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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年滄州醫(yī)學(xué)高等專科學(xué)校高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.已知點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn),若記AB=a,AC=b,則用a,b表示AD為______.答案:以AB,AC為臨邊作平行四邊形ACEB,連接其對(duì)角線AE、BC交與點(diǎn)D,易知D是△ABC的邊BC的中點(diǎn),且D是AE的中點(diǎn),如圖:由向量的平行四邊形法則可得AB+AC=a+b=AE=2AD,解得AD=12(a+b),故為:AD=12(a+b)2.若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,則事件A與事件B的關(guān)系是()
A.互斥事件
B.對(duì)立事件
C.不是互斥事件
D.前者都不對(duì)答案:D3.已知x,y的取值如下表所示:
x3711y102024從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且y=74x+a,則a=______.答案:∵線性回歸方程為y=74x+a,,又∵線性回歸方程過樣本中心點(diǎn),.x=3+7+113=7,.y=10+20+243=18,∴回歸方程過點(diǎn)(7,18)∴18=74×7+a,∴a=234.故為:234.4.如圖,花園中間是噴水池,噴水池周圍的A、B、C、D區(qū)域種植草皮,要求相鄰的區(qū)域種不同顏色的草皮,現(xiàn)有4種不同顏色的草皮可供選用,則共有______種不同的種植方法(以數(shù)字作答).答案:若AD相同,有4×(3+3×2)種種植方法,若AD不同,有4×3×(2+2×1)種種植方法∴共有4×(3+3×2)+4×3×(2+2×1)=36+48=84種不同方法.故為84.5.已知矩陣A=b-2-7a的逆矩陣是B=a273,則a+b=______.答案:根據(jù)矩陣A=b-2-7a的逆矩陣是B=a273,得a273b-2-7a=1001,∴ab-14=1-2a+2a=07b-21=0-14+3a=1,解得a=5b=3∴a+b=8.故為:8.6.圓x2+y2-4x=0在點(diǎn)P(1,)處的切線方程為()
A.x+y-2=0
B.x+y-4=0
C.x-y+4=0
D.x-y+2=0答案:D7.在空間中,有如下命題:
①互相平行的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線;
②若平面α∥平面β,則平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β;
③若平面α與平面β的交線為m,平面α內(nèi)的直線n⊥直線m,則直線n⊥平面β.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為()個(gè).
A.0
B.1
C.2
D.3答案:B8.已知函數(shù)f(x)=2x,x≥01,
x<0,若f(1-a2)>f(2a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.答案:函數(shù)f(x)=2x,x≥01,
x<0,x<0時(shí)是常函數(shù),x≥0時(shí)是增函數(shù),由f(1-a2)>f(2a),所以2a<1-a21-a2>0,解得:-1<a<2-1,故為:-1<a<2-1.9.對(duì)于空間中的三個(gè)向量,
,
,它們一定是()
A.共面向量
B.共線向量
C.不共面向量
D.以上均不對(duì)答案:A10.直線kx-y+1=3k,當(dāng)k變動(dòng)時(shí),所有直線都通過定點(diǎn)[
]
A.(3,1)
B.(0,1)
C.(0,0)
D.(2,1)答案:A11.已知拋物線y=14x2,則過其焦點(diǎn)垂直于其對(duì)稱軸的直線方程為______.答案:拋物線y=14x2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y的焦點(diǎn)F(0,1),對(duì)稱軸為y軸所以拋物線y=14x2,則過其焦點(diǎn)垂直于其對(duì)稱軸的直線方程為y=1故為y=1.12.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,則在映射f下,象20的原象是()A.2B.3C.4D.5答案:由2n+n=20求n,用代入法可知選C.故選C13.若直線l與直線2x+5y-1=0垂直,則直線l的方向向量為______.答案:直線l與直線2x+5y-1=0垂直,所以直線l:5x-2y+k=0,所以直線l的方向向量為:(2,5).故為:(2,5)14.已知向量,滿足:||=3,||=5,且=λ,則實(shí)數(shù)λ=()
A.
B.
C.±
D.±答案:C15.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},則A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}答案:因?yàn)锳∩B={1,3,5,7,9}∩{0,3,6,9,12}={3,9}故選D16.關(guān)于x的方程x2+4x+k=0有一個(gè)根為-2+3i(i為虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)k=______.答案:由韋達(dá)定理(一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系)可得:x1?x2=k∵k∈Rx1=-2+3i,∴x2=-2-3i,則k=(-2-3i)(-2+3i)=13故為:1317.設(shè)A1,A2,A3,A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn),若A1A3=λA1A2(λ∈R),A1A4=μA1A2(μ∈R),且1λ+1μ=2,則稱A3,A4調(diào)和分割A(yù)1,A2,已知點(diǎn)C(c,0),D(d,O)(c,d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0),B(1,0),則下面說(shuō)法正確的是()A.C可能是線段AB的中點(diǎn)B.D可能是線段AB的中點(diǎn)C.C,D可能同時(shí)在線段AB上D.C,D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上答案:由已知可得(c,0)=λ(1,0),(d,0)=μ(1,0),所以λ=c,μ=d,代入1λ+1μ=2得1c+1d=2(1)若C是線段AB的中點(diǎn),則c=12,代入(1)d不存在,故C不可能是線段AB的中,A錯(cuò)誤;同理B錯(cuò)誤;若C,D同時(shí)在線段AB上,則0≤c≤1,0≤d≤1,代入(1)得c=d=1,此時(shí)C和D點(diǎn)重合,與條件矛盾,故C錯(cuò)誤.故選D18.參數(shù)方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ為參數(shù))的普通方程為______.答案:把參數(shù)方程x=sin2θy=cosθ+sinθ(θ為參數(shù))利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)化為普通方程為y2=1+x,故為y2=1+x.19.不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),則a+b的值是()
A.10
B.-10
C.14
D.-14答案:D20.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()A.雙曲線B.雙曲線右支C.一條射線D.不存在答案:∵|PM|-|PN|=3,M(-2,0),N(2,0),且3<4=|MN|,根據(jù)雙曲線的定義,∴點(diǎn)P是以M(-2,0),N(2,0)為兩焦點(diǎn)的雙曲線的右支.故選B.21.從1,2,3,4,5,6,7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.432
B.288
C.216
D.108答案:C22.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n>1124
(n∈N,n≥1)答案:證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12>1124,∴n=1時(shí)成立(2分)(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1k+2+1k+3+…+1k+k
+1K+1+k+1k+1+k+1=1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k+1k+k+1
+1k+1+k+1-1k+1>1124+12k+1-12k+2>1124.∴n=k+1時(shí)也成立(7分)根據(jù)(1)(2)可得不等式對(duì)所有的n≥1都成立(8分)23.如圖,F(xiàn)是定直線l外的一個(gè)定點(diǎn),C是l上的動(dòng)點(diǎn),有下列結(jié)論:若以C為圓心,CF為半徑的圓與l相交于A、B兩點(diǎn),過A、B分別作l的垂線與圓C過F的切線相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q,則必在以F為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的同一條拋物線上.
