2023年選修坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

坐標(biāo)系與參數(shù)方程*選考內(nèi)容《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》高考考試大綱規(guī)定：１.坐標(biāo)系:①理解坐標(biāo)系的作用.②了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.③能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表達(dá)點(diǎn)的位置,理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表達(dá)點(diǎn)的位置的區(qū)別,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.④能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)樸圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程．通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表達(dá)平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.2．參數(shù)方程:①了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.②能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.第一講平面直角坐標(biāo)系伸縮變換:設(shè)點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下,點(diǎn)相應(yīng)到點(diǎn),稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換。方法１：求伸縮變換后的圖形。由伸縮變換公式解出x、ｙ,代入已知曲線方程就可求得伸縮變換后的曲線方程。例:：在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,求下列方程所相應(yīng)的圖形通過(guò)伸縮變換后的圖形。方法2：待定系數(shù)法求伸縮變換。求伸縮變換時(shí),先設(shè)出變換，再代入原方程或變換后的方程,求出其中系數(shù)即可。例：在同一平面直角坐標(biāo)系中,求下列圖形變換的伸縮變換:二、極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)系的概念:在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)，叫做極點(diǎn);自極點(diǎn)引一條射線叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。2.點(diǎn)的極坐標(biāo)：設(shè)是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)與點(diǎn)的距離叫做點(diǎn)的極徑，記為；以極軸為始邊，射線為終邊的叫做點(diǎn)的極角，記為。有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)的極坐標(biāo),記為.極坐標(biāo)與表達(dá)同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)的坐標(biāo)為.３.若，則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng),即與表達(dá)同一點(diǎn)。假如規(guī)定，那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表達(dá);同時(shí)，極坐標(biāo)表達(dá)的點(diǎn)也是唯一擬定的。4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：如圖所示，把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸,且長(zhǎng)度單位相同,設(shè)任意一點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)分別為(x,ｙ），(ρ,θ)．(1)極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)(2)直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)eq\ｂ\ｌc\{(＼ａ\vs4\aｌ\co1(ρ2=x2+y2,,tａnθ=＼f（y,x)（x≠0）．）)方法３：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例:點(diǎn)M的極坐標(biāo)是點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是練：三、簡(jiǎn)樸曲線的極坐標(biāo)方程1．