數(shù)字信號處理Lec7

現(xiàn)代信號處理中國科學(xué)院大學(xué)電子電氣與通信學(xué)院冀連營jilianying@本節(jié)課講隨機(jī)信號的功率譜定義維納—辛欽定理隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)隨機(jī)型號的分析——功率譜與傅里葉變換傅里葉分析是確定性信號處理的最重要工具對于隨機(jī)信號傅里葉分析同樣適用于隨機(jī)信號分析統(tǒng)計(jì)量，均值，相關(guān)，都是從“時域”角度在分析這個信號和確定性信號一樣，把信號分解成正弦信號的形式，更符合很多物理量的變化形式，和它們與各種系統(tǒng)的交互方式。隨機(jī)型號的分析——功率譜功率譜的物理起源功率譜，最早在輻射學(xué)，光學(xué)里，用來代表不同波長的光的功率大小功率譜，表達(dá)了每個頻率分量的功率的大小。右圖是不同光源中不同波長的光的功率分布隨機(jī)型號的分析——功率譜在持續(xù)無限長時，不能計(jì)算能量，但是能計(jì)算功率嚴(yán)格來講，功率譜是個時間的函數(shù)，X（f，t），除非信號各個時刻頻率分布相同（比較平穩(wěn)的定義）傅里葉變換反映的是每個頻率分量的能量（傅里葉變換的幅度的平方）大小但是傅里葉變換是個與時間無關(guān)的變換（它是不區(qū)分這個頻率分量出現(xiàn)在哪一個時刻的）隨機(jī)型號的分析——功率譜功率譜的數(shù)學(xué)起源問題在于，隨機(jī)信號，尤其是噪聲，都是無限長的。。。能量是無限的而傅里葉變換的得到的是能量（積分）所以還有一個求功率的過程（除以時間長度）在實(shí)際使用時，由于樣本長度有限，可以忽略長度這件事隨機(jī)型號的分析——功率譜對于一個統(tǒng)計(jì)信號來說，如何做頻域分析呢？從角度1理解，一個隨機(jī)信號有很多種變化形式，是個信號的集合每一種變化形式（樣本函數(shù)）都可以分解成正弦信號的和的形式，也就是都可以做傅里葉變換那么，這個隨機(jī)信號的傅里葉變換呢？——還是“平均”怎么平均，——統(tǒng)計(jì)平均，可以理解隨機(jī)信號的傅里葉變換是某個正弦分量出現(xiàn)的可能性大?。侩S機(jī)型號的分析——功率譜但是“直接平均”有問題傅里葉變換的系數(shù)是復(fù)數(shù)，實(shí)部和虛部還有正有負(fù)相位不同，會導(dǎo)致實(shí)部和虛部的正負(fù)號相反加起來，會對消掉，所以我們得先“求幅值”，再平均隨機(jī)型號的分析——功率譜

隨機(jī)型號的分析——功率譜那么“功率譜”就是描述了統(tǒng)計(jì)意義上，一個隨機(jī)信號各個正弦分量的比重噪聲的功率譜怎么理解我們沒看出來噪聲里有正弦呢？為什么“白”噪聲，功率譜是一根直線隨機(jī)型號的分析——功率譜正弦加噪聲的功率譜怎么理解傅里葉變換是線性操作，所以：功率譜（sig+noise）=功率譜（sig）+功率譜（noise）隨機(jī)型號的分析——功率譜那么回頭來說，語音信號的功率譜怎么理解？平均了每種發(fā)音的傅里葉變換隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)現(xiàn)在，我們就有了兩種手段了時域：均值，方差，自相關(guān)頻域：功率譜它們二者的聯(lián)系如何呢？在平穩(wěn)的時候，維納——辛欽定理不平穩(wěn)呢的時候，可以，分解開，將其中攜帶信息的一部分作為確定性來分析（或者角度1）維納-辛欽定理：廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號的功率譜等于自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)維納——辛欽定理前提條件廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號說明的問題自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是功率譜隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)維納——辛欽定理的證明（E內(nèi)移，求平均的角度出發(fā)的）隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)

隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)

隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)維納——辛欽定理與確定性信號的“分解為脈沖序列，分解為正弦信號”之間的等效關(guān)系類似隨機(jī)信號“平均為自相關(guān)序列，平均為正弦信號”之間的等效兩個期望之間的等效關(guān)系隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)重點(diǎn)那么，功率譜就有兩個定義，或者說兩種計(jì)算方法直接從傅里葉變換做平均的角度直接從自相關(guān)函數(shù)的福利葉變換的角度哪個是本源？（很多書籍的誤導(dǎo)）與確定性信號分析類似，自相關(guān)適合計(jì)算，功率譜才適合分析和設(shè)計(jì)注意，“廣義平穩(wěn)假設(shè)”，只適合分析噪聲那么如果是信號加噪聲呢？（我們講過了）隨機(jī)型號的分析——功率譜和自相關(guān)功率譜的類型線譜隨機(jī)相位正弦信號可預(yù)測隨機(jī)過程連續(xù)譜噪聲不可預(yù)測隨機(jī)過程隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)問題的來源？噪聲通過濾波器后，會怎么樣（相關(guān)會變化么，功率譜會變化么）隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)隨機(jī)信號通過LTI系統(tǒng)的基本分析思路——角度1讓信號的每個樣本函數(shù)（可能形式），單獨(dú)通過LTI系統(tǒng)然后把輸出統(tǒng)計(jì)一下（平均一下）當(dāng)然我們不是直接平均信號本身，因?yàn)樗南嗉訉ο匦灾苯咏y(tǒng)計(jì)（自相關(guān)，傅里葉）分析步驟每個樣本通過LTI，后它的相關(guān)，傅里葉統(tǒng)計(jì)這些相關(guān)，傅里葉隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)但是如果假設(shè)了平穩(wěn)平穩(wěn)的假設(shè)，使得自相關(guān)這個時變的統(tǒng)計(jì)函數(shù)，轉(zhuǎn)換為了一個一維的確定性函數(shù)，計(jì)算相關(guān)，也從在多個樣本函數(shù)上進(jìn)行平均，轉(zhuǎn)化為對一個樣本函數(shù)進(jìn)行平均平穩(wěn)的假設(shè)，使得功率譜這個統(tǒng)計(jì)平局的傅里葉變換，轉(zhuǎn)換為了一個的確定性函數(shù)（自相關(guān)函數(shù)的）的傅里葉變換，從分析所有樣本函數(shù)的傅里葉變換，轉(zhuǎn)換為分析一個樣本函數(shù)的傅里葉變換平穩(wěn)的假設(shè)也使得，LTI系統(tǒng)響應(yīng)分析，由對所有樣本進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換為了對一個樣本進(jìn)行分析，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成了確定性信號的分析問題（在只關(guān)心相關(guān)函數(shù)和功率譜的前提下）轉(zhuǎn)化為一個樣本函數(shù)的相關(guān)后，相關(guān)又等價為一個特殊的卷積而這個確定性函數(shù)，又等于信號x（t）與自己的翻折信號x（-t）的卷積，從而我們可以把它表達(dá)為沖擊函數(shù)通過一個沖激響應(yīng)為h（t）=x（-t）的系統(tǒng)隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)h(t)

x(t)

h(t)

x(t)

h(t)

x(-t)h(-t)x(t)

x(-t)

隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過程通過LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過程通過LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析從頻域理解，就是Y（f）=H（f）X（f）隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過程通過LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)隨機(jī)過程通過LTI系統(tǒng)后的相關(guān)分析隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)我們直接對隨機(jī)信號的所有樣本函數(shù)取平均，下場就是只得到了它的直流分量的期望隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)輸出功率分析隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)頻域分析隨機(jī)型號的分析——隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)功率譜分析，對于隨機(jī)信號與LTI系統(tǒng)的分析，更常用因?yàn)楦菀桌斫?，符合我們直覺的角度1理解方式卷