(Ⅰ)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出該拋物線的方程;
(Ⅱ)對(duì)以上結(jié)論的反向思考可以得到另一個(gè)命題:“若過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于P、Q兩點(diǎn),則以PQ為直徑的圓一定與拋物線的準(zhǔn)線l相切”請(qǐng)問:此命題是正確?試證明你的判斷;
(Ⅲ)請(qǐng)選擇橢圓或雙曲線之一類比(Ⅱ)寫出相應(yīng)的命題并證明其真假.(只選擇一種曲線解答即可,若兩種都選,則以第一選擇為平分依據(jù))答案:(Ⅰ)過F作l的垂線交l于K,以KF的中點(diǎn)為原點(diǎn),KF所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖1,并設(shè)|KF|=p,則可得該拋物線的方程為
y2=2px(p>0);(Ⅱ)該命題為真命題,證明如下:如圖2,設(shè)PQ中點(diǎn)為M,P、Q、M在拋物線準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D,∵PQ是拋物線過焦點(diǎn)F的弦,∴|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB的中位線,∴|MD=12(|PA|+|QB|)=12(|PF|+|QF|)=|PQ|2.∵M(jìn)是以PQ為直徑的圓的圓心,∴圓M與l相切.(Ⅲ)選擇橢圓類比(Ⅱ)所寫出的命題為:“過橢圓一焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),則以PQ為直徑的圓與橢圓相應(yīng)的準(zhǔn)線l相離”.此命題為真命題,證明如下:證明:設(shè)PQ中點(diǎn)為M,橢圓的離心率為e,則0<e<1,P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e>|PQ|2,∴圓M與準(zhǔn)線l相離.選擇雙曲線類比(Ⅱ)所寫出的命題為:“過雙曲線一焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn),則以PQ為直徑的圓與雙曲線相應(yīng)的準(zhǔn)線l相交”.此命題為真命題,證明如下:證明:設(shè)PQ中點(diǎn)為M,橢圓的離心率為e,則e>1,P、Q、M在相應(yīng)準(zhǔn)線l上的射影分別為A、B、D,∵|PF|PA=e,∴|PA|=|PF|e,同理得|QB|=|QF|e.∵M(jìn)D是梯形APQB的中位線,∴|MD|=|PA|+|QB|2=12(|PF|e+|QF|e)=|PQ|2e<|PQ|2,∴圓M與準(zhǔn)線l相交.24.設(shè)復(fù)數(shù)z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使得:
(1)z是純虛數(shù);
(2)z是實(shí)數(shù);
(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.答案:(1)若z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是純虛數(shù),則可得lg(m2-2m-2)=0m2+3m+2≠0,即m2-2m-2=1m2+3m+2≠0,解之得m=3(舍去-1);…(3分)(2)若z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是實(shí)數(shù),則可得m2+3m+2=0,解之得m=-1或m=-2…(6分)(3)∵z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(lg(m2-2m-2),m2+3m+2)∴若該對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限,則可得lg(m2-2m-2)<0m2+3m+2>0,即0<m2-2m-2<1m2+3m+2>0,解之得-1<m<1-3或1+3<m<3.…(10分)25.已知拋物線y2=4x上兩定點(diǎn)A、B分別在對(duì)稱軸兩側(cè),F(xiàn)為焦點(diǎn),且|AF|=2,|BF|=5,在拋物線的AOB一段上求一點(diǎn)P,使S△ABP最大,并求面積最大值.答案:不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,B點(diǎn)在第四象限.如圖.拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),點(diǎn)A在第一象限,設(shè)A(x1,y1),y1>0,由|FA|=2得x1+1=2,x1=1,代入y2=4x中得y1=2,所以A(1,2),…(2分);同理B(4,-4),…(4分)由A(1,2),B(4,-4)得|AB|=(1-4)2+(2+4)2=35…(6分)直線AB的方程為y-2-4-2=x-14-1,化簡(jiǎn)得2x+y-4=0.…(8分)再設(shè)在拋物線AOB這段曲線上任一點(diǎn)P(x0,y0),且0≤x0≤4,-4≤y0≤2.則點(diǎn)P到直線AB的距離d=|2x0+y0-4|1+4=|2×y0
24+y0-4|5=|12(y0+1)2-92|5
…(9分)所以當(dāng)y0=-1時(shí),d取最大值9510,…(10分)所以△PAB的面積最大值為S=12×35×9510=274
…(11分)此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(14,-1).…(12分).26.已知函數(shù)f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),則f(log23)=______.答案:因?yàn)?<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故為:24.27.設(shè)d1與d2都是直線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量,則下列關(guān)于d1與d2的敘述正確的是()A.d1=d2B.d1與d2同向C.d1∥d2D.d1與d2有相同的位置向量答案:根據(jù)直線的方向向量定義,把直線上的非零向量以及與之共線的非零向量叫做直線的方向向量.因此,線Ax+By+C=0(AB≠0)的方向向量都應(yīng)該是共線的故選C.28.在復(fù)平面內(nèi),記復(fù)數(shù)3+i對(duì)應(yīng)的向量為OZ,若向量OZ饒坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到向量OZ所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為______.答案:向量OZ饒坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3+i)(cos60°+isin60°)=(3+i)(12+32i)=2i,故為2i.29.下列物理量中,不能稱為向量的是()A.質(zhì)量B.速度C.位移D.力答案:既有大小,又有方向的量叫做向量;質(zhì)量只有大小沒有方向,因此質(zhì)量不是向量.而速度、位移、力既有大小,又有方向,因此它們都是向量.故選A.30.用反證法證明命題“若a、b∈N,ab能被2整除,則a,b中至少有一個(gè)能被2整除”,那么反設(shè)的內(nèi)容是______.答案:根據(jù)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,應(yīng)先假設(shè)要證命題的否定成立,而要證命題的否定為:“a,b都不能被2整除”,故為:a、b都不能被2整除.31.已知A(0,1),B(3,7),C(x,15)三點(diǎn)共線,則x的值是()
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C32.已知A(3,0),B(0,3),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)C在第一象限內(nèi),且∠AOC=60°,設(shè)OC=OA+λOB
(λ∈R),則λ等于()A.33B.3C.13D.3答案:∵OC=OC=OA+λOB(λ∈R),∠AOC=60°∴|λOB|=
3tan60°=33又∵|OB|=3∴λ=3故選D.33.求證:三個(gè)兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直.答案:設(shè)三個(gè)互相垂直的平面分別為α、β、γ,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,三個(gè)平面的公共點(diǎn)為O,如圖所示:在平面γ內(nèi),除點(diǎn)O外,任意取一點(diǎn)M,且點(diǎn)M不在這三個(gè)平面中的任何一個(gè)平面內(nèi),過點(diǎn)M作MN⊥c,MP⊥b,M、P為垂足,則有平面和平面垂直的性質(zhì)可得MN⊥α,MP⊥β,∴a⊥MN,a⊥MP,∴a⊥平面γ.
再由b、c在平面γ內(nèi),可得a⊥b,a⊥c.同理可證,c⊥b,c⊥a,從而證得a、b、c互相垂直.34.已知x∈{1,2,x2},則實(shí)數(shù)x=______.答案:∵x∈{1,2,x2},分情況討論可得:①x=1此時(shí)集合為{1,2,1}不合題意②x=2此時(shí)集合為{1,2,4}合題意③x=x2解得x=0或x=1當(dāng)x=0時(shí)集合為{1,2,0}合題意故為0或2.35.已知向量,滿足:||=3,||=5,且=λ,則實(shí)數(shù)λ=()
A.
