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長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí),直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年柳州鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫(kù)含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請(qǐng)謹(jǐn)慎購(gòu)買!第1卷一.綜合題(共50題)1.點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)軌跡方程是______.答案:設(shè)圓上任意一點(diǎn)為A(x1,y1),AP中點(diǎn)為(x,y),則x=x1+42y=y1-22,∴x1=2x-4y1=2y+2代入x2+y2=4得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡(jiǎn)得(x-2)2+(y+1)2=1.故為:(x-2)2+(y+1)2=12.已知
p:所有國(guó)產(chǎn)手機(jī)都有陷阱消費(fèi),則¬p是()
A.所有國(guó)產(chǎn)手機(jī)都沒有陷阱消費(fèi)
B.有一部國(guó)產(chǎn)手機(jī)有陷阱消費(fèi)
C.有一部國(guó)產(chǎn)手機(jī)沒有陷阱消費(fèi)
D.國(guó)外產(chǎn)手機(jī)沒有陷阱消費(fèi)答案:C3.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍,母線長(zhǎng)為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84π,則圓臺(tái)較小底面的半徑為()A.7B.6C.5D.3答案:設(shè)上底面半徑為r,因?yàn)閳A臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍,母線長(zhǎng)為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84π,所以S側(cè)面積=π(r+3r)l=84π,r=7故選A4.下列函數(shù)f(x)與g(x)表示同一函數(shù)的是
()A.f(x)=x0與g(x)=1B.f(x)=2lgx與g(x)=lgx2C.f(x)=|x|與g(x)=(x)2D.f(x)=x與g(x)=3x3答案:A、∵f(x)=x0,其定義域?yàn)閧x|x≠0},而g(x)的定義域?yàn)镽,故A錯(cuò)誤;B、∵f(x)=2lgx,的定義域?yàn)閧x|x>0},而g(x)=lgx2的定義域?yàn)镽,故B錯(cuò)誤;C、∵f(x)=|x|與g(x)=(x)2=x,其中f(x)的定義域?yàn)镽,g(x)的定義域?yàn)閧x|x≥0},故C錯(cuò)誤;D、∵f(x)=x與g(x)=3x3=x,其中f(x)與g(x)的定義域?yàn)镽,故D正確.故選D.5.一牧場(chǎng)有10頭牛,因誤食含有病毒的飼料而被感染,已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ,則Dξ=______;.答案:∵由題意知該病的發(fā)病率為0.02,且每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果都是相互獨(dú)立的,∴ξ~B(10,0.02),∴由二項(xiàng)分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196.故為:0.1966.點(diǎn)(2,0,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是在()
A.y軸上
B.xOy平面上
C.xOz平面上
D.第一卦限內(nèi)答案:C7.已知x,y的取值如下表:
x0134y2.24.34.86.7從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),則回歸方程為.y=bx+a必過點(diǎn)______.答案:.X=0+1+3+44=2,.Y=2.2+4.3+4.8+6.74=92,故樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,92).故為:(2,92).8.已知二階矩陣A=2ab0屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為1-3,求矩陣A的逆矩陣.答案:由矩陣A屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為α1=1-3,可得2ab01-3=-1-3,得2-3a=-1b=3即a=1,b=3;
…(3分)解得A=2130,…(8分)∴A逆矩陣是A-1=dad-bc-bad-bc-cad-bcaad-bc=0131-23.9.在空間中,有如下命題:
①互相平行的兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)的射影必然是互相平行的兩條直線;
②若平面α∥平面β,則平面α內(nèi)任意一條直線m∥平面β;
③若平面α與平面β的交線為m,平面α內(nèi)的直線n⊥直線m,則直線n⊥平面β.
其中正確命題的個(gè)數(shù)為()個(gè).
A.0
B.1
C.2
D.3答案:B10.選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極點(diǎn)O與原點(diǎn)重合,極軸與x軸的正半軸重合.點(diǎn)A,B的極坐標(biāo)分別為(2,π),(22,π4),曲線C的參數(shù)方程為答案:(Ⅰ)S△AOB=12×2×211.橢圓的短軸長(zhǎng)是2,一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(3,0),∴c=3,又∵短軸長(zhǎng)是2,∴2b=2.b=1,∴a2=4∵焦點(diǎn)在x軸上,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y2=1故為x24+y2=112.若一元二次方程x2+(a-1)x+1-a2=0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍是(
)
A.(-1,1)
B.(-∞,)∪[1,+∞)
C.(-1,]
D.[,1)答案:C13.集合{x∈N*|
12
x
∈Z}中含有的元素個(gè)數(shù)為()
A.4
B.6
C.8
D.12答案:B14.某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人.全班k名同學(xué)都有選舉權(quán)和被選舉權(quán),他們的編號(hào)分別為1,2,…,k,規(guī)定:同意按“1”,不同意(含棄權(quán))按“0”,令aij=1,第i號(hào)同學(xué)同意第j號(hào)同學(xué)當(dāng)選.0,第i號(hào)同學(xué)不同意第j號(hào)同學(xué)當(dāng)選.其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,則同時(shí)同意第1,2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為()A.a(chǎn)11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB.a(chǎn)11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2C.a(chǎn)11a12+a21a22+…+ak1ak2D.a(chǎn)11a21+a12a22+…+a1ka2k答案:第1,2,…,k名學(xué)生是否同意第1號(hào)同學(xué)當(dāng)選依次由a11,a21,a31,…,ak1來(lái)確定(aij=1表示同意,aij=0表示不同意或棄權(quán)),是否同意第2號(hào)同學(xué)當(dāng)選依次由a12,a22,…,ak2確定,而是否同時(shí)同意1,2號(hào)同學(xué)當(dāng)選依次由a11a12,a21a22,…,ak1ak2確定,故同時(shí)同意1,2號(hào)同學(xué)當(dāng)選的人數(shù)為a11a12+a21a22+…+ak1ak2,故選C.15.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(u,9),若p(ξ>3)=p(ξ<1),則u=______.答案:∵隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(u,9),p(ξ>3)=p(ξ<1),∴u=3+12=2故為216.直線l1:x+ay=2a+2與直線l2:ax+y=a+1平行,則a=______.答案:直線l1:x+ay=2a+2即x+ay-2a-2=0;直線l2:ax+y=a+1即ax+y-a-1=0,∵直線l1與直線l2互相平行∴當(dāng)a≠0且a≠-1時(shí),1a=a1≠-2a-2-a-1,解之得a=1當(dāng)a=0時(shí),兩條直線垂直;當(dāng)a=-1時(shí),兩條直線重合故為:117.已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓x2+3y2=4上,對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.
