯一的值,左右極限不等,則該函數(shù)不存在極限,故B不正確;若x是無理數(shù),則f(x)=0,f[f(x)]=f(0)=1,故C不正確;∵f[f(x)]=1,∴函數(shù)f[f(x)]的導(dǎo)函數(shù)恒等于0,故D正確;故選D.36.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球,那么互斥而不對立的兩個事件是()
A.至少有1個白球;都是白球
B.至少有1個白球;至少有1個紅球
C.恰有1個白球;恰有2個白球
D.至少有一個白球;都是紅球答案:C37.求圓Cx=3+4cosθy=-2+4sinθ(θ為參數(shù))的圓心坐標(biāo),和圓C關(guān)于直線x-y=0對稱的圓C′的普通方程.答案:圓Cx=3+4cosθy=-2+4sinθ(θ為參數(shù))
即
(x-3)2+(y+2)2=16,表示圓心坐標(biāo)(3,-2),半徑等于4的圓.C(3,-2)關(guān)于直線x-y=0對稱的點C′(-2,3),半徑還是4,故圓C′的普通方程(x+2)2+(y-3)2=16.38.設(shè)某批產(chǎn)品合格率為,不合格率為,現(xiàn)對該產(chǎn)品進行測試,設(shè)第ε次首次取到正品,則P(ε=3)等于()
A.
B.
C.
D.答案:C39.“若x、y全為零,則xy=0”的否命題為______.答案:由于“全為零”的否定為“不全為零”,所以“若x、y全為零,則xy=0”的否命題為“若x、y不全為零,則xy≠0”.故為:若x、y不全為零,則xy≠0.40.在某路段檢測點對200輛汽車的車速進行檢測,檢測結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖,則車速不小于90km/h的汽車有輛.()A.60B.90C.120D.150答案:頻率=頻率組距×組距=(0.02+0.01)×10=0.3,頻數(shù)=頻率×樣本總數(shù)=200×0.3=60(輛).故選A.41.已知當(dāng)m∈R時,函數(shù)f(x)=m(x2-1)+x-a的圖象和x軸恒有公共點,求實數(shù)a的取值范圍.答案:(1)m=0時,f(x)=x-a是一次函數(shù),它的圖象恒與x軸相交,此時a∈R.(2)m≠0時,由題意知,方程mx2+x-(m+a)=0恒有實數(shù)解,其充要條件是△=1+4m(m+a)=4m2+4am+1≥0.又只需△′=(4a)2-16≤0,解得-1≤a≤1,即a∈[-1,1].∴m=0時,a∈R;m≠0時,a∈[-1,1].42.
若平面向量,,兩兩所成的角相等,||=||=1,||=3,則|++|=()
A.2
B.4
C.2或5
D.4或5答案:C43.在△ABC中,DE∥BC,DE將△ABC分成面積相等的兩部分,那么DE:BC=()
A.1:2
B.1:3
C.
D.1:1答案:C44.已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2答案:圓心在x+y=0上,圓心的縱橫坐標(biāo)值相反,顯然能排除C、D;驗證:A中圓心(-1,1)到兩直線x-y=0的距離是|2|2=2;圓心(-1,1)到直線x-y-4=0的距離是62=32≠2.故A錯誤.故選B.45.每一噸鑄鐵成本y
(元)與鑄件廢品率x%建立的回歸方程y=56+8x,下列說法正確的是()A.廢品率每增加1%,成本每噸增加64元B.廢品率每增加1%,成本每噸增加8%C.廢品率每增加1%,成本每噸增加8元D.如果廢品率增加1%,則每噸成本為56元答案:∵回歸方程y=56+8x,∴當(dāng)x增加一個單位時,對應(yīng)的y要增加8個單位,這里是平均增加8個單位,故選C.46.直線y=33x繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后,所得直線與圓(x-2)2+y2=3的交點個數(shù)是______.答案:∵直線y=33x的斜率為33,∴此直線的傾斜角為30°,∴此直線繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后傾斜角為60°,∴此直線旋轉(zhuǎn)后的方程為y=3x,由圓(x-2)2+y2=3,得到圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑r=3,∵圓心到直線y=3x的距離d=232=3=r,∴該直線與圓相切,則直線與圓(x-2)2+y2=3的交點個數(shù)是1.故為:147.一個樣本a,99,b,101,c中五個數(shù)恰成等差數(shù)列,則這個樣本的極差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為(
)。答案:4;48.在區(qū)間[0,1]產(chǎn)生的隨機數(shù)x1,轉(zhuǎn)化為[-1,3]上的均勻隨機數(shù)x,實施的變換為()
A.x=3x1-1
B.x=3x1+1
C.x=4x1-1
D.x=4x1+1答案:C49.2008年9月25日下午4點30分,“神舟七號”載人飛船發(fā)射升空,其運行的軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓,若這個橢圓的長軸長為2a,離心率為e,則“神舟七號”飛船到地球中心的最大距離為______.答案:如圖,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可知,頂點B到橢圓的焦點F的距離最大.最大為a+c=a+ae.故為:a+ae.50.直線L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若L1∥L2,則a的值為(
)
A.-3
B.2
C.-3或2
D.3或-2答案:A第2卷一.綜合題(共50題)1.在同一坐標(biāo)系中,y=ax與y=a+x表示正確的是()A.
