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學(xué)業(yè)分層測評(二十三)函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例(建議用時(shí):45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為y=5x+4000,而手套出廠價(jià)格為每副10元,則該廠為了不虧本,日產(chǎn)手套至少為()A.200副 B.400副C.600副 D.800副【解析】由5x+4000≤10x,解得x≥800,即日產(chǎn)手套至少800副時(shí)才不虧本.【答案】D2.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加,第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為()【導(dǎo)學(xué)號:97030143】\f(p+q,2) \f(p+1q+1-1,2)\r(pq) \r(p+1q+1)-1【解析】設(shè)年平均增長率為x,則有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=eq\r(1+p1+q)-1.【答案】D3.某種細(xì)胞在正常培養(yǎng)過程中,時(shí)刻t(單位:分)與細(xì)胞數(shù)n(單位:個(gè))的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:t02060140n128128根據(jù)表中數(shù)據(jù),推測繁殖到1000個(gè)細(xì)胞時(shí)的時(shí)刻t最接近于()A.200 B.220C.240 D.260【解析】由表中數(shù)據(jù)可以看出,n與t的函數(shù)關(guān)系式為n=2eq\f(t,20),令n=1000,則2eq\f(t,20)=1000,而210=1024,所以繁殖到1000個(gè)細(xì)胞時(shí),時(shí)刻t最接近200分鐘,故應(yīng)選A.【答案】A4.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y,則x,y的函數(shù)關(guān)系是()A.y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co16))eq\f(x,100) B.y=6)100xC.y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f9,100)))x D.y=1-4)eq\f(x,100)【解析】設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%,則有%=1·(1-t)100,t=6)eq\f(1,100),∴y=(1-t)x=6)eq\f(x,100).【答案】A5.根據(jù)統(tǒng)計(jì),一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時(shí)間(單位:分鐘)為f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x)),x<A,,\f(c,\r(A)),x≥A))(A,c為常數(shù)).已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30min,組裝第A件產(chǎn)品用時(shí)15min,那么c和A的值分別是()A.75,25 B.75,16C.60,25 D.60,16【解析】由題意知,組裝第A件產(chǎn)品所需時(shí)間為eq\f(c,\r(A))=15,故組裝第4件產(chǎn)品所需時(shí)間為eq\f(c,\r(4))=30,解得c=60.將c=60代入eq\f(c,\r(A))=15,得A=16.【答案】D二、填空題6.某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:起步價(jià)為8元,起步里程為3km(不超過3km按起步價(jià)付費(fèi));超過3km但不超過8km時(shí),超過部分按每千米元收費(fèi);超過8km時(shí),超過部分按每千米元收費(fèi),另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元.現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)元,則此次出租車行駛了________km.【解析】設(shè)出租車行駛xkm時(shí),付費(fèi)y元,則y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9,0<x≤3,,8+x-3+1,3<x≤8,,8+×5+x-8+1,x>8,))由y=,解得x=9.【答案】97.(2023·深圳高一檢測)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h),其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡,放在24℃的房間中,如果咖啡降到40℃需要20分鐘,那么此杯咖啡從40℃降溫到32℃時(shí),還需要________分鐘.【解析】設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,h),其中Ta稱為環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡,放在24℃的房間中,如果咖啡降到40℃需要20分鐘,可得Ta=24,T0=88,T=40,可得:40-24=(88-24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(20,h),解得h=10,此杯咖啡從40℃降溫到32℃時(shí),可得:32-24=(40-24)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\f(t,10),解得t=10.【答案】108.(2023·鄭州模擬)為了在“十一”黃金周期間降價(jià)促銷,某超市對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定一次購物付款總額:①如果不超過200元,則不予優(yōu)惠;②如果超過200元,但不超過500元,則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠;③如果超過500元,其中500元按第②條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.辛云和她母親兩次去購物,分別付款168元和423元,假設(shè)她們一次性購買上述同樣的商品,則應(yīng)付款額為________元.【解析】依題意,價(jià)值為x元商品和實(shí)際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x,0≤x≤200,,,200<x≤500,,500×+x-500×,x>500.))當(dāng)f(x)=168時(shí),由168÷≈187<200,故此時(shí)x=168;當(dāng)f(x)=423時(shí),由423÷=470∈(200,500],故此時(shí)x=470.∴兩次共購得價(jià)值為470+168=638(元)的商品,∴500×+(638-500)×=(元),故若一次性購買上述商品,應(yīng)付款額為元.【答案】三、解答題9.(2023·西安模擬)如圖3-2-10所示,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為合理利用這塊鋼板,在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上.