(Ⅰ)當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,1)時(shí),求直線AC的方程;
(Ⅱ)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.答案:(Ⅰ)由題意得直線BD的方程為y=x+1.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0.因?yàn)锳,C在橢圓上,所以△=-12n2+64>0,解得-433<n<433.設(shè)A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=3n2,x1x2=3n2-44,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=n2.所以AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3n4,n4).由四邊形ABCD為菱形可知,點(diǎn)(3n4,n4)在直線y=x+1上,所以n4=3n4+1,解得n=-2.所以直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0.(Ⅱ)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.所以菱形ABCD的面積S=32|AC|2.由(Ⅰ)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162,所以S=34(-3n2+16)(-433<n<433).所以當(dāng)n=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值43.18.經(jīng)過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x-2y+5=0的直線的方程是()
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0答案:A19.用反證法證明命題“在函數(shù)f(x)=x2+px+q中,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至少有一個(gè)不小于”時(shí),假設(shè)正確的是()
A.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有一個(gè)小于
B.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|至多有兩個(gè)小于
C.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都不小于
D.假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于答案:D20.若A∩B=A∪B,則A______B.答案:設(shè)有集合W=A∪B=B∩C,根據(jù)并集的性質(zhì),W=A∪B?A?W,B?W,根據(jù)交集的性質(zhì),W=A∩B?W?A,W?B由集合子集的性質(zhì),A=B=W,故為:=.21.若a>0,b<0,直線y=ax+b的圖象可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:C22.函數(shù)y=ax2+1的圖象與直線y=x相切,則a=______.答案:設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),∵y′=2ax,∴k=2ax0=1,①又∵點(diǎn)(x0,y0)在曲線與直線上,即y0=ax20+1y0=x0,②由①②得a=14.故為14.23.已知直線l:x=2+ty=1-at(t為參數(shù)),與橢圓x2+4y2=16交于A、B兩點(diǎn).
(1)若A,B的中點(diǎn)為P(2,1),求|AB|;
(2)若P(2,1)是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn),求直線l的直角坐標(biāo)方程.答案:(1)直線l:x=2+ty=1-at代入橢圓方程,整理得(4a2+1)t2-4(2a-1)t-8=0設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則t1+t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-84a2+1,∵A,B的中點(diǎn)為P(2,1),∴t1+t2=0解之得a=12,∴t1t2=-4,∵|AP|=12+(-12)2|t1|=52|t1|,|BP|=52|t2|,∴|AB|=52(|t1|+|t1|)=52×(t1+t2)2-4t1t2=25,(2)P(2,1)是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn),∴|AP|=12|PB|,∴1+a2|t1|=21+a2|t2|,?t1=-2t2,∴t1+t2=-t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-2t
22=-84a2+1,∴t
22=44a2+1,∴16(2a-1)2(4a2+1)2=44a2+1,解得a=4±76,∴直線l的直角坐標(biāo)方程y-1=4±76(x-2).24.點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),若+=-,則是S△AOB:S△AOC=()
A.1
B.
C.
D.答案:A25.將一枚骰子連續(xù)拋擲600次,請(qǐng)你估計(jì)擲出的點(diǎn)數(shù)大于2的大約是______次.答案:一顆骰子是均勻的,當(dāng)拋這顆骰子時(shí),出現(xiàn)的6個(gè)點(diǎn)數(shù)是等可能的,將一枚骰子連續(xù)拋擲600次,估計(jì)每一個(gè)嗲回溯出現(xiàn)的次數(shù)是100,∴擲出的點(diǎn)數(shù)大于2的大約有400次,故為:400.26.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)是()
x0123y2468則y與x的線性回歸方程y=bx+a必過點(diǎn)()A.(2,2)B.(1,2)C.(1.5,0)D.(1.5,5)答案:根據(jù)所給的表格得到.x=0+1+2+34=1.5,.y=2+4+6+84=5,∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是(1.5,5)∵線性回歸直線一定過樣本中心點(diǎn),∴y與x的線性回歸方程y=bx+a必過點(diǎn)(1.5,5)故選D.27.已知P是以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓(a>b>0)上的一點(diǎn),若PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=,則此橢圓的離心率為()
A.
B.
C.
D.答案:D28.已知雙曲線的a=5,c=7,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.-=0或-=0答案:C29.已知=2+i,則復(fù)數(shù)z=()
A.-1+3i
B.1-3i
C.3+i
D.3-i答案:B30.某會(huì)議室第一排共有8個(gè)座位,現(xiàn)有3人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法種數(shù)為()A.12B.16C.24D.32答案:將空位插到三個(gè)人中間,三個(gè)人有兩個(gè)中間位置和兩個(gè)兩邊位置就是將空位分為四部分,五個(gè)空位四分只有1,1,1,2空位五差別,只需要空位2分別占在四個(gè)位置就可以有四種方法,另外三個(gè)人排列A33=6根據(jù)分步計(jì)數(shù)可得共有4×6=24故選C.31.設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn),對(duì)于下列向量組:①AD與AB;②DA與BC;③CA與DC;④OD與OB.其中能作為一組基底的是______(只填寫序號(hào)).答案:解析:由于①AD與AB不共線,③CA與DC不共線,所以都可以作為基底.②DA與BC共線,④OD與OB共線,不能作為基底.故為:①③.32.若平面向量a與b的夾角為120°,a=(2,0),|b|=1,則|a+2b|=______.答案:∵|a+2b|=(a+2b)2=a
2+4a?b+4
b2=|a|2+4|a||b|cos<a,b>+4|b|2=22+4×2×1cos120°+4×1=2.故為:233.設(shè)點(diǎn)P(,1)(t>0),則||(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值是()
A.3
B.5
C.
D.答案:D34.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩個(gè)).經(jīng)過3個(gè)小時(shí),這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成()
A.511個(gè)
B.512個(gè)
C.1023個(gè)
D.1024個(gè)答案:B35.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若CA=a,CB=b,CC1=c,則A1B=()A.a(chǎn)+b-cB.a(chǎn)-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c答案:A1B=A1A+AB=-CC1+CB-CA=-c+b-a故選D.36.若向量,則這兩個(gè)向量的位置關(guān)系是___________。答案:垂直37.已知A(4,1,3)、B(2,-5,1),C為線段AB上一點(diǎn),且則C的坐標(biāo)為()
A.
B.
C.