B.
C.±
D.±答案:C36.(幾何證明選講選做題)如圖,⊙O中,直徑AB和弦DE互相垂直,C是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接BC與圓0交于F,若∠CFE=α(α∈(0,π2)),則∠DEB______.答案:∵直徑AB和弦DE互相垂直∴AB平分DE∴BD=BE,∠D=∠BED∵DEFB四點(diǎn)共圓∴∠EFC=∠D=α∴∠DEB=α故為:α37.書架上有5本數(shù)學(xué)書,4本物理書,5本化學(xué)書,從中任取一本,不同的取法有()A.14B.25C.100D.40答案:由題意,∵書架上有5本數(shù)學(xué)書,4本物理書,5本化學(xué)書,∴從中任取一本,不同的取法有5+4+5=14種故選A.38.把下列直角坐標(biāo)方程或極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化:
(1)ρ(2cos?-3sin?)+1=0
(2)x2+y2-4x=0.答案:(1)將原極坐標(biāo)方程ρ(2cosθ-3sinθ)+1=0展開后化為:2ρcosθ-3ρsinθ+1=0,化成直角坐標(biāo)方程為:2x-3y+1=0,(2)把公式x=ρcosθ、y=ρsinθ代入曲線的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0,可得極坐標(biāo)方程ρ2-4ρcosθ=0,即ρ=4cosθ.39.若平面向量a與b的夾角為120°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=______.答案:∵|a+2b|=(a+2b)2=a
2+4a?b+4
b2=|a|2+4|a||b|cos<a,b>+4|b|2=22+4×2×1cos120°+4×1=2.故為:240.設(shè)集合A={1,2,4},B={2,6},則A∪B等于()A.{2}B.{1,2,4,6}C.{1,2,4}D.{2,6}答案:∵集合A={1,2,4},B={2,6},∴A∪B={1,2,4}∪{2,6}={1,2,4,6},故選B.41.為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性,甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做10次和15次試驗(yàn),并且利用線性回歸方法,求得回歸直線分別為l1和l2,已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是s,對(duì)變量y的觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均值都是t,那么下列說(shuō)法正確的是()
A.l1和l2必定平行
B.l1與l2必定重合
C.l1和l2有交點(diǎn)(s,t)
D.l1與l2相交,但交點(diǎn)不一定是(s,t)答案:C42.若a1≤a2≤…≤an,而b1≥b2≥…≥bn或a1≥a2≥…≥an而b1≤b2≤…≤bn,證明:a1b1+a2b2+…+anbnn≤(a1+a2+…+ann)?(b1+b2+…+bnn).當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)等號(hào)成立.答案:證明不妨設(shè)a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn.則由排序原理得:a1b1+a2b2+…+anbn=a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn≤a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn≤a1b3+a2b4+…+an-1b1+anb2…a1b1+a2b2+…+anbn≤a1bn+a2b1+…+anbn-1.將上述n個(gè)式子相加,得:n(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)上式兩邊除以n2,得:a1b1+a2b2+…+anbnn≤(a1+a2+…+ann)(b1+b2+…+bnn)等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)成立.43.在統(tǒng)計(jì)中,樣本的標(biāo)準(zhǔn)差可以近似地反映總體的()
A.平均狀態(tài)
B.頻率分布
C.波動(dòng)大小
D.最大值和最小值答案:C44.已知直線的斜率為3,則此直線的傾斜角為()A.30°B.60°C.45°D.120°答案:∵直線的斜率為3,∴直線傾斜角α滿足tanα=3結(jié)合α∈[0°,180°),可得α=60°故選:B45.在直角梯形ABCD中,已知A(-5,-10),B(15,0),C(5,10),AD是腰且垂直兩底,求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).答案:設(shè)D(x,y),則∵DC∥AB,∴y-10x-5=0+1015+5,又∵DA⊥AB,∴y+10x+5?0+1015+5=-1.由以上方程組解得:x=-11,y=2.∴D(-11,2).46.已知直線l1,l2的夾角平分線所在直線方程為y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>0),那么l2的方程是()
A.bx+ay+c=0
B.a(chǎn)x-by+c=0
C.bx+ay-c=0
D.bx-ay+c=0答案:A47.已知M為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)1、F2為橢圓焦點(diǎn),延長(zhǎng)F2M至點(diǎn)B,則ρF1MB的外角的平分線為MN,過點(diǎn)F1作
F1Q⊥MN,垂足為Q,當(dāng)點(diǎn)M在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),則點(diǎn)Q的軌跡方程是______.答案:點(diǎn)F1關(guān)于∠F1MF2的外角平分線MQ的對(duì)稱點(diǎn)N在直線F1M的延長(zhǎng)線上,故|F1N|=|PF1|+|PF2|=2a(橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)),又OQ是△F2F1N的中位線,故|OQ|=a,點(diǎn)Q的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,a為半徑的圓,點(diǎn)Q的軌跡方程是x2+y2=a2故為:x2+y2=a248.已知=1-ni,其中m,n是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則m+ni=(
)
A.1+2i
B.1-2i
C.2+i
D.2-i答案:C49.已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=2,則:f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+f(8)f(7)+…+f(2006)f(2005)=______答案:∵f(p+q)=f(p)f(q),∴f(p+1)=f(p)f(1)即f(p+1)f(p)=f(1)=2,∴f(2)f(1)=2,f(4)f(3)=2…f(2006)f(2005)=2即f(2)f(1)+f(4)f(3)+f(6)f(5)+f(8)f(7)+…+f(2006)f(2005)=2×1003=2006故為:200650.若圓C過點(diǎn)M(0,1)且與直線l:y=-1相切,設(shè)圓心C的軌跡為曲線E,A、B為曲線E上的兩點(diǎn),點(diǎn)P(0,t)(t>0),且滿足AP=λPB(λ>1).