圓的極坐標(biāo)方程:（１）特殊情形如下表:圓心位置極坐標(biāo)方程圖形圓心在極點(diǎn)(0,0)ρ＝r（0≤θ<2π)圓心在點(diǎn)（r，0)ρ=２rｃｏs_θ(－ｅq＼f(π,2)≤θ<eq\ｆ（π,2))圓心在點(diǎn)(ｒ,ｅｑ\ｆ(π，2))ρ＝2rsｉn_θ(0≤θ＜π)圓心在點(diǎn)(r，π)ρ＝-2ｒcoｓ_θ（eq\f(π,2)≤θ<ｅq\f(3π,2))圓心在點(diǎn)（r，eq\f(3π,2))ρ＝－2ｒsｉn_θ(－π<θ≤０)（2)一般情形：設(shè)圓心Ｃ(ρ０，θ0),半徑為ｒ，M(ρ,θ)為圓上任意一點(diǎn)，則|ＣM｜＝ｒ,∠COM=|θ-θ０|,根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2－２ρ0ρcos（θ－θ0)+ρｅq\o\al(2,0）-r2=０即2.直線的極坐標(biāo)方程：(1)特殊情形如下表:直線位置極坐標(biāo)方程圖形過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為α(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝α+π（ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ=π＋α(ρ≥0）過(guò)點(diǎn)（a,0),且與極軸垂直ρcos_θ＝aeq\b＼lc＼(\ｒc\)(＼a＼ｖs４\ａl\co１(-\f(π,2）<θ＜\f（π,2)））過(guò)點(diǎn)eq＼b\lｃ＼(＼rc＼)(\ａ\ｖs4＼aｌ\co1(a,\f(π,2))),且與極軸平行ρsｉn_θ=a(０<θ<π）過(guò)點(diǎn)(ａ,0)傾斜角為αρsin(α－θ)=asiｎα(0＜θ<π)（2)一般情形,設(shè)直線ｌ過(guò)點(diǎn)P(ρ0,θ0),傾斜角為α，M(ρ,θ)為直線ｌ上的動(dòng)點(diǎn)，則在△OPＭ中運(yùn)用正弦定理可得直線ｌ的極坐標(biāo)方程為ρｓin（α-θ)=ρ0ｓin（α-θ0)．方法４:直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化方法５：極坐標(biāo)系下的運(yùn)算方法6：曲線極坐標(biāo)方程的求法四、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡(jiǎn)介(了解）1、柱坐標(biāo)系（1)定義:一般地,如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn),它在Oxy平面上的射影為Q，用(ρ,θ)(ρ≥０,0≤θ＜２π)表達(dá)點(diǎn)Q在平面Ｏｘｙ上的極坐標(biāo),這時(shí)點(diǎn)eq＼a\vs4\ａl(P)的位置可用有序數(shù)組eq\a\ｖs4＼al(（ρ,θ,ｚ）)（z∈R)表達(dá).這樣,我們建立了空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(ρ，θ，z)之間的一種相應(yīng)關(guān)系．把建立上述相應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做柱坐標(biāo)系,有序數(shù)組（ρ,θ，z)叫做點(diǎn)P的柱坐標(biāo),記作Ｐ(ρ，θ,z)，其中ρ≥0,０≤θ<2π，ｚ∈R．（２）空間點(diǎn)Ｐ的直角坐標(biāo)(x,y，z)與柱坐標(biāo)(ρ，θ,ｚ）之間的變換公式為eq＼b\ｌｃ＼{(\a\vs４\al\co1(x＝ρcoｓθ,y=ρsｉnθ,z=z)).２、球坐標(biāo)系（1)定義：一般地，如圖建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)P是空間任意一點(diǎn),連接OP,記|OP|＝r，OP與Oz軸正向所夾的角為φ，設(shè)P在Oxy平面上的射影為Q,Ox軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到ＯＱ時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角為θ，這樣點(diǎn)P的位置就可以用有序數(shù)組(r，φ,θ)表達(dá)，這樣，空間的點(diǎn)與有序數(shù)組(r，φ，θ）之間建立了一種相應(yīng)關(guān)系.把建立上述相應(yīng)關(guān)系的坐標(biāo)系叫做球坐標(biāo)系（或空間極坐標(biāo)系)，有序數(shù)組（r,φ，θ),叫做點(diǎn)P的球坐標(biāo)，記作P（r，φ,θ),其中ｒ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(ｘ,ｙ，ｚ)與球坐標(biāo)(r，φ，θ)之間的變換公式為eq\b\lc\{（\a\vs4\al\ｃo1(x=rｓｉnφｃosθ,y=rsiｎφｓｉｎθ，z=rcｏｓφ）)．