D.答案:C38.若=(2,-3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),則?(+)=()
A.4
B.15
C.7
D.3答案:D39.已知曲線C的方程是x2+y2+6ax-8ay=0,那么下列各點(diǎn)中不在曲線C上的是()
A.(0,0)
B.(2a,4a)
C.(3a,3a)
D.(-3a,-a)答案:B40.72的正約數(shù)(包括1和72)共有______個(gè).答案:72=23×32.∴2m?3n(0≤m≤3,0≤n≤2,m,n∈N)都是72的正約數(shù).m的取法有4種,n的取法有3種,由分步計(jì)數(shù)原理共3×4個(gè).故為:12.41.為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況,銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況.若用系統(tǒng)抽樣法,則抽樣間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)體數(shù)分別為()
A.3,2
B.2,3
C.2,30
D.30,2答案:A42.設(shè)a,b,c都是正數(shù),求證:bca+cab+abc≥a+b+c.答案:證明:∵2(bca+acb+abc)=(bca+acb)+(bca+abc)+(acb+abc)≥2abc2ab+2acb2ac+2bca2bc=2c+2b+2a,∴bca+acb+abc≥a+b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號(hào)成立.43.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn),點(diǎn)P是平面ABCD上的一動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P到直線A1D1的距離兩倍的平方比到點(diǎn)M的距離的平方大4,則點(diǎn)P的軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線答案:在平面ABCD上,以AD為x軸,以AB為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則M(,12,0),設(shè)P(x,y)則|MP|2=y2+(x-12)2點(diǎn)P到直線A1D1的距離為x2+1由題意得4(x2+1)=
y2+(x-12)2+4即3(x+12)2-y2=74選C44.設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+sinθi,0≤θ≤π,則|z+1|的最大值為______.答案:復(fù)數(shù)z=cosθ+sinθi,0≤θ≤π,則|z+1|=|cosθ+1+isinθ|=(1+cosθ)2+sin2θ=2+2cosθ≤2.故為:2.45.一動(dòng)圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動(dòng)圓圓心軌跡為()A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線答案:設(shè)動(dòng)圓的圓心為P,半徑為r,而圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑為1;圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F(4,0),半徑為2.依題意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,則|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|,所以點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的一支.故選C.46.ab>0,則①|(zhì)a+b|>|a|②|a+b|<|b|③|a+b|<|a-b|④|a+b|>|a-b|四個(gè)式中正確的是()
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④答案:C47.已知的單調(diào)區(qū)間;
(2)若答案:(1)(2)證明略解析:(1)對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行降次分項(xiàng)變形
,得,(2)首先證明任意事實(shí)上,而
.48.①附中高一年級(jí)聰明的學(xué)生;
②直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn);
③不小于3的正整數(shù);
④3的近似值;
考察以上能組成一個(gè)集合的是______.答案:因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)是確定的,所以②能構(gòu)成集合;不小于3的正整數(shù)是確定的,所以③能構(gòu)成集合;附中高一年級(jí)聰明的學(xué)生,不是確定的,原因是沒法界定什么樣的學(xué)生為聰明的,所以①不能構(gòu)成集合;3的近似值沒說明精確到哪一位,所以是不確定的,故④不能構(gòu)成集合.49.設(shè)有三個(gè)命題:“①0<12<1.②函數(shù)f(x)=log
12x是減函數(shù).③當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)=logax是減函數(shù)”.當(dāng)它們構(gòu)成三段論時(shí),其“小前提”是______(填序號(hào)).答案:三段話寫成三段論是:大前提:當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)=logax是減函數(shù),小前提:0<12<1,結(jié)論:函數(shù)f(x)=log
12x是減函數(shù).其“小前提”是①.故為:①.50.一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)等于一個(gè)球的半徑,該正三棱錐的高等于這個(gè)球的直徑,則球的體積與正三棱錐體積的比值為()
A.
B.
C.
D.答案:A第2卷一.綜合題(共50題)1.若直線x=1的傾斜角為α,則α()A.等于0B.等于π4C.等于π2D.不存在答案:由題意知直線的斜率不存在,故傾斜角α=π2,故選C.2.點(diǎn)M(4,)化成直角坐標(biāo)為()
A.(2,)
B.(-2,-)
C.(,2)
D.(-,-2)答案:B3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,則P()等于()
A.
B.
C.
D.答案:C4.函數(shù)f(x)=2,0<x<104,10≤x<155,15≤x<20,則函數(shù)的值域是()A.[2,5]B.{2,4,5}C.(0,20)D.N答案:∵f(x)=20<x<10410≤x<15515≤x<20∴函數(shù)的值域是{2,4,5}故選B5.如圖,P-ABCD是正四棱錐,ABCD-A1B1C1D1是正方體,其中AB=2,PA=6.
(1)求證:PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD與平面BDD1B1所成銳二面角的余弦值.答案:以D1為原點(diǎn),D1A1所在直線為x軸,D1C1所在直線為y軸,D1D所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).(1)證明:∵AP=(-1,1,2),D1B1=(2,2,0),∴AP?D1B1=-2+2+0=0,∴PA⊥B1D1.(2)平面BDD1B1的法向量為AC=(-2,2,0).DA=(2,0,0),OP=(1,1,2).設(shè)平面PAD的法向量為n=(x,y,z),則n⊥DA,n⊥DP.∴2x=0x+y+2z=0∴x=0y=-2z.取n=(0,-2,1),設(shè)所求銳二面角為θ,則cosθ=|n?AC||n|?|AC|=|0-4+0|22×5=105.6.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來(lái),睡了一覺,當(dāng)它醒來(lái)時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…,用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時(shí)間,則下圖與故事情節(jié)相吻合的是()
A.
B.
C.
D.
答案:B7.用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么b、c中至少有一個(gè)偶數(shù)時(shí),下列假設(shè)正確的是()
A.假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)
B.假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)
C.假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)
D.假設(shè)a、b、c至多有兩個(gè)偶數(shù)答案:B8.如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖,中間的數(shù)字表示得分的十位數(shù),下列對(duì)乙運(yùn)動(dòng)員的判斷錯(cuò)誤的是()A.乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是28B.乙運(yùn)動(dòng)員得分的眾數(shù)為31C.乙運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)均得分高于甲運(yùn)動(dòng)員D.乙運(yùn)動(dòng)員的最低得分為0分答案:根據(jù)題意,可得甲的得分?jǐn)?shù)據(jù):8,14,16,13,23,26,28,30,30,39可得甲得分的平均數(shù)是22.7乙的得分?jǐn)?shù)據(jù):12,15,25,24,21,31,36,31,37,44可得乙得分的平均數(shù)是27.6,31出現(xiàn)了兩次,可得乙得分的眾數(shù)是1將乙得分?jǐn)?shù)據(jù)按從小到大的順序排列,位于中間的兩個(gè)數(shù)是25和31,故中位數(shù)是12(25+31)=28由以上的數(shù)據(jù),可得:乙運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是28,A項(xiàng)是正確的;乙運(yùn)動(dòng)員得分的眾數(shù)為31,B項(xiàng)是正確的;乙運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)均得分高于甲運(yùn)動(dòng)員,C各項(xiàng)是正確的.而D項(xiàng)因?yàn)橐疫\(yùn)動(dòng)員的得分沒有0分,故D項(xiàng)錯(cuò)誤故選:D9.若關(guān)于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一負(fù)根,則a的取值范圍為______.答案:令f(x)=x2+ax+a2-1,∴二次函數(shù)開口向上,若方程有一正一負(fù)根,則只需f(0)<0,即a2-1<0,∴-1<a<1.故為:-1<a<1.10.某一批花生種子,如果每1粒發(fā)芽的概率為,那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是(
)
A.