圖3-2-10(1)設(shè)MP=x米,PN=y(tǒng)米,將y表示成x的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域;(2)求矩形BNPM面積的最大值.【解】(1)作PQ⊥AF于Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.又△EPQ∽△EDF,所以eq\f(EQ,PQ)=eq\f(EF,FD),即eq\f(x-4,8-y)=eq\f(4,2).所以y=-eq\f(1,2)x+10,定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}.(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S平方米,則S(x)=xy=xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10-\f(x,2)))=-eq\f(1,2)(x-10)2+50,S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),且其圖象開口向下,對稱軸為x=10,所以當(dāng)x∈[4,8]時(shí),S(x)單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=8米時(shí),矩形BNPM的面積取得最大值,為48平方米.10.有時(shí)可用函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1+15ln\f(a,a-x),x≤6,,\f(x-,x-4),x>6,))描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度.其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(x∈N*),f(x)表示對該學(xué)科知識的掌握程度,正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).【導(dǎo)學(xué)號:97030144】(1)證明:當(dāng)x≥7時(shí),掌握程度的增長量f(x+1)-f(x)總是下降;(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn),學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時(shí),掌握程度是85%,請確定相應(yīng)的學(xué)科.【解】(1)證明:當(dāng)x≥7時(shí),f(x+1)-f(x)=eq\f,x-3x-4),而當(dāng)x≥7時(shí),函數(shù)y=(x-3)(x-4)單調(diào)遞增,且(x-3)(x-4)>0,故函數(shù)f(x+1)-f(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x≥7時(shí),掌握程度的增長量f(x+1)-f(x)總是下降.(2)由題意可知+15lneq\f(a,a-6)=,整理得eq\f(a,a-6)=,解得a=eq\f,-1)·6=×6=123,123∈(121,127],由此可知,該學(xué)科是乙學(xué)科.[能力提升]1.一個(gè)高為H,盛水量為V0的水瓶的軸截面如圖3-2-11所示,現(xiàn)以均勻速度往水瓶中灌水,直到灌滿為止,如果水深h時(shí)水的體積為V,則函數(shù)V=f(h)的圖象大致是()圖3-2-11【解析】水深h越大,水的體積V就越大,故函數(shù)V=f(h)是一個(gè)增函數(shù),一開始增長越來越快,后來增長越來越慢,圖象是先凹后凸的,曲線斜率是先增大后變小的.【答案】D2.某公司招聘員工,面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算,計(jì)算公式為y=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x,1≤x<10,x∈N,,2x+10,10≤x<100,,,x≥100,x∈N,))x∈N,其中,x代表擬錄用人數(shù),y代表面試人數(shù),若面試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號:97030145】A.15 B.40C.25 D.130【解析】若4x=60,則x=15>10,不合題意;若2x+10=60,則x=25,滿足題意;若=60,則x=40<100,不合題意.故擬錄用人數(shù)為25人.【答案】C3.某地區(qū)發(fā)生里氏級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測,記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:強(qiáng)度(J)×1019×1019×1019×1019震級(里氏)注:地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量.地震強(qiáng)度(x)和震級(y)的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=algx+b(其中a,b為常數(shù)).利用散點(diǎn)圖可知a的值等于________.(取lg2=進(jìn)行計(jì)算)圖3-2-12【解析】由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知x=×1019時(shí),y=,x=×1019時(shí),y=.所以=alg×1019)+b,①5.2=alg×1019)+b,②②-①得=algeq\f×1019,×1019),=alg2.所以a=eq\f,lg2)=eq\f,=eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)4.某企業(yè)為打入國際市場,決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn),已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:(單位:萬美元)項(xiàng)目類別年固定成本每件產(chǎn)品成本每件產(chǎn)品銷售價(jià)每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)A產(chǎn)品20m10200B產(chǎn)品40818120其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無關(guān),m是待定常數(shù),其值由生產(chǎn)A產(chǎn)品的原材料決定,預(yù)計(jì)m∈[6,8],另外,年銷售x件B產(chǎn)品時(shí)需上交萬美元的特別關(guān)稅,假設(shè)生產(chǎn)出來的產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售出去.(1)求該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤y1,y2與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系,并求出其定義域;(2)如何投資才可獲得最大年利潤?請?jiān)O(shè)計(jì)相關(guān)方案.【解】(1)y1=10x-(20+mx)=(10-m)x-20,0≤x≤200,且x∈N,y2=18x-(8x+40)-=-+10x-40,0≤x≤120且x∈N.(2)∵6≤m≤8,∴10-m>0,∴y1=(10-m)x-20為增函數(shù),又0≤x≤200,x∈N.∴x=200時(shí),生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(10-m)×200-20=1980-20
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