B.
C.
D.
答案:由y=x+a得斜率為1排除C,由y=ax與y=x+a中a同號知若y=ax遞增,則y=x+a與y軸的交點在y軸的正半軸上,由此排除B;若y=ax遞減,則y=x+a與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸上,由此排除D,知A是正確的;故選A.2.如圖,從圓O外一點A引切線AD和割線ABC,AB=3,BC=2,則切線AD的長為______.答案:由切割線定理可得AD2=AB?AC=3×5,∴AD=15.故為15.3.如圖,在△ABC中,BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0,若點B的坐標(biāo)為(1,2),求點A和點C的坐標(biāo).答案:點A為y=0與x-2y+1=0兩直線的交點,∴點A的坐標(biāo)為(-1,0).∴kAB=2-01-(-1)=1.又∵∠A的平分線所在直線的方程是y=0,∴kAC=-1.∴直線AC的方程是y=-x-1.而BC與x-2y+1=0垂直,∴kBC=-2.∴直線BC的方程是y-2=-2(x-1).由y=-x-1,y=-2x+4,解得C(5,-6).∴點A和點C的坐標(biāo)分別為(-1,0)和(5,-6)4.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x相等的是()A.y=(x)4B.y=5x5C.y=x2D.y=x2x答案:函數(shù)y=x的定義域為R,選項中A,D定義域不是R,是A、D不正確.選項C的對應(yīng)法則不同,C不正確.故選B.5.有外形相同的球分裝三個盒子,每盒10個.其中,第一個盒子中7個球標(biāo)有字母A、3個球標(biāo)有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各5個;第三個盒子中則有紅球8個,白球2個.試驗按如下規(guī)則進行:先在第一號盒子中任取一球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二號盒子中任取一個球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三號盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球,則稱試驗成功,那么試驗成功的概率為()
A.0.59
B.0.54
C.0.8
D.0.15答案:A6.某種燈泡的耐用時間超過1000小時的概率為0.2,有3個相互獨立的燈泡在使用1000小時以后,最多只有1個損壞的概率是()
A.0.008
B.0.488
C.0.096
D.0.104答案:D7.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=4cosθy=2sinθ(θ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,得曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-4sinθ(ρ>0).
(Ⅰ)化曲線C1、C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線;
(Ⅱ)設(shè)曲線C1與x軸的一個交點的坐標(biāo)為P(m,0)(m>0),經(jīng)過點P作曲線C2的切線l,求切線l的方程.答案:(Ⅰ)曲線C1:x216+y24=1;曲線C2:(x-1)2+(y+2)2=5;(3分)曲線C1為中心是坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,長半軸長是4,短半軸長是2的橢圓;曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓(2分)(Ⅱ)曲線C1:x216+y24=1與x軸的交點坐標(biāo)為(-4,0)和(4,0),因為m>0,所以點P的坐標(biāo)為(4,0),(2分)顯然切線l的斜率存在,設(shè)為k,則切線l的方程為y=k(x-4),由曲線C2為圓心為(1,-2),半徑為5的圓得|k+2-4k|k2+1=5,解得k=3±102,所以切線l的方程為y=3±102(x-4)(3分)8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E是棱BC的中點,點F
是棱CD上的動點.
(Ⅰ)試確定點F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時,求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1與面C1EF所成的角的大?。鸢福海↖)由題意可得:以A為原點,分別以直線AB、AD、AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體的棱長為1,且DF=x,則A1(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,12,0),F(xiàn)(x,1,0)所以D1E=(1,-12,-1),AB1=(1,0,1),AF=(x,1,0)由D1E⊥面AB1F?D1E⊥AB1且D1E⊥AF,所以D1E?AB1=0D1E?AF=0,可解得x=12所以當(dāng)點F是CD的中點時,D1E⊥平面AB1F.(II)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時,F(xiàn)是CD的中點,F(xiàn)(12,1,0)由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得:平面AEF的一個法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面C1EF的一個法向量為n=(x,y,z),在平面C1EF中,EC1=(0,12,1),EF=(-12,12,0),所以EC1?n=0EF?n
=0,即y=-2zx=y,所以取平面C1EF的一個法向量為n=(2,2,-1),所以cos<m,n>=-13,所以<m,n>=π-arccos13,又因為當(dāng)把m,n都移向這個二面角內(nèi)一點時,m背向平面AEF,而n指向平面C1EF,所以二面角C1-EF-A的大小為π-arccos13又因為BA1=(-1,0,1),所以cos<BA1,n>=-22,所以<BA1,n>=135°,∴BA1與平面C1EF所成的角的大小為45°.9.如圖為某平面圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖,則其原來平面圖形的面積是(
)
A.4
B.
C.