B.
C.
D.答案:B11.設(shè)S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,則()A.S(2)=12+13B.S(2)=12+14C.S(2)=1+12+13+14D.S(2)=12+13+14答案:∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,當(dāng)n=2時(shí),n2=4故S(2)=12+13+14故選D12.平面上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差為常數(shù)2a(a>0)的軌跡是否是雙曲線,若a>c是否為雙曲線?答案:由題意,設(shè)兩定點(diǎn)間的距離為2c,則2a<2c時(shí),軌跡為雙曲線的一支2a=2c時(shí),軌跡為一條射線2a>2c時(shí),無(wú)軌跡.13.已知集合A滿足{1,2,3}∪A={1,2,3,4},則集合A的個(gè)數(shù)為______.答案:∵{1,2,3}∪A={1,2,3,4},∴A={4};{1,4};{2,4};{3,4};{1,2,4};{1,3,4};{2,3,4};{1,2,3,4},則集合A的個(gè)數(shù)為8.故為:814.下列四個(gè)函數(shù)中,與y=x表示同一函數(shù)的是()A.y=(x)2B.y=3x3C.y=x2D.y=x2x答案:選項(xiàng)A中的函數(shù)的定義域與已知函數(shù)不同,故排除選項(xiàng)A.選項(xiàng)B中的函數(shù)與已知函數(shù)具有相同的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系,故是同一個(gè)函數(shù),故選項(xiàng)B滿足條件.選項(xiàng)C中的函數(shù)與已知函數(shù)的值域不同,故不是同一個(gè)函數(shù),故排除選項(xiàng)C.選項(xiàng)D中的函數(shù)與與已知函數(shù)的定義域不同,故不是同一個(gè)函數(shù),故排除選項(xiàng)D,故選B.15.若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,則過點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)的直線方程是______.答案:∵2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,∴點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)在直線2x+3y=4上,又因?yàn)檫^兩點(diǎn)確定一條直線,故所求直線方程為2x+3y=4故為:2x+3y=416.種植兩株不同的花卉,它們的存活率分別為p和q,則恰有一株存活的概率為(
)A.p+q-2pqB.p+q-pqC.p+qD.pq答案:A解析:恰有一株存活的概率為p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq。17.已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x1(x1>0),過點(diǎn)A作拋物線C的切線l1交x軸于點(diǎn)D,交y軸于點(diǎn)Q,交直線l:y=p2于點(diǎn)M,當(dāng)|FD|=2時(shí),∠AFD=60°.
(1)求證:△AFQ為等腰三角形,并求拋物線C的方程;
(2)若B位于y軸左側(cè)的拋物線C上,過點(diǎn)B作拋物線C的切線l2交直線l1于點(diǎn)P,交直線l于點(diǎn)N,求△PMN面積的最小值,并求取到最小值時(shí)的x1值.答案:(1)設(shè)A(x1,x122p),則A處的切線方程為l1:y=x1px-x122p,可得:D(x12,0),Q(0,-x212p)∴|FQ|=p2+x212p=|AF|;∴△AFQ為等腰三角形.由點(diǎn)A,Q,D的坐標(biāo)可知:D為線段AQ的中點(diǎn),∴|AF|=4,得:p2+x212p=4x21+p2=16∴p=2,C:x2=4y.(2)設(shè)B(x2,y2)(x2<0),則B處的切線方程為y=x22x-x224聯(lián)立y=x22x-x224y=x12x-x214得到點(diǎn)P(x1+x22,x1x24),聯(lián)立y=x12x-x214y=1得到點(diǎn)M(x12+2x1,1).同理N(x22+2x2,1),設(shè)h為點(diǎn)P到MN的距離,則S△=12|MN|?h=12×(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2
①設(shè)AB的方程為y=kx+b,則b>0,由y=kx+bx2=4y得到x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4kx1x2=-4b代入①得:S△=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,要使面積最小,則應(yīng)k=0,得到S△=(1+b)2bb②令b=t,得S△(t)=(1+t2)2t=t3+2t+1t,則S′△(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以當(dāng)t∈(0,33)時(shí),S(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(33,+∞)時(shí),S(t)單調(diào)遞增,所以當(dāng)t=33時(shí),S取到最小值為1639,此時(shí)b=t2=13,k=0,所以y1=13,解得x1=233.故△PMN面積取得最小值時(shí)的x1值為233.18.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(fèi)由f(x)=1.06×(0.50×[m]+1)給出,其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整數(shù),若通話費(fèi)為10.6元,則通話時(shí)間m∈______.答案:∵10.6=1.06(0.50×[m]+1),∴0.5[m]=9,∴[m]=18,∴m∈(17,18].故為:(17,18].19.(幾何證明選講選做題)如圖,⊙O中,直徑AB和弦DE互相垂直,C是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接BC與圓0交于F,若∠CFE=α(α∈(0,π2)),則∠DEB______.答案:∵直徑AB和弦DE互相垂直∴AB平分DE∴BD=BE,∠D=∠BED∵DEFB四點(diǎn)共圓∴∠EFC=∠D=α∴∠DEB=α故為:α20.某校高三有1000個(gè)學(xué)生,高二有1200個(gè)學(xué)生,高一有1500個(gè)學(xué)生.現(xiàn)按年級(jí)分層抽樣,調(diào)查學(xué)生的視力情況,若高一抽取了75人,則全校共抽取了
______人.答案:∵高三有1000個(gè)學(xué)生,高二有1200個(gè)學(xué)生,高一有1500個(gè)學(xué)生.∴本校共有學(xué)生1000+1200+1500=3700,∵按年級(jí)分層抽,高一抽取了75人,∴每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是751500=120,∴全校要抽取120×3700=185,故為:185.21.方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩根都大于2,則m的取值范圍是()
A.(-5,-4]
B.(-∞,-4]
C.(-∞,-2]
D.(-∞,-5)∪(-5,-4]答案:A22.兩條直線l1:x-3y+2=0與l2:x-y+2=0的夾角的大小是______.答案:由于兩條直線l1:x-3y+2=0與l2:x-y+2=0的斜率分別為33、1,設(shè)兩條直線的夾角為θ,則tanθ=|k2-k11+k2?k1|=|1-331+1×33|=3-33+3=2-3,∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=33,∴2θ=π6,θ=π12,故為π12.23.已知點(diǎn)E在△ABC所在的平面且滿足AB+AC=λAE(λ≠0),則點(diǎn)E一定落在()A.BC邊的垂直平分線上B.BC邊的中線所在的直線上C.BC邊的高線所在的直線上D.BC邊所在的直線上答案:因?yàn)辄c(diǎn)E在△ABC所在的平面且滿足AB+AC=λAE(λ≠0)所以,根據(jù)平行四邊形法則,E一定落在這個(gè)平行四邊形的起點(diǎn)為A的對(duì)角線上,又平行四邊形對(duì)角線互相平分,所以E一定落在BC邊的中線所在的直線上,故選B.24.若矩陣A=是表示我校2011屆學(xué)生高二上學(xué)期的期中成績(jī)矩陣,A中元素aij(i=1,2,3,4;j=1,2,3,4,5,6)的含義如下:i=1表示語(yǔ)文成績(jī),i=2表示數(shù)學(xué)成績(jī),i=3表示英語(yǔ)成績(jī),i=4表示語(yǔ)數(shù)外三門總分成績(jī)j=k,k∈N*表示第50k名分?jǐn)?shù).若經(jīng)過一定量的努力,各科能前進(jìn)的名次是一樣的.現(xiàn)小明的各科排名均在250左右,他想盡量提高三門總分分?jǐn)?shù),那么他應(yīng)把努力方向主要放在哪一門學(xué)科上()