第二講一、參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，假如曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)并且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由這個(gè)方程所擬定的點(diǎn)都在這條曲線上,那么這個(gè)方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。二、參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是在同一平面直角坐標(biāo)系中表達(dá)曲線的方程的兩種不同形式，兩種方程是等價(jià)的可以互相轉(zhuǎn)化．(2)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有助于辨認(rèn)曲線的類(lèi)型．參數(shù)方程通過(guò)消去參數(shù)就可得到普通方程．(3)普通方程化參數(shù)方程,一方面擬定變數(shù)ｘ，y中的一個(gè)與參數(shù)ｔ的關(guān)系，例如x=f(t)，另一方面將x=f(t)代入普通方程解出ｙ＝g(t)，則eq\b\lc\｛（＼ａ\vs４\ａｌ＼ｃｏ1(x=ｆ（ｔ),y＝ｇ（t)))(t為參數(shù))就是曲線的參數(shù)方程．(4)在建立曲線的參數(shù)方程時(shí),要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.三、圓的參數(shù)方程1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的參數(shù)方程如圖圓O與x軸正半軸交點(diǎn)M0(ｒ,0）.(1）設(shè)M(x,y)為圓Ｏ上任一點(diǎn),以O(shè)M為終邊的角設(shè)為θ,則以θ為參數(shù)的圓O的參數(shù)方程是eｑ＼b\lｃ\{（＼a＼ｖs4\ａl\co1(ｘ＝rcosθ,y＝rsｉｎθ))(θ為參數(shù)).其中參數(shù)θ的幾何意義是OM0繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到OＭ的位置時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度.(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在圓上從M0點(diǎn)開(kāi)始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),角速度為ω,則ＯM0通過(guò)時(shí)間t轉(zhuǎn)過(guò)的角θ＝ωt，則以t為參數(shù)的圓Ｏ的參數(shù)方程為eｑ\b＼lc\{(\a\ｖs4\ａl\co１(ｘ=rcoｓωt,ｙ=rsｉｎωｔ))(t為參數(shù))．其中參數(shù)t的物理意義是質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．2.圓心為C(a，b），半徑為ｒ的圓的參數(shù)方程圓心為(a,ｂ)，半徑為r的圓的參數(shù)方程可以當(dāng)作將圓心在原點(diǎn)，半徑為ｒ的圓通過(guò)坐標(biāo)平移得到，所以其參數(shù)方程為eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co１(ｘ=a＋rｃosθ，,y=ｂ＋rｓinθ))（θ為參數(shù)).四、圓錐曲線的參數(shù)方程1、橢圓的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在ｘ軸上的橢圓eq\f（x2,a２)+ｅｑ＼f（y2，ｂ2)＝1(ａ>b>0）的參數(shù)方程是eｑ\b\lc\｛(\a\vｓ4\al\co1(x＝ａｃosφ,ｙ=bsｉnφ))(φ是參數(shù)),規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是［0，2π).（2）中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在ｙ軸上的橢圓eq\ｆ(ｙ2,ａ2)+eq\f（x2,b2)＝1(a>b＞０)的參數(shù)方程是eq\ｂ\lc\{(\a\ｖｓ4＼ａl＼cｏ1(x=ｂcoｓφ,y=asiｎφ))(φ是參數(shù)),規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍是[0，２π)．(3)中心在(h，ｋ)的橢圓普通方程為ｅq\f(（x-h)２,a2)＋eq\ｆ(（y－k)2，b2)=1,則其參數(shù)方程為eq\b＼lｃ＼{(\ａ\ｖｓ4＼al＼ｃo1(x＝h+acosφ,ｙ=k+bsinφ))(φ是參數(shù))．２.雙曲線的參數(shù)方程(1）中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在ｘ軸上的雙曲線eq＼f（x2,a2)-eq＼f（y２,b2)＝1的參數(shù)方程是eｑ\b\lc\｛(\a\vs4\al\ｃｏ1(x＝aｓeｃφ，y＝btanφ)）(φ為參數(shù)),規(guī)定參數(shù)φ的取值范圍為φ∈[０,2π)且φ≠ｅq\f(π,２），φ≠eｑ\ｆ(3π,2).(2）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線eq＼f(ｙ２,ａ2）-eq\ｆ(x2,b2)＝1的參數(shù)方程是eq＼b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝ｂtanφ,y=ａseｃφ)）(φ為參數(shù)).3．