D.8
答案:A10.六個不同大小的數(shù)按如圖形式隨機排列,設(shè)第一行這個數(shù)為M1,M2,M3分別表示第二、三行中最大數(shù),則滿足M1<M2<M3所有排列的個數(shù)______.答案:首先M3一定是6個數(shù)中最大的,設(shè)這六個數(shù)分別為a,b,c,d,e,f,不妨設(shè)a>b>c>d>e>f.因為如果a在第三行,則a一定是M3,若a不在第三行,則a一定是M1或M2,此時無法滿足M1<M2<M3,故a一定在第三行.故
M2一定是b,c,d中一個,否則,若M2是e,則第二行另一個數(shù)只能是f,那么第一行的數(shù)就比e大,無法滿足M1<M2<M3.當(dāng)M2是b時,此時,a在第三行,b在第二行,其它數(shù)任意排,所有的排法有C31
C21
A44=144(種),當(dāng)M2是c時,此時a和b必須在第三行,c在第二行,其它數(shù)任意排,所有的排法有A32
C21
A33=72(種),當(dāng)M2是d時,此時,a,b,c在第三行,d在第二行,其它數(shù)任意排,所有的排法有A33
C21
A22=24(種),故滿足M1<M2<M3所有排列的個數(shù)為:24+72+144=240種,故為:240.11.隨機變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)=(n=1,2,3,4),其中a是常數(shù),則P()的值為()
A.
B.
C.
D.
答案:D12.已知平面上直線l的方向向量=(-,),點O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O'和A′,則=λ,其中λ等于()
A.
B.-
C.2
D.-2答案:D13.過橢圓4x2+y2=1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A,B兩點,則A與B和橢圓的另一個焦點F1構(gòu)成的△ABF2的周長為()
A.2
B.2
C.4
D.8答案:C14.現(xiàn)有以下兩項調(diào)查:①某校高二年級共有15個班,現(xiàn)從中選擇2個班,檢查其清潔衛(wèi)生狀況;②某市有大型、中型與小型的商店共1500家,三者數(shù)量之比為1:5:9.為了調(diào)查全市商店每日零售額情況,抽取其中15家進行調(diào)查.完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A.簡單隨機抽樣法,分層抽樣法B.系統(tǒng)抽樣法,簡單隨機抽樣法C.分層抽樣法,系統(tǒng)抽樣法D.系統(tǒng)抽樣法,分層抽樣法答案:從15個班中選擇2個班,檢查其清潔衛(wèi)生狀況;總體個數(shù)不多,而且差異不大,故可采用簡單隨機抽樣的方法,1500家大型、中型與小型的商店的每日零售額存在較大差異,故可采用分層抽樣的方法故完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是簡單隨機抽樣法,分層抽樣法故選A15.四名志愿者和兩名運動員排成一排照相,要求兩名運動員必須站在一起,則不同的排列方法為()A.A44A22B.A55A22C.A55D.A66A22答案:根據(jù)題意,要求兩名運動員站在一起,所以使用捆綁法,兩名運動員站在一起,有A22種情況,將其當(dāng)做一個元素,與其他四名志愿者全排列,有A55種情況,結(jié)合分步計數(shù)原理,其不同的排列方法為A55A22種,故選B.16.解關(guān)于x的不等式(k≥0,k≠1).答案:不等式的解集為{x|x2}解析:原不等式即,1°若k=0,原不等式的解集為空集;2°若1-k>0,即0,所以原不等式的解集為{x|x2}.</k<1,由原不等式的解集為{x|2<x<</k<1時,原不等式等價于17.復(fù)數(shù)i2000=______.答案:復(fù)數(shù)i2009=i4×500=i0=1故為:118.函數(shù)f(x)=x2+ax+3,
(1)若f(1-x)=f(1+x),求a的值;
(2)在第(1)的前提下,當(dāng)x∈[-2,2]時,求f(x)的最值,并說明當(dāng)f(x)取最值時的x的值;
(3)若f(x)≥a恒成立,求a的取值范圍.答案:(1)∵f(1+x)=f(1-x)∴y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱∴-a2=1即a=-2(2)a=-2時,函數(shù)f(x)=x2-2x+3在區(qū)間[-2,1]上遞減,在區(qū)間[1,2]上遞增,∴當(dāng)x=-2時,fmax(x)=f(-2)=11當(dāng)x=1時,fmin(x)=f(1)=2(3)∵x∈R時,有x2+ax+3-a≥0恒成立,須△=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2.19.在線性回歸模型y=bx+a+e中,下列說法正確的是()A.y=bx+a+e是一次函數(shù)B.因變量y是由自變量x唯一確定的C.隨機誤差e是由于計算不準(zhǔn)確造成的,可以通過精確計算避免隨機誤差e的產(chǎn)生D.因變量y除了受自變量x的影響外,可能還受到其它因素的影響,這些因素會導(dǎo)致隨機誤差e的產(chǎn)生答案:線性回歸是利用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析,來確定兩種或兩種以上變量間相互依賴的定量關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法之一,分析按照自變量和因變量之間的關(guān)系類型,可分為線性回歸分析和非線性回歸分析.A不正確,根據(jù)線性回歸方程做出的y的值是一個預(yù)報值,不是由x唯一確定,故B不正確,隨機誤差不是由于計算不準(zhǔn)造成的,故C不正確,y除了受自變量x的影響之外還受其他因素的影響,故D正確,故選D.20.直線L1:x-y=0與直線L2:x+y-10=0的交點坐標(biāo)是()
A.(5,5)
B.(5,-5)
C.(-1,1)
D.(1,1)答案:A21.若雙曲線與橢圓x216+y225=1有相同的焦點,與雙曲線x22-y2=1有相同漸近線,求雙曲線方程.答案:依題意可設(shè)所求的雙曲線的方程為y2-x22=λ(λ>0)…(3分)即y2λ-x22λ=1…(5分)又∵雙曲線與橢圓x216+y225=1有相同的焦點∴λ+2λ=25-16=9…(9分)解得λ=3…(11分)∴雙曲線的方程為y23-x26=1…(13分)22.甲乙兩人在罰球線投球命中的概率為,甲乙兩人在罰球線上各投球一次,則恰好兩人都中的概率為()
A.