A.語(yǔ)文
B.?dāng)?shù)學(xué)
C.外語(yǔ)
D.都一樣答案:B25.有一批機(jī)器,編號(hào)為1,2,3,…,112,為調(diào)查機(jī)器的質(zhì)量問題,打算抽取10臺(tái),問此樣本若采用簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣方法將如何獲得?答案:本題可以采用抽簽法來(lái)抽取樣本,首先把該校學(xué)生都編上號(hào)001,002,112…用抽簽法做112個(gè)形狀、大小相同的號(hào)簽,然后將這些號(hào)簽放到同一個(gè)箱子里,進(jìn)行均勻攪拌,抽簽時(shí),每次從中抽一個(gè)號(hào)簽,連續(xù)抽取10次,就得到一個(gè)容量為10的樣本.26.(1+x2)5的展開式中x2的系數(shù)()A.10B.5C.52D.1答案:含x2項(xiàng)為C25(x2)2=10×x24=52x2,故選項(xiàng)為為C.27.集合{x∈N*|
12
x
∈Z}中含有的元素個(gè)數(shù)為()
A.4
B.6
C.8
D.12答案:B28.設(shè)復(fù)數(shù)z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,試求實(shí)數(shù)m的取值范圍,使得:
(1)z是純虛數(shù);
(2)z是實(shí)數(shù);
(3)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.答案:(1)若z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是純虛數(shù),則可得lg(m2-2m-2)=0m2+3m+2≠0,即m2-2m-2=1m2+3m+2≠0,解之得m=3(舍去-1);…(3分)(2)若z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是實(shí)數(shù),則可得m2+3m+2=0,解之得m=-1或m=-2…(6分)(3)∵z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(lg(m2-2m-2),m2+3m+2)∴若該對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限,則可得lg(m2-2m-2)<0m2+3m+2>0,即0<m2-2m-2<1m2+3m+2>0,解之得-1<m<1-3或1+3<m<3.…(10分)29.(選做題)
設(shè)集合A={x|x2﹣5x+4>0},B={x|x2﹣2ax+(a+2)=0},若A∩B≠,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.答案:解:A={x|x2﹣5x+4>0}={x|x<1或x>4}.∵A∩B≠,∴方程x2﹣2ax+(a+2)=0有解,且至少有一解在區(qū)間(﹣∞,1)∪(4,+∞)內(nèi)直接求解情況比較多,考慮補(bǔ)集設(shè)全集U={a|△≥0}=(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞),P={a|方程x2﹣2ax+(a+2)=0的兩根都在[1,4]內(nèi)}記f(x)=x2﹣2ax+(a+2),且f(x)=0的兩根都在[1,4]內(nèi)∴,∴,∴,∴∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為.30.已知:在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,AD的垂直平分線EF與AD交于點(diǎn)E,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若CF=4,BC=5,則DF=______.答案:連接FA,如下圖所示:∵EF垂直平分AD,∴FA=FD,∠FAD=∠FDA.即∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD.又∠CAD=∠BAD.故∠FAC=∠B;又∠AFC=∠BFA.∴△ABF∽△CAF.∴AF2=CF?BF=4?(4+5)=36∴DF=AF=6故為:631.選修4-5;不等式選講.
當(dāng)n>2時(shí),求證:logn(n-1)logn(n+1)<1.答案:∵n>2,∴l(xiāng)og(n-1)n>0,log(n+1)n>0,且log(n-1)n≠log(n+1)n,∴l(xiāng)og(n-1)n×log(n+1)n<(log(n-1)n+log(n+1)n2)2=(log(n2-1)n2)2<(logn2n2)2=(22)2=1,∴當(dāng)n>2時(shí),logn(n-1)logn(n+1)<1.32.函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+2是定義在[a,b]上的偶函數(shù),則a+b=______.答案:∵函數(shù)f(x)=x2+(a+1)x+2是定義在[a,b]上的偶函數(shù),∴其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,既[a,b]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以a與b互為相反數(shù)即a+b=0.故為:0.33.(1+2x)10的展開式的第4項(xiàng)是______.答案:(1+2x)10的展開式的第4項(xiàng)為T4=C310
(2X)3=960x3,故為960x3.34.橢圓x225+y29=1的兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,一直線過F1交橢圓于P、Q,則△PQF2的周長(zhǎng)為______.答案:∵a=5,由橢圓第一定義可知△PQF2的周長(zhǎng)=4a.∴△PQF2的周長(zhǎng)=20.,故為20.35.設(shè)A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,當(dāng)x∈R+,n∈N+時(shí),求證:A≥B.答案:證明:A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)=x-n(x2n+1-x2n-1-x)=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]=x-n(x-1)(x2n-1-1).由x∈R+,x-n>0,得當(dāng)x≥1時(shí),x-1≥0,x2n-1-1≥0;當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,x2n-1<0,即x-1與x2n-1-1同號(hào).∴A-B≥0.∴A≥B.36.已知集合P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y=ax+1,a>0,a≠1},如果P∩Q有且只有一個(gè)元素,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是
______.答案:如果P∩Q有且只有一個(gè)元素,即函數(shù)y=m與y=ax+1(a>0,且a≠1)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).∵y=ax+1>1,∴m>1.∴m的取值范圍是(1,+∞).故:(1,+∞)37.“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜,驕傲起來(lái),睡了一覺,當(dāng)它醒來(lái)時(shí),發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了,于是急忙追趕,但為時(shí)已晚,烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…,用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程,t為時(shí)間,則下圖與故事情節(jié)相吻合的是()
A.