拋物線的參數(shù)方程(1)拋物線y2＝2pｘ的參數(shù)方程為ｅq\b＼lc\{(＼a\vs4\ａl\cｏ1(x＝2pt2,ｙ＝2pｔ)）(t為參數(shù))．(2)參數(shù)t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).方法1:參數(shù)方程和普通方程的互化五、直線的參數(shù)方程１.直線的參數(shù)方程通過(guò)點(diǎn)Ｍ0(ｘ0,y0),傾斜角為α的直線ｌ的參數(shù)方程為ｅq＼b\ｌc\{（\a\ｖs４\aｌ\ｃo１(x＝x0+tcosα，y=y0＋ｔｓinα))(t為參數(shù)）．2．直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義（1)參數(shù)t的絕對(duì)值表達(dá)參數(shù)t所相應(yīng)的點(diǎn)Ｍ到定點(diǎn)M0的距離.（2)當(dāng)eq＼o(Ｍ0M，\s\ｕp6(→)）與e(直線的單位方向向量)同向時(shí)，ｔ取正數(shù)．當(dāng)eq\o(M0Ｍ,\s\up6(→))與e反向時(shí),t取負(fù)數(shù),當(dāng)Ｍ與M０重合時(shí)，t＝０.３.直線參數(shù)方程的其他形式對(duì)于同一條直線的普通方程，選取的參數(shù)不同，會(huì)得到不同的參數(shù)方程．我們把過(guò)點(diǎn)M0（ｘ0,y０），傾斜角為α的直線，選取參數(shù)t＝Ｍ０M得到的參數(shù)方程eq＼b\ｌc＼{(\a\vs４\ａl\co1（x＝ｘ0＋tｃosα,y＝y(tǒng)0+tsinα))(t為參數(shù))稱(chēng)為直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,此時(shí)的參數(shù)t有明確的幾何意義．一般地,過(guò)點(diǎn)M0(ｘ０,y0),斜率ｋ＝eｑ＼f(b，a)(a，b為常數(shù)）的直線,參數(shù)方程為eq＼ｂ\lc\{(\a\vs4＼aｌ\cｏ1(x＝x0+ａt(yī)，ｙ＝y(tǒng)0＋bｔ）)(t為參數(shù)),稱(chēng)為直線參數(shù)方程的一般形式,此時(shí)的參數(shù)t不具有標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)的幾何意義.方法２:求直線參數(shù)方程方法３：參數(shù)方程問(wèn)題的解決辦法解決參數(shù)問(wèn)題的一個(gè)基本思緒:將其轉(zhuǎn)化為普通方程，然后在直角坐標(biāo)系下解決問(wèn)題。方法4：運(yùn)用參數(shù)的幾何意義解題六、漸開(kāi)線與擺線（了解）1.漸開(kāi)線的概念及參數(shù)方程(1)漸開(kāi)線的產(chǎn)生過(guò)程及定義把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切，逐漸展開(kāi)，鉛筆畫(huà)出的曲線叫做圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓.（2)圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程以基圓圓心Ｏ為原點(diǎn)，直線ＯA為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.設(shè)基圓的半徑為r,繩子外端Ｍ的坐標(biāo)為（x，y),則有ｅq\b＼lc\{(\a\vｓ4\al＼ｃo1(x=ｒ(cosφ＋φsｉnφ),,ｙ=r(ｓinφ－φcoｓφ）))（φ是參數(shù)).這就是圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程.2.擺線的概念及參數(shù)方程(1）擺線的產(chǎn)生過(guò)程及定義平面內(nèi),一個(gè)動(dòng)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)固定點(diǎn)所通過(guò)的軌跡，叫做平擺線，簡(jiǎn)稱(chēng)擺線，又叫旋輪線．(２）半徑為r的圓所產(chǎn)生擺線的參數(shù)方程為eｑ\b＼lc\{(\ａ\vｓ4＼al\cｏ１（x＝r（φ-sinφ）,,ｙ=r（1－coｓφ))）(φ是參數(shù)).練習(xí)1.曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（）．A．B．C.Ｄ．2.把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（）.A．Ｂ.C.Ｄ．3．若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（)．Ａ．Ｂ.C．Ｄ．4.點(diǎn)在圓的（)．Ａ.內(nèi)部 B.外部? Ｃ．圓上Ｄ．與θ的值有關(guān)5.參數(shù)方程為表達(dá)的曲線是()．A．一條直線B.兩條直線C．一條射線D.兩條射線6．兩圓與的位置關(guān)系是(）.Ａ.內(nèi)切 B.外切 C.相離 D．內(nèi)