(I)求曲線E的方程;
(II)若t=6,直線AB的斜率為12,過A、B兩點(diǎn)的圓N與拋物線在點(diǎn)A處共同的切線,求圓N的方程;
(III)分別過A、B作曲線E的切線,兩條切線交于點(diǎn)Q,若點(diǎn)Q恰好在直線l上,求證:t與QA?QB均為定值.答案:【解】(Ⅰ)依題意,點(diǎn)C到定點(diǎn)M的距離等于到定直線l的距離,所以點(diǎn)C的軌跡為拋物線,曲線E的方程為x2=4y.(Ⅱ)直線AB的方程是y=12x+6,即x-2y+12=0.由{_x2=4y,x-2y+12=0,及AP=λPB(λ>1)知|AP|>|PB|,得A(6,9)和B(-4,4)由x2=4y得y=14x2,y′=12x.所以拋物線x2=4y在點(diǎn)A處切線的斜率為y'|x=6=3.直線NA的方程為y-9=-13(x-6),即y=-13x+11.①線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,132),線段AB中垂線方程為y-132=-2(x-1),即y=-2x+172.②由①、②解得N(-32,232).于是,圓C的方程為(x+32)2+(y-232)2=(-4+32)2+(4-232)2,即(x+32)2+(y-232)2=1252.(Ⅲ)設(shè)A(x1,x124),B(x2,x224),Q(a,-1).過點(diǎn)A的切線方程為y-x214=x12(x-x1),即x12-2ax1-4=0.同理可得x22-2ax2-4=0,所以x1+x2=2a,x1x2=-4.又kAB=x124-x224x1-x2=x1+x24,所以直線AB的方程為y-x124=x1+x24(x-x
1),即y=x1+x24x-x1x24,亦即y=a2x+1,所以t=-1.而QA=(x1-a,x124+1),QB=(x2-a,x224+1),所以QA?QB=(x1-a)(x2-a)+(x214+1)(x224+1)=x1x2-a(x1+x2)+a2+x21x2216+(x1+x2)2-2x1x24+1=-4-2a2+a2+1+4a2+84+1=0.第2卷一.綜合題(共50題)1.若兩直線l1,l2的傾斜角分別為α1,α2,則下列四個(gè)命題中正確的是()
A.若α1<α2,則兩直線斜率k1<k2
B.若α1=α2,則兩直線斜率k1=k2
C.若兩直線斜率k1<k2,則α1<α2
D.若兩直線斜率k1=k2,則α1=α2答案:D2.若兩圓x2+y2=m和x2+y2+6x-8y-11=0有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(
)
A.(-∞,1)
B.(121,+∞)
C.[1,121]
D.(1,121)答案:C3.(本小題滿分10分)如圖,D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn),且不與頂點(diǎn)重合,已知為方程的兩根
(1)證明四點(diǎn)共圓
(2)若求四點(diǎn)所在圓的半徑答案:(1)見解析;(2)解析:解:(Ⅰ)如圖,連接DE,依題意在中,,由因?yàn)樗裕?四點(diǎn)C、B、D、E共圓。(Ⅱ)當(dāng)時(shí),方程的根因而,取CE中點(diǎn)G,BD中點(diǎn)F,分別過G,F做AC,AB的垂線,兩垂線交于點(diǎn)H,連接DH,因?yàn)樗狞c(diǎn)C、B、D、E共圓,所以,H為圓心,半徑為DH.,,所以,,點(diǎn)評(píng):此題考查平面幾何中的圓與相似三角形及方程等概念和性質(zhì)。注意把握判定與性質(zhì)的作用。4.如圖,在等腰△ABC中,AC=AB,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作⊙O的切線交AC于點(diǎn)D,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.問:PD與AC是否互相垂直?請(qǐng)說(shuō)明理由.答案:PD與AC互相垂直.理由如下:連接OE,則OE⊥PD;∵AC=AB,OE=OB,∴∠OEB=∠B=∠C,∴OE∥AC,∴PD與AC互相垂直.5.一射手對(duì)靶射擊,直到第一次命中為止每次命中的概率為0.6,現(xiàn)有4顆子彈,命中后的剩余子彈數(shù)目ξ的期望為()
A.2.44
B.3.376
C.2.376
D.2.4答案:C6.已知直線過點(diǎn)A(2,0),且平行于y軸,方程:|x|=2,則(
)
A.l是方程|x|=2的曲線
B.|x|=2是l的方程
C.l上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程|x|=2的解
D.以方程|x|=2的解(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在l上答案:C7.已知:a={2,-3,1},b={2,0,-2},c={-1,-2,0},r=2a-3b+c,
則r的坐標(biāo)為______.答案:∵a=(2,-3,1),b=(2,0,-2),c=(-1,-2,0)∴r=2a-
3b+c=2(2,-3,1)-3(2,0,-2)+(-1,-2,0)=(4,-6,2)-(6,0,-6)+(-1,-2,0)=(-3,-8,8)故為:(-3,-8,8)8.若關(guān)于x,y的二元一次方程組m11mxy=m+12m至多有一組解,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.答案:關(guān)于x,y的二元一次方程組m11mxy=m+12m即二元一次方程組mx+y=m+1①x+my=2m②①×m-②得(m2-1)x=m(m-1)當(dāng)m-1≠0時(shí)(m2-1)x=m(m-1)至多有一組解∴m≠1故為:(-∞,1)∪(1,+∞)9.語(yǔ)句“若a>b,則a+c>b+c”是()
A.不是命題
B.真命題
C.假命題
D.不能判斷真假答案:B10.函數(shù)f(x)=x+1x的定義域是______.答案:要使原函數(shù)有意義,則x≥0x≠0,所以x>0.所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞).故為(0,+∞).11.隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ~B(n,p),且Eξ=300,Dξ=200,則p等于()
A.
B.0
C.1
D.答案:D12.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,對(duì)于bn=1n(a1+a2+…+an),則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.類比上述性質(zhì),若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,對(duì)于dn>0,則dn=______時(shí),數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列.答案:在類比等差數(shù)列的性質(zhì)推理等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí),我們一般的思路有:由加法類比推理為乘法,由減法類比推理為除法,由算術(shù)平均數(shù)類比推理為幾何平均數(shù)等,故我們可以由數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,則對(duì)于bn=1n(a1+a2+…+an),則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.類比推斷:若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,則當(dāng)dn=nC1C2C3Cn時(shí),數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列.故為:nC1C2C3Cn13.已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8,高為4的等腰三角形,左視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形.則該幾何體的體積為______.答案:由題意幾何體復(fù)原是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為8,6的距離,高為4,且頂點(diǎn)在底面的射影是底面矩形的中心的四棱錐.底面矩形的面積是48所以幾何體的體積是:13×46×4=64故為:64.14.已知點(diǎn)M在z軸上,A(1,0,2),B(1,-3,1),且|MA|=|MB|,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是
______.答案:∵點(diǎn)M在z軸上,∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,0,z)又|MA|=|MB|,由空間兩點(diǎn)間的距離公式得:12+02+(z-2)2=12+32+(z-1)2解得:z=-3.故點(diǎn)M的坐標(biāo)是(0,0,-3).故為:(0,0,-3).15.已知:如圖,CD是⊙O的直徑,AE切⊙O于點(diǎn)B,DC的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)A,∠A=20°,則
∠DBE=______.答案:連接BC,∵CD是⊙O的直徑,∴∠CBD=90°,∵AE是⊙O的切線,∴∠DBE=∠1,∠2=∠D;又∵∠1+∠D=90°,即∠1+∠2=90°---(1),∠A+∠2=∠1----(2),(1)-(2)得∠1=55°即∠DBE=55°.故為:∠DBE=55°.16.(幾何證明選講選做題)已知PA是⊙O的切線,切點(diǎn)為A,直線PO交⊙O于B、C兩點(diǎn),AC=2,∠PAB=120°,則⊙O的面積為______.答案:∵PA是圓O的切線,∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中,AC=2∴BC=4,即圓O的直徑2R=4∴圓O的面積S=πR2=4π故為:4π.17.某品牌平板電腦的采購(gòu)商指導(dǎo)價(jià)為每臺(tái)2000元,若一次采購(gòu)數(shù)量達(dá)到一定量,還可享受折扣.如圖為某位采購(gòu)商根據(jù)折扣情況設(shè)計(jì)的算法程序框圖,若一次采購(gòu)85臺(tái)該平板電腦,則S=______元.答案:分析程序中各變量、各語(yǔ)句,其作用是:表示一次采購(gòu)共需花費(fèi)的金額,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)S=200×0.8?x,x>100200×0.9?x,50<x≤100200?x,0<x≤50的值,∵x=85,∴S=200×0.9×85=15300(元),故為:15300.18.若函數(shù)f(2x+1)=x2-2x,則f(3)=______.答案:解法一:(換元法求解析式)令t=2x+1,則x=t-12則f(t)=(t-12)2-2t-12=14t2-32t+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法二:(湊配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x=14(2x+1)2-32(2x+1)+54∴f(x)=14x2-32x+54∴f(3)=-1解法三:(湊配法求解析式)∵f(2x+1)=x2-2x令2x+1=3則x=1此時(shí)x2-2x=-1∴f(3)=-1故為:-119.一個(gè)十二面體共有8個(gè)頂點(diǎn),其中2個(gè)頂點(diǎn)處各有6條棱,其它頂點(diǎn)處都有相同的棱,則其它頂點(diǎn)處的棱數(shù)為______.答案:此十二面體如右圖,數(shù)形結(jié)合可得則其它頂點(diǎn)處的棱數(shù)為4故為420.在數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證()