B.
C.
D.
答案:B38.已知函數(shù)f(x)滿足:x≥4,則f(x)=(12)x;當(dāng)x<4時(shí)f(x)=f(x+1),則f(2+log23)═______.答案:∵2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)=(12)log224=124故應(yīng)填12439.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA、OB、OC,其中與OA與OB的夾角為120°,OA與OC的夾角為30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),則λ+μ的值為______.答案:過C作OA與OB的平行線與它們的延長(zhǎng)線相交,可得平行四邊形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,由|OA|=|OB|=1,|OC|=23得平行四邊形的邊長(zhǎng)為2和4,λ+μ=2+4=6.故為6.40.學(xué)校成員、教師、后勤人員、理科教師、文科教師的結(jié)構(gòu)圖正確的是()
A.
B.
C.
D.
答案:A41.P是直線3x+y+1=0上一點(diǎn),P到點(diǎn)Q(0,2)距離的最小值是______.答案:過點(diǎn)Q作直線的垂線段,當(dāng)P是垂足時(shí),線段PQ最短,故最小距離是點(diǎn)Q(0,2)到直線3x+y+1=0的距離d,d=|0+2+1|3+1=32=1.5.∴P到點(diǎn)Q(0,2)距離的最小值是1.5;故為1.5.42.一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的側(cè)視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)面積等于()A.3B.6C.23D.2答案:由正視圖知:三棱柱是以底面邊長(zhǎng)為2,高為1的正三棱柱,側(cè)面積為3×2×1=6,故為:B.43.根據(jù)學(xué)過的知識(shí),試把“推理與證明”這一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖畫出來(lái).答案:根據(jù)“推理與證明”這一章的知識(shí)可得結(jié)構(gòu)圖,如圖所示.44.不等式|x-500|≤5的解集是______.答案:因?yàn)椴坏仁絴x-500|≤5,由絕對(duì)值不等式的幾何意義可知:{x|495≤x≤505}.故為:{x|495≤x≤505}.45.設(shè)和為不共線的向量,若2-3與k+6(k∈R)共線,則k的值為()
A.k=4
B.k=-4
C.k=-9
D.k=9答案:B46.將函數(shù)的圖象F按向量平移后所得到的圖象的解析式是,求向量.答案:向量解析:將函數(shù)的圖象F按向量平移后所得到的圖象的解析式是,求向量.47.設(shè)有三個(gè)命題:“①0<12<1.②函數(shù)f(x)=log
12x是減函數(shù).③當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)=logax是減函數(shù)”.當(dāng)它們構(gòu)成三段論時(shí),其“小前提”是______(填序號(hào)).答案:三段話寫成三段論是:大前提:當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)=logax是減函數(shù),小前提:0<12<1,結(jié)論:函數(shù)f(x)=log
12x是減函數(shù).其“小前提”是①.故為:①.48.P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA+3PB+7PC=0,則△PAC與△ABC面積的比為______.答案:(如圖)分別延長(zhǎng)
PB、PC
至
B1、C1,使
PB1=3PB,PC1=7PC,則由已知可得:PA+PB1+PC1=0,故點(diǎn)P是三角形
AB1C1
的重心,設(shè)三角形
AB1C1
的面積為
3S,則S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S,而S△APC=17S△APC1=S7,S△ABP=13S△APB1=S3,S△PBC=13×17S△PB1C1=S21,所以△PAC與△ABC面積的比為:S7S7+S3+S21=311,故為:31149.規(guī)定符號(hào)“△”表示一種運(yùn)算,即a△b=ab+a+b,其中a、b∈R+;若1△k=3,則函數(shù)f(x)=k△x的值域______.答案:1△k=k+1+k=3,解得k=1,∴k=1∴f(x)=k△x=kx+k+x=x+x+1對(duì)于x需x≥0,∴對(duì)于f(x)=x+x+1=(x+12)2+34≥1故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)故為:[1,+∞)50.“sinx=siny”是“x=y”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案:∵“sinx=siny”不能推出“x=y”,例如sin30°=sin390°,但30°≠390°,即充分性不成立;反過來(lái),若“x=y”,一定有“sinx=siny”,即必要性成立;∴“sinx=siny”是“x=y”的必要不充分條件.故選C.第3卷一.綜合題(共50題)1.設(shè)某批電子手表正品率為,次品率為,現(xiàn)對(duì)該批電子手表進(jìn)行測(cè)試,設(shè)第X次首次測(cè)到正品,則P(X=3)等于()
A.
B.
C.
D.答案:C2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2c,以O(shè)為圓心,a為半徑作圓M,若過P(a2c,0)作圓M的兩條切線相互垂直,則橢圓的離心率為______.答案:設(shè)切線PA、PB互相垂直,又半徑OA垂直于PA,所以△OAP是等腰直角三角形,故a2c=2a,解得e=ca=22,故為22.3.設(shè)直線y=kx與橢圓x24+y23=1相交于A、B兩點(diǎn),分別過A、B向x軸作垂線,若垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則k等于()A.±32B.±23C.±12D.±2答案:將直線與橢圓方程聯(lián)立,y=kxx24+y23=1,化簡(jiǎn)整理得(3+4k2)x2=12(*)因?yàn)榉謩e過A、B向x軸作垂線,垂足恰為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),故方程的兩個(gè)根為±1.代入方程(*),得k=±32故選A.4.設(shè)集合A={1,2},則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個(gè)數(shù)是()A.1B.3C.4D.8答案:A={1,2},A∪B={1,2,3},則集合B中必含有元素3,即此題可轉(zhuǎn)化為求集合A={1,2}的子集個(gè)數(shù)問題,所以滿足題目條件的集合B共有22=4個(gè).故選擇C.5.設(shè)a=log32,b=log23,c=,則()
A.c<b<a
B.a(chǎn)<c<b
C.c<a<b
D.b<c<a答案:C6.已知按向量平移得到,則
.答案:3解析:由平移公式可得解得.7.若則實(shí)數(shù)λ的值是()
A.