B.
C.
D.答案:A23.設(shè)隨機變量x~B(n,p),若Ex=2.4,Dx=1.44則()
A.n=4,p=0.6
B.n=6,p=0.4
C.n=8,p=0.3
D.n=24,p=0.1答案:B24.如圖,AB是⊙O的直徑,P是AB延長線上的一點.過P作⊙O的切線,切點為C,PC=23,若∠CAP=30°,則⊙O的直徑AB=______.答案:連接BC,設(shè)圓的直徑是x則三角形ABC是一個含有30°角的三角形,∴BC=12AB,三角形BPC是一個等腰三角形,BC=BP=12AB,∵PC是圓的切線,PA是圓的割線,∴PC2=PB?PC=12x?32x=34x2,∵PC=23,∴x=4,故為:425.已知0≤θ<2π,復(fù)數(shù)icosθ+isinθ>0,則θ的值是()A.π2B.3π2C.(0,π)內(nèi)的任意值D.(0,π2)∪(3π2,2π)內(nèi)的任意值答案:復(fù)數(shù)icosθ+isinθ>0,可得icosθ+sinθ>0,因為0≤θ<2π,所以θ=π2.故選A.26.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ<π2)中,曲線ρ=2sinθ與ρ=2cosθ的交點的極坐標(biāo)為______.答案:兩式ρ=2sinθ與ρ=2cosθ相除得tanθ=1,∵0≤θ<π2,∴θ=π4,∴ρ=2sinπ4=2,故交點的極坐標(biāo)為(2,π4).故為:(2,π4).27.過A(-2,3),B(2,1)兩點的直線的斜率是()
A.
B.
C.-2
D.2答案:B28.下列三句話按“三段論”模式排列順序正確的是()
①y=sin
x(x∈R
)是三角函數(shù);②三角函數(shù)是周期函數(shù);
③y=sin
x(x∈R
)是周期函數(shù).
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①答案:B29.如圖,四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,延長AB和DC相交于點P.若PB=1,PD=3,則BCAD的值為______.答案:因為A,B,C,D四點共圓,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因為∠P為公共角,所以△PBC∽△PAD,所以BCAD=PBPD=13.故為:13.30.為求方程x5-1=0的虛根,可以把原方程變形為(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0,由此可得原方程的一個虛根為______.答案:由題可知(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=(x-1)[x4+(a+b)x3+(2+ab)x2+(a+b)x+1]比較系數(shù)可得a+b=1ab+2=1,∴a=1+52,b=1-52∴原方程的一個虛根為-1-5±10-25i4,-1+5±10+25i4中的一個故為:-1-5+10-25i4.31.某車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了5次試驗,根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表),由最小二乘法求得回歸直線方程y=0.68x+54.6
表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清,請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為()A.68B.68.2C.69D.75答案:設(shè)表中有一個模糊看不清數(shù)據(jù)為m.由表中數(shù)據(jù)得:.x=30,.y=m+3075,由于由最小二乘法求得回歸方程y=0.68x+54.6.將x=30,y=m+3075代入回歸直線方程,得m=68.故選A.32.(Ⅰ)已知z∈C,且|z|-i=.z+2+3i(i為虛數(shù)單位),求復(fù)數(shù)z2+i的虛部.
(Ⅱ)已知z1=a+2i,z2=3-4i(i為虛數(shù)單位),且z1z2為純虛數(shù),求實數(shù)a的值.答案:(Ⅰ)設(shè)z=x+yi,代入方程|z|-i=.z+2+3i,得出x2+y2-i=x-yi+2+3i=(x+2)+(3-y)i,故有x2+y2=x+23-y=-1,解得x=3y=4,∴z=3+4i,復(fù)數(shù)z2+i=3+4i2+i=2+i,虛部為1(Ⅱ)z1z2=a+2i3-4i=3a-8+(4a+6)i25,且z1z2為純虛數(shù)則3a-8=0,且4a+6≠0,解得a=8333.直線過原點且傾角的正弦值是45,則直線方程為______.答案:因為傾斜角α的范圍是:0≤α<π,又由題意:sinα=45所以:tanα=±43x直線過原點,由直線的點斜式方程得到:y=±43x故為:y=±43x34.若數(shù)列{an}(n∈N+)為等差數(shù)列,則數(shù)列bn=a1+a2+a3+…+ann(n∈N+)也為等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地,若數(shù)列{cn}是等比數(shù)列且cn>0(n∈N+),則有數(shù)列dn=______(n∈N+)也是等比數(shù)列.答案:從商類比開方,從和類比到積,可得如下結(jié)論:nC1C2C3Cn故為:nC1C2C3Cn35.已知直線l經(jīng)過點A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截得的線段的中點M在直線x+y-3=0上.求直線l的方程.答案:∵點M在直線x+y-3=0上,∴設(shè)點M坐標(biāo)為(t,3-t),則點M到l1、l2的距離相等,即|2t-2|2=|2t-4|2,解得t=32∴M(32,32)又l過點A(2,4),即5x-y-6=0,故直線l的方程為5x-y-6=0.36.有(1)、(2)、(3)三個選考題,每題7分,請考生任選2題作答,滿分14分.如果多做,則按所做的前兩題記分.