A.n=1成立
B.n=2成立
C.n=3成立
D.n=4成立答案:C21.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x相等的是()A.y=(x)4B.y=5x5C.y=x2D.y=x2x答案:函數(shù)y=x的定義域?yàn)镽,選項(xiàng)中A,D定義域不是R,是A、D不正確.選項(xiàng)C的對(duì)應(yīng)法則不同,C不正確.故選B.22.某地位于甲、乙兩條河流的交匯處,根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè),今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25,乙河流發(fā)生洪水的概率為0.18(假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響).現(xiàn)有一臺(tái)大型設(shè)備正在該地工作,為了保護(hù)設(shè)備,施工部門提出以下三種方案:
方案1:運(yùn)走設(shè)備,此時(shí)需花費(fèi)4000元;
方案2:建一保護(hù)圍墻,需花費(fèi)1000元,但圍墻只能抵御一個(gè)河流發(fā)生的洪水,當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí),設(shè)備仍將受損,損失約56
000元;
方案3:不采取措施,此時(shí),當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí)損失達(dá)60000元,只有一條河流發(fā)生洪水時(shí),損失為10000元.
(1)試求方案3中損失費(fèi)ξ(隨機(jī)變量)的分布列;
(2)試比較哪一種方案好.答案:(1)在方案3中,記“甲河流發(fā)生洪水”為事件A,“乙河流發(fā)生洪水”為事件B,則P(A)=0.25,P(B)=0.18,所以,有且只有一條河流發(fā)生洪水的概率為P(A?.B+.A?B)=P(A)?P(.B)+P(.A)?P(B)=0.34,兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P(A?B)=0.045,都不發(fā)生洪水的概率為P(.A?.B)=0.75×0.82=0.615,設(shè)損失費(fèi)為隨機(jī)變量ξ,則ξ的分布列為:(2)對(duì)方案1來(lái)說(shuō),花費(fèi)4000元;對(duì)方案2來(lái)說(shuō),建圍墻需花費(fèi)1000元,它只能抵御一條河流的洪水,但當(dāng)兩河流都發(fā)生洪水時(shí),損失約56000元,而兩河流同時(shí)發(fā)生洪水的概率為P=0.25×0.18=0.045.所以,該方案中可能的花費(fèi)為:1000+56000×0.045=3520(元).對(duì)于方案來(lái)說(shuō),損失費(fèi)的數(shù)學(xué)期望為:Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100(元),比較可知,方案2最好,方案1次之,方案3最差.23.經(jīng)過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x-2y+5=0的直線的方程是()
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0答案:A24.不等式:>0的解集為A.(-2,1)B.(2,+∞)C.(-2,1)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(1,+∞)答案:C解析:不等式:>0,∴,原不等式的解集為(-2,1)∪(2,+∞),選C。25.設(shè)雙曲線的漸近線方程為2x±3y=0,則雙曲線的離心率為______.答案:∵雙曲線的漸近線方程是2x±3y=0,∴知焦點(diǎn)是在x軸時(shí),ba=23,設(shè)a=3k,b=2k,則c=13k,∴e=133.焦點(diǎn)在y軸時(shí)ba=32,設(shè)a=2k,b=3k,則c=13k,∴e=132.故為:133或13226.下列命題中正確的是()
A.若,則
B.若,則
.若,則
D.若,則答案:C27.下列關(guān)于結(jié)構(gòu)圖的說(shuō)法不正確的是()
A.結(jié)構(gòu)圖中各要素之間通常表現(xiàn)為概念上的從屬關(guān)系和邏輯上的先后關(guān)系
B.結(jié)構(gòu)圖都是“樹形”結(jié)構(gòu)
C.簡(jiǎn)潔的結(jié)構(gòu)圖能更好地反映主體要素之間關(guān)系和系統(tǒng)的整體特點(diǎn)
D.復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖能更詳細(xì)地反映系統(tǒng)中各細(xì)節(jié)要素及其關(guān)系答案:B28.某學(xué)校三個(gè)社團(tuán)的人員分布如下表(每名同學(xué)只參加一個(gè)社團(tuán)):
聲樂社排球社武術(shù)社高一4530a高二151020學(xué)校要對(duì)這三個(gè)社團(tuán)的活動(dòng)效果里等抽樣調(diào)查,按分層抽樣的方法從社團(tuán)成員中抽取30人,結(jié)果聲樂社被抽出12人,則a=______.答案:根據(jù)分層抽樣的定義和方法可得,1245+15=30120+a,解得a=30,故為3029.A、B、C是我軍三個(gè)炮兵陣地,A在B的正東方向相距6千米,C在B的北30°西方向,相距4千米,P為敵炮陣地.某時(shí)刻,A發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某信號(hào),由于B、C比A距P更遠(yuǎn),因此,4秒后,B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)(該信號(hào)的傳播速度為每秒1千米).若從A炮擊敵陣地P,求炮擊的方位角.答案:以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸的正方向建立直角坐標(biāo)系,則A(3,0)
B(-3,0)
C(-5,23)依題意|PB|-|PA|=4∴P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.這里a=2,c=3,b2=5.其方程為
x24-y25=1
(x>0)…(3分)又|PB|=|PC|,∴P又在線段BC的垂直平分線上x-3y+7=0…(5分)由方程組x-3y+7=05x2-4y2=20解得
x=8(負(fù)值舍去)y=53即
P(8,53)…(8分)由于kAP=3,可知P在A北30°東方向.…(10分)30.袋中有4只紅球3只黑球,從袋中任取4只球,取到1只紅球得1分,取到1只黑球得3分,設(shè)得分為隨機(jī)變量ξ,則P(ξ≤6)=______.答案:取出的4只球中紅球個(gè)數(shù)可能為4,3,2,1個(gè),黑球相應(yīng)個(gè)數(shù)為0,1,2,3個(gè).其分值為ξ=4,6,8.P(ξ≤6)=P(ξ=4)+P(ξ=6)=C44C03C47+C34C13C47=1335.故為:1335.31.已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,實(shí)軸長(zhǎng)為8,離心率e=2,過雙曲線的弦AB被點(diǎn)P(4,2)平分;
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求弦AB所在直線方程;
(3)求直線AB與漸近線所圍成三角形的面積.答案:(1)∵雙曲線的焦點(diǎn)在y軸,∴設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1;∵實(shí)軸長(zhǎng)為8,離心率e=2,∴a=4,c=42,∴b2=c2-a2=16.或∵實(shí)軸長(zhǎng)為8,離心率e=2,∴雙曲線為等軸雙曲線,a=b=4.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216-x216=1.(2)設(shè)弦AB所在直線方程為y-2=k(x-4),A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2).∴k=y1-y2x1-x2,x1+x22=4,y1+y22=2;∴y1216-x1216=1
y2216-x2216=1?y12-y2216-x12-x2216=0?(y1-y2)(y1+y2)16-(x1-x2)(x1+x2)16=0代入x1+x2=8,y1+y2=4,得(y1-y2)×416-(x1-x2)×816=0,∴y1-y2x1-x2×14-12=0,∴14k-12=0,∴k=2;所以弦AB所在直線方程為y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.(3)等軸雙曲線y216-x216=1的漸近線方程為y=±x.∴直線AB與漸近線所圍成三角形為直角三角形.又漸近線與弦AB所在直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,6),(2,-2),∴直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為62、22;∴直線AB與漸近線所圍成三角形的面積S=12×62×22=12.32.運(yùn)行如圖的程序,將自然數(shù)列0,1,2,…依次輸入作為a的值,則輸出結(jié)果x為______.