B.
C.
D.答案:D8.設(shè)集合A={1,2,3,4},集合B={1,3,5,7},則集合A∪B=()A.{1,3}B.{1,2,3,4,5,7}C.{5,7}D.{2,4,5,7}答案:∵A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},∴A∪B={1,2,3,4,5,7},故選B.9.直線2x-3y+10=0的法向量的坐標(biāo)可以是答案:C10.集合{1,2,3}的真子集的個(gè)數(shù)為()A.5B.6C.7D.8答案:集合的真子集為{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有7個(gè).故選C.11.直線x3+y4=1與x,y軸所圍成的三角形的周長(zhǎng)等于()A.6B.12C.24D.60答案:直線x3+y4=1與兩坐標(biāo)軸交于A(3,0),B(0,4),∴AB=5,∴△AOB的周長(zhǎng)為:OA+OB+AB=3+4+5=12,故選B.12.已知空間兩點(diǎn)A(4,a,-b),B(a,a,2),則向量AB=()A.(a-4,0,2+b)B.(4-a,0,-b-2)C.(0,a-4,2+b)D.(a-4,0,-b-2)答案:∵A(4,a,-b),B(a,a,2)∴AB=(a-4,a-a,2-(-b))=(a-4,0,2+b)故選A13.一只袋中裝有2個(gè)白球、3個(gè)紅球,這些球除顏色外都相同.
(Ⅰ)從袋中任意摸出1個(gè)球,求摸到的球是白球的概率;
(Ⅱ)從袋中任意摸出2個(gè)球,求摸出的兩個(gè)球都是白球的概率;
(Ⅲ)從袋中任意摸出2個(gè)球,求摸出的兩個(gè)球顏色不同的概率.答案:(Ⅰ)從5個(gè)球中摸出1個(gè)球,共有5種結(jié)果,其中是白球的有2種,所以從袋中任意摸出1個(gè)球,摸到白球的概率為25.
…(4分)(Ⅱ)從袋中任意摸出2個(gè)球,共有C25=10種情況,其中全是白球的有1種,故從袋中任意摸出2個(gè)球,摸出的兩個(gè)球都是白球的概率為110.…(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,摸出的兩個(gè)球顏色不同的情況共有2×3=6種,故從袋中任意摸出2個(gè)球,摸出的2個(gè)球顏色不同的概率為610=35.
…(14分)14.設(shè)雙曲線的漸近線為:y=±32x,則雙曲線的離心率為______.答案:由題意ba=32或ab=32,∴e=ca=132或133,故為132,133.15.對(duì)于非零的自然數(shù)n,拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸相交于An,Bn兩點(diǎn),若以|AnBn|表示這兩點(diǎn)間的距離,則|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|的值
等于______.答案:令(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0,得x1=1n,x2=1n+1所以An(1n,0),Bn(1n+1,0)所以|AnBn|=1n-1n+1,所以|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|=(11-12)+(12-13)+┉+(12009-12010)=1-12010=20092010.故為:20092010.16.已知a>b>0,則3a,3b,4a由小到大的順序是______.答案:由于指數(shù)函數(shù)y=3x在R上是增函數(shù),且a>b>0,可得3a>3b.由于冪函數(shù)y=xa在(0,+∞)上是增函數(shù),故有3a<4a,故3a,3b,4a由小到大的順序是3b<3a<4a.,故為3b<3a<4a.17.已知P為拋物線y2=4x上一點(diǎn),設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d1,P到點(diǎn)A(1,4)的距離為d2,則d1+d2的最小值為______.答案:∵y2=4x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)根據(jù)拋物線定義可知P到準(zhǔn)線的距離為d1=|PF|d1+d2=|PF|+|PA|進(jìn)而可知當(dāng)A,P,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),d1+d2的最小值=|AF|=4故為418.拋物線頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),以y軸為對(duì)稱軸,過焦點(diǎn)且與y軸垂直的弦長(zhǎng)為16,則拋物線方程為______.答案:∵過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸y軸垂直的弦長(zhǎng)等于p的2倍.∴所求拋物線方程為x2=±16y.故為:x2=±16y.19.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8,另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是4和3及x,那么x的值的個(gè)數(shù)為()
A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.2個(gè)以上但有限
D.無(wú)數(shù)個(gè)答案:B20.若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則該直線的斜率為()
A.
B.2
C.1
D.-1答案:D21.(文)將圖所示的一個(gè)直角三角形ABC(∠C=90°)繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周,所得到的幾何體的正視圖是下面四個(gè)圖形中的(
)
A.
B.
C.
D.
答案:B22.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,短軸長(zhǎng)為8,則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍是______.答案:橢圓上的點(diǎn)到圓心的最小距離為短半軸的長(zhǎng)度,最大距離為長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)度因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10,短軸長(zhǎng)為8,所以橢圓上的點(diǎn)到圓心的最小距離為4,最大距離為5所以橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心距離的取值范圍是[4,5]故為:[4,5]23.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)命題成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.
現(xiàn)已知當(dāng)n=7時(shí)該命題不成立,那么可推得()
A.當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立
B.當(dāng)n=6時(shí)該命題成立
C.當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立
D.當(dāng)n=8時(shí)該命題成立答案:A24.為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關(guān)關(guān)系,隨機(jī)測(cè)得10對(duì)母女的身高如下表所示:
母親身高x(cm)159160160163159154159158159157女兒身高y(cm)158159160161161155162157162156計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù)r=0.71,通過查表得r的臨界值r0.05=______,從而有______的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,因而求回歸直線方程是有意義的.通過計(jì)算得到回歸直線方程為y=35.2+0.78x,當(dāng)母親身高每增加1cm時(shí),女兒身高_(dá)_____,當(dāng)母親的身高為161cm時(shí),估計(jì)女兒的身高為______cm.答案:查對(duì)臨界值表,由臨界值r0.05=0.632,可得有95%的把握認(rèn)為x與Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,回歸直線方程為y=35.2+0.78x,因此,當(dāng)母親身高每增加1cm時(shí),女兒身高0.78,當(dāng)x=161cm時(shí),y=35.2+0.78x=35.2+0.78×161≈161cm故為:0.632,95%,0.78,161cm.25.下表是x與y之間的一組數(shù)據(jù),則y關(guān)于x的線性回歸方程
必過點(diǎn)()
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
A.(2,2)
B.(1.5,2)
C.(1,2)
D.(1.5,4)答案:D26.某游泳館出售冬季游泳卡,每張240元,其使用規(guī)定:不記名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班有48名同學(xué),老師打算組織同學(xué)們集體去游泳,除需購(gòu)買若干張游泳卡外,每次游泳還需包一輛汽車,無(wú)論乘坐多少名同學(xué),每次的包車費(fèi)均為40元.