(1)選修4-2:矩陣與變換
已知點A(1,0),B(2,2),C(3,0),矩陣M表示變換”順時針旋轉(zhuǎn)45°”.
(Ⅰ)寫出矩陣M及其逆矩陣M-1;
(Ⅱ)請寫出△ABC在矩陣M-1對應(yīng)的變換作用下所得△A1B1C1的面積.
(2)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
過P(2,0)作傾斜角為α的直線l與曲線E:x=cosθy=22sinθ(θ為參數(shù))交于A,B兩點.
(Ⅰ)求曲線E的普通方程及l(fā)的參數(shù)方程;
(Ⅱ)求sinα的取值范圍.
(3)(選修4-5
不等式證明選講)
已知正實數(shù)a、b、c滿足條件a+b+c=3,
(Ⅰ)求證:a+b+c≤3;
(Ⅱ)若c=ab,求c的最大值.答案:(1)(Ⅰ)M=cos(-45°)-sin(-45°)sin(-45°)
cos(-45°)=2222-2222∵矩陣M表示變換“順時針旋轉(zhuǎn)45°”∴矩陣M-1表示變換“逆時針旋轉(zhuǎn)45°”∴M-1=cos45°-sin45°sin45°
cos45°=22-2222
22(Ⅱ)三角形ABC的面積S△ABC=12×(3-1)×2=2,由于△ABC在旋轉(zhuǎn)變換下所得△A1B1C1與△ABC全等,故三角形的面積不變,即S△A1B1C1=2.(2)(Ⅰ)曲線E的普通方程為x2+2y2=1L的參數(shù)方程為x=2+tcosαy=tsinα(t為參數(shù))
(Ⅱ)將L的參數(shù)方程代入由線E的方程得(1+sin2α)t2+(4cosα)t+3=0由△=(4cosα)2-4(1+sin2α)×3≥0得sin2α≤17∴0≤sinα≤77(3)(Ⅰ)證明:由柯西不等式得(a+b+c)2≤(a+b+c)(1+1+1)代入已知a+b+c=3,∴(a+b+c)2≤9a+b+c≤3當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1,取等號.(Ⅱ)由a+b≥2ab得2ab+c≤3,若c=ab,則2c+c≤3,(c+3)(c-1)≤0,所以c≤1,c≤1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時,c有最大值1.37.全稱命題“任意x∈Z,2x+1是整數(shù)”的逆命題是()
A.若2x+1是整數(shù),則x∈Z
B.若2x+1是奇數(shù),則x∈Z
C.若2x+1是偶數(shù),則x∈Z
D.若2x+1能被3整除,則x∈Z
E.若2x+1是整數(shù),則x∈Z答案:A38.設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上,且·=0,則|PF1|·|PF2|值等于()
A.2
B.2
C.4
D.8答案:A39.如圖,l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線,l1與l2間的距離是1,l2與l3間的距離是2,正三角形ABC的三頂點分別在l1、l2、l3上,則△ABC的邊長是()
A.2
B.
C.
D.
答案:D40.在平面直角坐標(biāo)中,h為坐標(biāo)原點,設(shè)向量OA=a,OB=b,其中a=(3,1),b=(1,3),若OC=λa+μb,且0≤λ≤μ≤1,C點所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是()A.
B.
C.
D.
答案:∵向量OA=a,OB=b,a=(3,1),b=(1,3),OC=λa+μb,∴OC=(3λ,λ)+(μ,3μ)=(3λ+μ,λ+3μ),∵0≤λ≤μ≤1,∴0≤3λ+μ≤4,0≤λ+3μ≤4,且3λ+μ≤λ+3μ.故選A.41.給定點A(x0,y0),圓C:x2+y2=r2及直線l:x0x+y0y=r2,給出以下三個命題:
①當(dāng)點A在圓C上時,直線l與圓C相切;
②當(dāng)點A在圓C內(nèi)時,直線l與圓C相離;
③當(dāng)點A在圓C外時,直線l與圓C相交.
其中正確的命題個數(shù)是()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:D42.如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F(xiàn),G,H,則=()
A.
B.
C.
D.