答案:當(dāng)n=2時(shí),x=5×6+0=30,當(dāng)n=1時(shí),x=30×6+1=181,當(dāng)n=0時(shí),x=181×6+2=1088,故為:108833.若a,b∈R,求證:≤+.答案:證明略解析:證明
當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式顯然成立.當(dāng)|a+b|≠0時(shí),由0<|a+b|≤|a|+|b|≥,所以=≤=≤+.34.已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓+y2=1上,頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則△ABC的周長(zhǎng)是()
A.2
B.6
C.4
D.12答案:C35.將橢圓x2+6y2-2x-12y-13=0按向量a平移,使中心與原點(diǎn)重合,則a的坐標(biāo)是()A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,-1)D.(1,1)答案:橢圓方程x2+6y2-2x-12y-13=0變形為:(x-1)2+6(y-1)2=20,則橢圓中心(1,1),即需按a=(-1,-1)平移,中心與原點(diǎn)重合.故選C.36.給定橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是a2+b2的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”.已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0),其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為3.
(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程;
(2)過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)P作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),求l1,l2的方程;
(3)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn),B,D是橢圓C上的兩相異點(diǎn),且BD⊥x軸,求AB?AD的取值范圍.答案:(1)由題意可得:a=3,c=2,b=1,∴r=(3)2+12=2.∴橢圓C的方程為x23+y2=1,其“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4;(2)由“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取P(2,0),設(shè)過點(diǎn)P且與橢圓相切的直線l的方程為my=x-2,聯(lián)立my=x-2x23+y2=1,消去x得到關(guān)于y的一元二次方程(3+m2)x2+4m+1=0,∴△=16m2-4(3+m2)=0,解得m=±1,故直線l1、l2的方程分別為:y=x-2,y=-x+2.(3)由“準(zhǔn)圓”的方程為x2+y2=4,令y=0,解得x=±2,取點(diǎn)A(2,0).設(shè)點(diǎn)B(x0,y0),則D(x0,-y0).∴AB?AD=(x0-2,y0)?(x0-2,-y0)=(x0-2)2-y02,∵點(diǎn)B在橢圓x23+y2=1上,∴x023+y02=1,∴y02=1-x023,∴AD?AB=(x0-2)2-1+x023=43(x0-32)2,∵-3<x0<3,∴0≤43(x0-32)2<7+43,∴0≤AD?AB<7+43,即AD?AB的取值范圍為[0,7+43)37.兩個(gè)正方體M1、M2,棱長(zhǎng)分別a、b,則對(duì)于正方體M1、M2有:棱長(zhǎng)的比為a:b,表面積的比為a2:b2,體積比為a3:b3.我們把滿足類似條件的幾何體稱為“相似體”,下列給出的幾何體中是“相似體”的是()
A.兩個(gè)球
B.兩個(gè)長(zhǎng)方體
C.兩個(gè)圓柱
D.兩個(gè)圓錐答案:A38.已知f(x+1)=x2+2x+3,則f(2)的值為______.答案:由f(x+1)=x2+2x+3,得f(1+1)=12+2×1+3=6,故為:6.39.有一個(gè)容量為80的樣本,數(shù)據(jù)的最大值是140,最小值是51,組距為10,則可以分為(
)
A.10組
B.9組
C.8組
D.7組答案:B40.已知點(diǎn)A分BC所成的比為-13,則點(diǎn)B分AC所成的比為______.答案:由已知得B是AC的內(nèi)分點(diǎn),且2|AB|=|BC|,故B分AC
的比為ABBC=|AB||BC|=12,故為12.41.點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是______.答案:設(shè)圓上任意一點(diǎn)為A(x1,y1),AP中點(diǎn)為(x,y),則x=x1+42y=y1-22,∴x1=2x-4y1=2y+2代入x2+y2=4得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡(jiǎn)得(x-2)2+(y+1)2=1.故為:(x-2)2+(y+1)2=142.已知向量a與向量b的夾角為120°,若向量c=a+b,且a⊥c,則|a||b|的值為______.答案:由題意可知,∵a⊥c,∴a?c=a?(a+b)=a2+a?b=0即|a|2+|a||b|cos120°=0,故|a|2=12|a||b|,故|a||b|=12.故為:1243.如圖,已知OA、OB是⊙O的半徑,且OA⊥OB,P是線段OA上一點(diǎn),直線BP交⊙O于點(diǎn)Q,過Q作⊙O的切線交直線OA于點(diǎn)E,求證:∠OBP+∠AQE=45°.答案:證明:連接AB,則∠AQE=∠ABP,而OA=OB,所以∠ABO=45°所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°44.已知P為拋物線y2=4x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q為圓x2+(y-4)2=1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是()
A.2-1
B.2-2
C.-1
D.-2答案:C45.對(duì)于5年可成材的樹木,從栽種到5年成材的木材年生長(zhǎng)率為18%,以后木材的年生長(zhǎng)率為10%.樹木成材后,既可以出售樹木,重栽新樹苗;也可以讓其繼續(xù)生長(zhǎng).問:哪一種方案可獲得較大的木材量?(注:只需考慮10年的情形)(參考數(shù)據(jù):lg2=0.3010,lg1.1=0.0414)答案:由題意,第一種得到的木材為(1+18%)5×2第二種得到的木材為(1+18%)5×(1+10%)5第一種除以第二種的結(jié)果為2(1+10%)5=21.61>1所以第一種方案可獲得較大的木材量.46.根據(jù)下列條件,求圓的方程:
(1)過點(diǎn)A(1,1),B(-1,3)且面積最?。?/p>
(2)圓心在直線2x-y-7=0上且與y軸交于點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2).答案:(1)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓就是以線段AB為直徑的圓,∴圓心坐標(biāo)為(0,2),半徑r=12|AB|=12(-1+1)2+(1-3)2=12×8=2,∴所求圓的方程為x2+(y-2)2=2;(2)由圓與y軸交于點(diǎn)A(0,-4),B(0,-2)可知,圓心在直線y=-3上,由2x-y-7=0y=-3,解得x=2y=-3,∴圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=5,∴所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=5.47.已知矩形ABCD,R、P分別在邊CD、BC上,E、F分別為AP、PR的中點(diǎn),當(dāng)P在BC上由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)R在CD上固定不變,設(shè)BP=x,EF=y,那么下列結(jié)論中正確的是()A.y是x的增函數(shù)B.y是x的減函數(shù)C.y隨x先增大后減小D.無(wú)論x怎樣變化,y是常數(shù)答案:連接AR,如圖所示:由于點(diǎn)R在CD上固定不變,故AR的長(zhǎng)為定值又∵E、F分別為AP、PR的中點(diǎn),∴EF為△APR的中位線,則EF=12AR為定值故無(wú)論x怎樣變化,y是常數(shù)故選D48.已知兩點(diǎn)A(2,1),B(3,3),則直線AB的斜率為()
A.2
B.