若使每個(gè)同學(xué)游8次,每人最少應(yīng)交多少元錢?答案:設(shè)買x張游泳卡,總開支為y元,則每批去x名同學(xué),共需去48×8x=384x批,總開支又分為:①買卡所需費(fèi)用240x;②包車所需費(fèi)用384x×40.∴y=240x+384x×40(0<x≤48,x∈Z).因此,y=240(x+64x)≥240×2x?64x=3840當(dāng)且僅當(dāng)x=64x時(shí),即x=8時(shí)取等號(hào).∴當(dāng)x=8時(shí),總開支y的最大值為3840元,此時(shí)每人最少應(yīng)交384048=80(元).答:若使每個(gè)同學(xué)游8次,每人最少應(yīng)交80元錢.27.平面α外一點(diǎn)P到平面α內(nèi)的四邊形的四條邊的距離都相等,且P在α內(nèi)的射影在四邊形內(nèi)部,則四邊形是()
A.梯形
B.圓外切四邊形
C.圓內(nèi)接四邊
D.任意四邊形答案:B28.已知在△ABC中,A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5),則C點(diǎn)坐標(biāo)為
______.答案:設(shè)C(x,y,z),則:
AC=AB+BC即:(x-2,y+5,z-3)=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7)所以得:x-2=7y+5=-1z-3=7,即x=9y=-6z=10故為:(9,-6,10)29.直線y=3的一個(gè)單位法向量是______.答案:直線y=3的方向向量是(a,0)(a≠0),不妨?。?,0)設(shè)直線y=3的法向量為n=(x,y)∴(x,y)?(1,0)=0∴x=0∴直線y=3的一個(gè)單位法向量是(0,1)故為:(0,1)30.已知命題p:“△ABC是等腰三角形”,命題q:“△ABC是直角三角形”,則命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是()A.p或qB.p且qC.非pD.以上都不對(duì)答案:因?yàn)椤啊鰽BC是等腰直角三角形”即為“△ABC是等腰且直角三角形”,所以命題“△ABC是等腰直角三角形”的形式是p且q,故選B.31.如圖把橢圓x225+y216=1的長(zhǎng)軸AB分成8分,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,…P7七個(gè)點(diǎn),F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=______.答案:如圖,把橢圓x225+y216=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七個(gè)點(diǎn),F(xiàn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知,|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a,同理其余兩對(duì)的和也是2a,又|P4F1|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35,故為35.32.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)于任意的x1∈D,存在唯一的x2∈D,使得
f(x1)+f(x2)2=C成立(其中C為常數(shù)),則稱函數(shù)y=f(x)在D上的均值為C,現(xiàn)在給出下列4個(gè)函數(shù):①y=x3②y=4sinx③y=lgx④y=2x,則在其定義域上的均值為
2的所有函數(shù)是下面的()A.①②B.③④C.①③④D.①③答案:由題意可得,均值為2,則f(x1)+f(x2)2=2即f(x1)+f(x2)=4①:y=x3在定義域R上單調(diào)遞增,對(duì)應(yīng)任意的x1,則存在唯一x2滿足x13+x23=4①正確②:y=4sinx,滿足4sinx1+4sinx2=4,令x1=π2,則根據(jù)三角函數(shù)的周期性可得,滿足sinx2=0的x2無(wú)窮多個(gè),②錯(cuò)誤③y=lgx在(0,+∞)單調(diào)遞增,對(duì)應(yīng)任意的x1>0,則滿足lgx1+lgx2=4的x2唯一存在③正確④y=2x滿足2x1+2x2=4,令x1=3時(shí)x2不存在④錯(cuò)誤故選D.33.某海域有A、B兩個(gè)島嶼,B島在A島正東40海里處.經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn),某種魚群洄游的路線像一個(gè)橢圓,其焦點(diǎn)恰好是A、B兩島.曾有漁船在距A島正西20海里發(fā)現(xiàn)過魚群.某日,研究人員在A、B兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)(傳播速度相同),A、B兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為5:3.你能否確定魚群此時(shí)分別與A、B兩島的距離?答案:以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)橢圓方程為:x2a2+y2b2=1(a>b>0)且c=a2-b2------(3分)因?yàn)榻裹c(diǎn)A的正西方向橢圓上的點(diǎn)為左頂點(diǎn),所以a-c=20------(5分)又|AB|=2c=40,則c=20,a=40,故b=203------(7分)所以魚群的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是x21600+y21200=1------(8分)由于A,B兩島收到魚群反射信號(hào)的時(shí)間比為5:3,因此設(shè)此時(shí)距A,B兩島的距離分別為5k,3k-------(10分)由橢圓的定義可知5k+3k=2×40=80?k=10--------(13分)即魚群分別距A,B兩島的距離為50海里和30海里.------(14分)34.已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X~B(n,p)且E(X)=3,D(X)=2,則n與p的值分別為()
A.
B.
C.
D.答案:B35.若矩陣M=1111,則直線x+y+2=0在M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得到的直線方程為______.答案:設(shè)直線x+y+2=0上任意一點(diǎn)(x0,y0),(x',y')是所得的直線上一點(diǎn),[1
1][x']=[x0][1
1][y']=[y0]∴x′+y′=x0x′+y′=y0,∴代入直線x+y+2=0方程:(x'+y')+x′+y'+2=0得到I的方程x+y+1=0故為:x+y+1=0.36.已知直線l:x=2+ty=1-at(t為參數(shù)),與橢圓x2+4y2=16交于A、B兩點(diǎn).
(1)若A,B的中點(diǎn)為P(2,1),求|AB|;
(2)若P(2,1)是弦AB的一個(gè)三等分點(diǎn),求直線l的直角坐標(biāo)方程.答案:(1)直線l:x=2+ty=1-at代入橢圓方程,整理得(4a2+1)t2-4(2a-1)t-8=0設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,則t1+t2=4(2a-1)4a2+1,t1t2=-84a2+1,∵A,B的中點(diǎn)為P(2,1),∴t1+t2=0解之得a=12,∴t1t2=-4,∵|AP|=12+(-
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