答案:C43.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A、B兩點,若AF=3FB,則k=______.答案:設(shè)l為橢圓的右準(zhǔn)線,過A、B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1為垂足,過B作BE⊥AA1于E,則|AA1|=|AF|e,|BB1|=|BF|e,由AF=3FB知,|AA1|=3|BF|e,∴cos<BAE=|AE||AB|=2|BF|e4|BF|=12e=33,∴sin∠BAE=63,∴tan∠BAE=2.∴k=2.故:2.44.甲、乙兩位同學(xué)都參加了由學(xué)校舉辦的籃球比賽,它們都參加了全部的7場比賽,平均得分均為16分,標(biāo)準(zhǔn)差分別為5.09和3.72,則甲、乙兩同學(xué)在這次籃球比賽活動中,發(fā)揮得更穩(wěn)定的是()
A.甲
B.乙
C.甲、乙相同
D.不能確定答案:B45.某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽簽的方式確定他們的演講順序,則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起(指演講序號相連),而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為:()A.110B.120C.140D.1120答案:由題意知本題是一個古典概型,∵試驗發(fā)生包含的所有事件是10位同學(xué)參賽演講的順序共有:A1010;滿足條件的事件要得到“一班有3位同學(xué)恰好被排在一起而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的演講的順序”可通過如下步驟:①將一班的3位同學(xué)“捆綁”在一起,有A33種方法;②將一班的“一梱”看作一個對象與其它班的5位同學(xué)共6個對象排成一列,有A66種方法;③在以上6個對象所排成一列的7個間隙(包括兩端的位置)中選2個位置,將二班的2位同學(xué)插入,有A72種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理(乘法原理),共有A33?A66?A72種方法.∴一班有3位同學(xué)恰好被排在一起(指演講序號相連),而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為:P=A33?A66?A27A1010=120.故選B.46.某品牌平板電腦的采購商指導(dǎo)價為每臺2000元,若一次采購數(shù)量達到一定量,還可享受折扣.如圖為某位采購商根據(jù)折扣情況設(shè)計的算法程序框圖,若一次采購85臺該平板電腦,則S=______元.答案:分析程序中各變量、各語句,其作用是:表示一次采購共需花費的金額,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是計算分段函數(shù)S=200×0.8?x,x>100200×0.9?x,50<x≤100200?x,0<x≤50的值,∵x=85,∴S=200×0.9×85=15300(元),故為:15300.47.若施化肥量x與小麥產(chǎn)量y之間的回歸方程為y=250+4x(單位:kg),當(dāng)施化肥量為50kg時,預(yù)計小麥產(chǎn)量為______kg.答案:根據(jù)回歸方程為y=250+4x,當(dāng)施化肥量為50kg,即x=50kg時,y=250+4x=250+200=450kg故為:45048.如圖,已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA=60°.
(Ⅰ)求DP與CC′所成角的大小;
(Ⅱ)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.答案:方法一:如圖,以D為原點,DA為單位長建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1).連接BD,B'D'.在平面BB'D'D中,延長DP交B'D'于H.設(shè)DH=(m,m,1)(m>0),由已知<DH,DA>=60°,由DA?DH=|DA||DH|cos<DA,DH>可得2m=2m2+1.解得m=22,所以DH=(22,22,1).(4分)(Ⅰ)因為cos<DH,CC′>=22×0+22×0+1×11×2=22,所以<DH,CC′>=45°.即DP與CC'所成的角為45°.(8分)(Ⅱ)平面AA'D'D的一個法向量是DC=(0,1,0).因為cos<DH,DC>=22×0+22×1+1×01×2=12,所以<DH,DC>=60°.可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°.(12分)方法二:如圖,以D為原點,DA為單位長建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則DA=(1,0,0),CC′=(0,0,1),BD′=(-1,-1,1).設(shè)P(x,y,z)則BP=λBD′,∴(x-1,y-1,z)=(-λ,-λ,λ)∴x=1-λy=1-λz=λ,則DP=(1-λ,1-λ,λ),由已知,<DP,DA>=60°,∴λ2-4λ+2=0,解得λ=2-2,∴DP=(2-1,2-1,2-2)(4分)(Ⅰ)因為cos<DP,CC′>=2-22(2-1)=22,所以<DP,CC′>=45°.即DP與CC'所成的角為45°.(8分)(Ⅱ)平面AA'D'D的一個法向量是DC=(0,1,0).因為cos<DP,DC>=2-12(2-1)=12,所以<DP,DC>=60°.可得DP與平面AA'D'D所成的角為30°.(12分)49.某學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生3500人,其中高三學(xué)生數(shù)是高一學(xué)生數(shù)的兩倍,高二學(xué)生數(shù)比高一學(xué)生數(shù)多300人,現(xiàn)在按的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本,則應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為()
A.8
B.11
C.16
D.10答案:A50.已知曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程分別為ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2),則曲線C1與C2交點的極坐標(biāo)為______.答案:我們通過聯(lián)立解方程組ρcosθ=3ρ=4cosθ(ρ≥0,0≤θ<π2)解得ρ=23θ=π6,即兩曲線的交點為(23,π6).故填:(23,π6).第3卷一.綜合題(共50題)1.設(shè)曲線C的方程是,將C沿x軸,y軸正向分別平移單位長度后,得到曲線C1.(1)寫出曲線C1的方程;(2)證明曲線C與C1關(guān)于點A(,)對稱.答案:(1)(2)證明略解析:(1)由已知得,,則平移公式是即代入方程得曲線C1的方程是(2)在曲線C上任取一點,設(shè)是關(guān)于點A的對稱點,則有,,代入曲線C的方程,得關(guān)于的方程,即可知點在曲線C1上.反過來,同樣可以證明,在曲線C1上的點關(guān)于點A的對稱點在曲線C上,因此,曲線C與C1關(guān)于點A對稱.2.利用斜二側(cè)畫法畫直觀圖時,①三角形的直觀圖還是三角形;②平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形;③正方形的直觀圖還是正方形;④菱形的直觀圖還是菱形.其中正確的是