C.
D.-2答案:A49.一圓形紙片的圓心為點(diǎn)O,點(diǎn)Q是圓內(nèi)異于O點(diǎn)的一定點(diǎn),點(diǎn)A是圓周上一點(diǎn).把紙片折疊使點(diǎn)A與Q重合,然后展平紙片,折痕與OA交于P點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案:如圖所示,由題意可知:折痕l為線段AQ的垂直平分線,∴|AP|=|PQ|,而|OP|+|PA|=|OA|=R,∴|PO|+|PQ|=R定值>|OQ|.∴當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)O,D為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為R的橢圓.故選B.50.用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a、b全為0(a、b∈R)”,其反設(shè)正確的是()
A.a(chǎn)、b至少有一個(gè)不為0
B.a(chǎn)、b至少有一個(gè)為0
C.a(chǎn)、b全不為0
D.a(chǎn)、b中只有一個(gè)為0答案:A第3卷一.綜合題(共50題)1.已知函數(shù)y=f(x)是R上的奇函數(shù),其零點(diǎn)為x1,x2,…,x2011,則x1+x2+…+x2011=______.答案:∵f(x)是R上的奇函數(shù),∴0是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).其他非0的零點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∴x1+x2+…+x2011=0.故為:0.2.在對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性回歸分析時(shí),有下列步驟:
①對(duì)所求出的回歸直線方程作出解釋;
②收集數(shù)據(jù)(xi,yi),i=1,2,…,n;
③求線性回歸方程;
④求相關(guān)系數(shù);
⑤根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.
如果根據(jù)可形性要求能夠作出變量x,y具有線性相關(guān)結(jié)論,則在下列操作順序中正確的是()
A.①②⑤③④
B.③②④⑤①
C.②④③①⑤
D.②⑤④③①答案:D3.命題“梯形的兩對(duì)角線互相不平分”的命題形式為()A.p或qB.p且qC.非pD.簡(jiǎn)單命題答案:記命題p:梯形的兩對(duì)角線互相平分,
而原命題是“梯形的兩對(duì)角線互相不平分”,是命題p的否定形式
故選C4.若a>0,b<0,直線y=ax+b的圖象可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:C5.某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組數(shù)據(jù),將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖,下列函數(shù)中,最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是()
A.y=2t
B.y=2t2
C.y=t3
D.y=log2t
答案:D6.已知向量a與b的夾角為π3,|a|=2,則a在b方向上的投影為______.答案:由投影的定義可得:a在b方向上的投影為:|a|cos<a,b>,而|a|cos<a,b>=2cosπ3=22故為:227.已知100件產(chǎn)品中有5件次品,從中任意取出3件產(chǎn)品,設(shè)A表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”,B表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”,C表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”,則下列結(jié)論正確的是()
A.B與C互斥
B.A與C互斥
C.任意兩個(gè)事件均互斥
D.任意兩個(gè)事件均不互斥答案:B8.已知點(diǎn)P為△ABC所在平面上的一點(diǎn),且,其中t為實(shí)數(shù),若點(diǎn)P落在△ABC的內(nèi)部,則t的取值范圍是()
A.
B.
C.
D.答案:D9.直線(3+4)x+(4-6)y-14-2=0(∈R)恒過定點(diǎn)A,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(
)。答案:(2,-1)10.已知|a|=1,|b|=2,向量a與b的夾角為60°,則|a+b|=______.答案:∵已知|a|=1,|b|=2,向量a與b的夾角為60°,∴a2=1,b2=4,a?b=1×2×cos60°=1,.∴|.a+b|2=a2+b2+2a?b=1+4+2=7,∴|.a+b|
=7,故為7.11.如圖所示的幾何體ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中點(diǎn),
(Ⅰ)求證:DM⊥EB;
(Ⅱ)設(shè)二面角M-BD-A的平面角為β,求cosβ.答案:分別以直線AE,AB,AD為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)CB=a,則A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)所以M(a,a,a2).(Ⅰ):DM=(a,a,-3a2)
,EB=(-2a,2a,0)DM?EB=a?(-2a)+a?2a+0=0.∴DM⊥EB,即DM⊥EB.(Ⅱ)設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z),DB=(0,2a,-2a),由n⊥DB,n⊥DM,得n?DB=2ay-2az=0n?DM=ax+ay-3a2z=0?y=zx+y-3z2=0取z=2得平面MBD的一非零法向量為n=(1,2,2),又平面BDA的一個(gè)法向量n1=(1,0,0).∴cos<n,n1>
=1+0+012+22+22?12+02+
02=13,即cosβ=1312.一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球,6個(gè)不同的白球,
(1)從中任取4個(gè)球,紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種?
(2)若取一個(gè)紅球記2分,取一個(gè)白球記1分,從中任取5個(gè)球,使總分不少于7分的取法有多少種?答案:解(1)由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問題,將取出4個(gè)球分成三類情況取4個(gè)紅球,沒有白球,有C44種取3個(gè)紅球1個(gè)白球,有C43C61種;取2個(gè)紅球2個(gè)白球,有C42C62,∴C44+C43C61+C42C62=115種(2)設(shè)取x個(gè)紅球,y個(gè)白球,則x+y=5(0≤x≤4)2x+y≥7(0≤y≤6)∴x=2y=3或x=3y=2或x=4y=1∴符合題意的取法種數(shù)有C42C63+C43C62+C44C61=186種13.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線,則k的取值范圍為(
)
A.-1<k<1
B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1答案:A14.在某路段檢測(cè)點(diǎn)對(duì)200輛汽車的車速進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖,則車速不小于90km/h的汽車有輛.()A.60B.90C.120D.150答案:頻率=頻率組距×組距=(0.02+0.01)×10=0.3,頻數(shù)=頻率×樣本總數(shù)=200×0.3=60(輛).故選A.15.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E是棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)F
是棱CD上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)試確定點(diǎn)F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;
(Ⅱ)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),求二面角C1-EF-A的余弦值以及BA1與面C1EF所成的角的大小.答案:(I)由題意可得:以A為原點(diǎn),分別以直線AB、AD、AA1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,且DF=x,則A1(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1,12,0),F(xiàn)(x,1,0)所以D1E=(1,-12,-1),AB1=(1,0,1),AF=(x,1,0)由D1E⊥面AB1F?D1E⊥AB1且D1E⊥AF,所以D1E?AB1=0D1E?AF=0,可解得x=12所以當(dāng)點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)時(shí),D1E⊥平面AB1F.(II)當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí),F(xiàn)是CD的中點(diǎn),F(xiàn)(12,1,0)由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得:平面AEF的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),設(shè)平面C1EF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),在平面C1EF中,EC1=(0,12,1),EF=(-12,12,0),所以EC1?n=0EF?n
=0,即y=-2zx=y,所以取平面C1EF的一個(gè)法向量為n=(2,2,-1),所以cos<m,n>=-13,所以<m,n>=π-arccos13,又因?yàn)楫?dāng)把m,n都移向這個(gè)二面角內(nèi)一點(diǎn)時(shí),m背向平面AEF,而n指向平面C1EF,所以二面角C1-EF-A的大小為π-arccos13又因?yàn)锽A1=(-1,0,1),所以cos<BA1,n>=-22,所以<BA1,n>=135°,∴BA1與平面C1EF所成的角的大小為45°.16.如圖為一個(gè)求50個(gè)數(shù)的平均數(shù)的程序,在橫線上應(yīng)填充的語(yǔ)句為()
A.i>50
B.i<50
C.i>=50
D.i<=50
答案:A17.若向量且與的夾角余弦為則λ等于()
A.4
B.-4
C.
D.答案:C18.如圖,從圓O外一點(diǎn)A引切線AD和割線ABC,AB=3,BC=2,則切線AD的長(zhǎng)為______.答案:由切割線定理可得AD2=AB?AC=3×5,∴AD=15.故為15.19.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球,那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()
A.至少有1個(gè)白球;都是白球
B.至少有1個(gè)白球;至少有1個(gè)紅球
C.恰有1個(gè)白球;恰有2個(gè)白球
D.至少有一個(gè)白球;都是紅球答案:C20.如果方程x2+(m-1)x+m2-2=0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于1,另一個(gè)大于1,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()
A.
B.(-2,0)
C.(-2,1)
D.(0,1)答案:C21.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間任意一點(diǎn)O,有OM=xOA+13OB+13OC,則x的值為()A.1B.0C.3D.13答案:解∵OM=xOA+13OB+13OC,且M,A,B,C四點(diǎn)共面,∴必有x+13+13=1,解之可得x=13,故選D22.如圖,AB是圓O的直徑,CD是圓O的弦,AB與CD交于E點(diǎn),且AE:EB=3:1、CE:ED=1:1,CD=83,則直徑AB的長(zhǎng)為______.答案:由CE:ED=1:1,CD=83,∴CE=ED=43由相交弦定理可得AE?EB=CE?ED及AE:EB=3:1∴3EB2=43?43=48解得EB=4,AE=12∴AB=AE+EB=16故為:1623.已知命題p:“△ABC是等腰三角形”,命題q:“△ABC是直角三角形”,則命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是()A.p或qB.p且qC.非pD.以上都不對(duì)答案:因?yàn)椤啊鰽BC是等腰直角三角形”即為“△ABC是等腰且直角三角形”,所以命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q,故選B.24.設(shè)a=20.3,b=0.32,c=log20.3,則用“>”表示a,b,c的大小關(guān)系式是______.答案:∵0<0.32<1,log20.3<0,20.3>1∴0.32<20.3<log20.3故為:a>b>c25.直三棱柱ABC-A1B1C1
中,若CA=a,CB=b,CC1=c,則A1B=______.答案:向量加法的三角形法則,得到A1B=A1C+CB=A1C1+C1C+CB=-CA-CC1+CB=-a-c+b.故為:-a-c+b.26.某射擊運(yùn)動(dòng)員在四次射擊中分別打出了9,x,10,8環(huán)的成績(jī),已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9,則這組數(shù)據(jù)的方差是______.答案:∵四次射擊中分別打出了10,x,10,8環(huán),這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9,∴9+x+10+84,∴x=9,∴這組數(shù)據(jù)的方差是14(00+1+1)=12,故為:1227.設(shè)橢圓=1和x軸正方向的交點(diǎn)為A,和y軸的正方向的交點(diǎn)為B,P為第一象限內(nèi)橢圓上的點(diǎn),使四邊形OAPB面積最大(O為原點(diǎn)),那么四邊形OAPB面積最大值為()
A.a(chǎn)b
B.ab
C.a(chǎn)b
D.2ab答案:B28.(選做題)某制藥企業(yè)為了對(duì)某種藥用液體進(jìn)行生物測(cè)定,需要優(yōu)選培養(yǎng)溫度,實(shí)驗(yàn)范圍定為29℃~63℃,精確度要求±1℃,用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行優(yōu)選時(shí),能保證找到最佳培養(yǎng)溫度需要最少實(shí)驗(yàn)次數(shù)為(
)。答案:729.已知函數(shù)f(x)=f(x+1)(x<4)2x(x≥4),則f(log23)=______.答案:因?yàn)?<log23<2,所以4<log23+3<5,所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224)=2log224=24.故為:24.30.已知直線l:x=2+ty=1-at(t為參數(shù)),與橢圓x2+4y2=16交于A、B兩點(diǎn).
(1)若A,B的中點(diǎn)為P(2,1),求|AB|;
(2)若P(2,1)是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn),求直線l的直角坐標(biāo)方程.答案:(1)直線l:x=2+ty=1-at代入橢圓方程,整理得(4a2+1)t2-4(2a-1)t-8=0設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則t1+t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-84a2+1,∵A,B的中點(diǎn)為P(2,1),∴t1+t2=0解之得a=12,∴t1t2=-4,∵|AP|=12+(-12)2|t1|=52|t1|,|BP|=52|t2|,∴|AB|=52(|t1|+|t1|)=52×(t1+t2)2-4t1t2=25,(2)P(2,1)是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn),∴|AP|=12|PB|,∴1+a2|t1|=21+a2|t2|,?t1=-2t2,∴t1+t2=-t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-2t
22=-84a2+1,∴t
22=44a2+1,∴16(2a-1)2(4a2+1)2=44a2+1,解得a=4±76,∴直線l的直角坐標(biāo)方程y-1=4±76(x-2).31.已知雙曲線的a=5,c=7,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.-=0或-=0答案:C32.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正確的是()A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案:∵z1=5+3i,z2=5+4i,∴z1與z2為虛數(shù),故不能比較大小,可排除A,B;又|z1|=34,|z2|=52+42=41,∴|z1|<|z2|,可排除C.故選D.33.棱長(zhǎng)為a的正四面體中,AB?BC+AC?BD=______.答案:棱長(zhǎng)為a的正四面體中,AB=BC=a,且AB與BC的夾角為120°,AC⊥BD.∴AB?BC+AC?B
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