______.答案:由斜二側(cè)直觀圖的畫法法則可知:①三角形的直觀圖還是三角形;正確;②平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形;正確.③正方形的直觀圖還是正方形;應(yīng)該是平行四邊形;所以不正確;④菱形的直觀圖還是菱形.也是平行四邊形,所以不正確.故為:①②3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)P(x,y)是橢圓上的一個動點,則S=x+y的最大值是()
A.1
B.2
C.3
D.4答案:B4.已知z是純虛數(shù),z+21-i是實數(shù),則z=______.答案:令Z=bi,則z+21-i=(2+bi)(1+i)(1-i)(1+i)=(2-b)+(2+b)i2又z+21-i是實數(shù),故b=-2則Z=-2i故為:-2i5.三個數(shù)a=0.52,b=log20.5,c=20.5之間的大小關(guān)系是()A.a(chǎn)<c<bB.b<c<aC.a(chǎn)<b<cD.b<a<c答案:∵0<a=0.52<1,b=log20.5<log21=0,c=20.5>20=1,∴b<a<c故選D.6.在某項測量中,測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.6,則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:C7.如圖,△ABC中,CD=2DB,設(shè)AD=mAB+nAC(m,n為實數(shù)),則m+n=______.答案:∵CD=2DB,∴B、C、D三點共線,由三點共線的向量表示,我們易得AD=23AB+13AC,由平面向量基本定理,我們易得m=23,n=13,∴m+n=1故為:18.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為BB1、C1D1的中點,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求平面AMN的法向量.答案:(-3,2,-4)為平面AMN的一個法向量.解析:以D為原點,DA、DC、DD1所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.(如圖所示).設(shè)棱長為1,則A(1,0,0),M(1,1,),N(0,,1).∴=(0,1,),=(-1,,1).設(shè)平面AMN的法向量n=(x,y,z)∴令y=2,∴x=-3,z=-4.∴n=(-3,2,-4).∴(-3,2,-4)為平面AMN的一個法向量.9.已知當(dāng)拋物線型拱橋的頂點距水面2米時,量得水面寬8米.當(dāng)水面升高1米后,水面寬度是______米.答案:由題意,建立如圖所示的坐標(biāo)系,拋物線的開口向下,設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2py(p>0)∵頂點距水面2米時,量得水面寬8米∴點(4,-2)在拋物線上,代入方程得,p=4∴x2=-8y當(dāng)水面升高1米后,y=-1代入方程得:x=±22∴水面寬度是42米故為:4210.l1,l2,l3是空間三條不同的直線,則下列命題正確的是[
]A.l1⊥l2,l2⊥l3l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共點l1,l2,l3共面答案:B11.直線l過點(-3,1),且它的一個方向向量n=(2,-3),則直線l的方程為______.答案:設(shè)直線l的另一個方向向量為a=(1,k),其中k是直線的斜率可得n=(2,-3)與a=(1,k)互相平行∴12=k-3?k=-32所以直線l的點斜式方程為:y-1=-32(x+3)化成一般式:3x+2y+7=0故為:3x+2y+7=012.直線x=-2+ty=1-t(t為參數(shù))被圓x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ為參數(shù))所截得的弦長為______.答案:∵圓x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ為參數(shù)),消去θ可得,(x-2)2+(y+1)2=4,∵直線x=-2+ty=1-t(t為參數(shù)),∴x+y=-1,圓心為(2,-1),設(shè)圓心到直線的距離為d=|2-1+1|2=2,圓的半徑為2∴截得的弦長為222-(2)2=22,故為22.13.2007年10月24日18時05分,在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心,“嫦娥一號”衛(wèi)星順利升空,24分鐘后,星箭成功分離,衛(wèi)星首次進入以地心為焦點的橢圓形調(diào)相軌道,衛(wèi)星近地點為約200公里,遠(yuǎn)地點為約51000公里.設(shè)地球的半經(jīng)為R,則衛(wèi)星軌道的離心率為______(結(jié)果用R的式子表示)答案:由題意衛(wèi)星進入以地心為焦點的橢圓形調(diào)相軌道,衛(wèi)星近地點為約200公里,遠(yuǎn)地點為約51000公里.設(shè)地球的半經(jīng)為R,易知,a=25600+R,c=25400,則衛(wèi)星軌道的離心率e=2540025600+R.故為:2540025600+R.14.在極坐標(biāo)系中圓ρ=2cosθ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為()
A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2
B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1
D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1答案:B15.(選做題)方程ρ=cosθ與(t為參數(shù))分別表示何種曲線(
)。答案:圓,雙曲線16.函數(shù)f(x)=x+1x的定義域是______.答案:要使原函數(shù)有意義,則x≥0x≠0,所以x>0.所以原函數(shù)的定義域為(0,+∞).故為(0,+∞).17.點M(4,)化成直角坐標(biāo)為()
A.(2,)
B.(-2,-)
C.(,2)
D.(-,-2)答案:B18.已知M和N分別是四面體OABC的邊OA,BC的中點,且,若=a,=b,=c,則用a,b,c表示為()
A.
B.
C.
D.
答案:B19.化簡下列各式:
(1)AB+DF+CD+BC+FA=______;
(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=______.答案:(1)AB+DF+CD+BC+FA=(AB+BC+CD+DF)+FA=AF+FA=0;(2)(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+MB+(BO+OM)=AC+MB+BM=AC+(MB+BM)=AC+0=AC,故為:(1)0;(2)AC20.已知集合A到B的映射f:x→y=2x+1,那么集合A中元素2在B中的象是()A.2B.5C.6D.8答案:∵x=2,∴y=2x+1則y=2×2+1=5,那么集合A中元素2在B中的象是5故選B.21.用反證法證明命題:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個負(fù)數(shù)”時的假設(shè)為()
A.a(chǎn),b,c,d中至少有一個正數(shù)
B.a(chǎn),b,c,d全為正數(shù)
C.a(chǎn),b,c,d全都大于等于0
D.a(chǎn),b,c,d中至多有一個負(fù)數(shù)答案:C22.如果關(guān)于x的不等式組有解,那么實數(shù)a的取值范圍(
)
A.(-∞,-3)∪(1,+∞)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-1,3)
D.(-3,1)答案:C23.關(guān)于生活中的圓錐曲線,有下面幾個結(jié)論:
(1)標(biāo)準(zhǔn)田徑運動場的內(nèi)道是一個橢圓;
(2)接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號的天線設(shè)備,其軸截面與天線設(shè)備的交線是拋物線;
(3)大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔,其軸截面與通風(fēng)塔的交線是雙曲線;
(4)地球圍繞太陽運行的軌跡可以近似地看成一個橢圓.
其中正確命題的序號是______(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上).答案:(1)標(biāo)準(zhǔn)田徑運動場的內(nèi)道是有直道和彎道部分是半圓組成,不是橢圓.故錯誤(2)接受衛(wèi)星轉(zhuǎn)播的電視信號的天線設(shè)備,其軸截面與天線設(shè)備的交線是拋物線.故正確.(3)大型熱電廠的冷卻通風(fēng)塔,其軸截面與通風(fēng)塔的交線是雙曲線.故正確.(4)地球圍繞太陽運行的軌跡可以近似地看成一個橢圓.故正確.故為:(2)(3)(4)24.曲線C:x=t-2y=1t+1(t為參數(shù))的對稱中心坐標(biāo)是______.答案:曲線C:x=t-2y=1t+1(t為參數(shù))即y-1=1x+2,其對稱中心為(-2,1).故為:(-2,1).25.已知曲線,
θ∈[0,2π)上一點P到點A(-2,0)、B(2,0)的距離之差為2,則△PAB是()
A.銳角三角形
B.鈍角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形答案:C26.試指出函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過怎樣的變換,可以得到函數(shù)y=(13)x+1+2的圖象.答案:把函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過3次變換,可得函數(shù)y=(13)x+1+2的圖象,步驟如下:y=3x沿y軸對稱y=(13)x左移一個單位y=(13)x+1上移2個單位y=(13)x+1+2.27.已知動點P(x,y)滿足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,則動點P的軌跡是______.答案:∵(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,即動點P(x,y)到兩定點(-2,0),(2,0)的距離之差等于2,由雙曲線定義知動點P的軌跡是雙曲線的一支(右支).:雙曲線的一支(右支).28.在空間直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,設(shè)A(,,),B(,,0),C(
,,),則(
)
A.OA⊥AB
B.AB⊥AC
C.AC⊥BC
D.OB⊥OC答案:C29.下面五個命題:(1)所有的單位向量相等;(2)長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量;(3)由于零向量的方向不確定,故0與任何向量不平行;(4)對于任何向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正確命題的序號為:______.答案:(1)單位向量指模為1的向量,方向可為任意的,故錯誤;(2)由共線向量的定義,方向相反的兩個向量一定是共線向量,故錯誤;(3)規(guī)定:零向量與任何向量為平行向量,故錯誤;(4)因為|a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=(|a|+|b|)2,故正確故為:(4)30.某公司招聘員工,經(jīng)過筆試確定面試對象人數(shù),面試對象人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算,計算公式為:y=4x,1≤x≤102x+10,10<x≤1001.5x
,x>100其中x代表擬錄用人數(shù),y代表面試對象人數(shù).若應(yīng)聘的面試對象人數(shù)為60人,則該公司擬錄用人數(shù)為()A.15B.40C.130D.25答案:∵y=4x,1≤x≤102x+10,10<x≤1001.5x
,x>100=60,∴當(dāng)1≤x≤10時,由4x=60得x=15?[1,10],不滿足題意;當(dāng)10<x≤100時,由2x+10=60得x=25∈(10,100],滿足題意;當(dāng)x>100時,由1.5x=60得x=40?(100,+∞),不滿足題意.∴該公司擬錄用人數(shù)為25.故選D.31.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)時,第一步驗證n
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