等差數(shù)列前n項和公式

等差數(shù)列前n項和公式

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？問題呈現(xiàn)

問題1問題2一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.這個V形架上共放著多少支鉛筆？

問題就是求“1+2+3+4+…+100=？”探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個項和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的辦法，需要把中間項11看成首、尾兩項1和21的等差中項。通過前后比較得出認(rèn)識：高斯“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和。有無簡單的方法？

探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：問題3:求和:1+2+3+4+…+n=?記:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1問題4：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，如何求等差數(shù)列的前n項和Sn=a1

+a2+a3+…+an?解：因為a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…

兩式左右分別相加，得倒序相加Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anSn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)問題5：能否用a1,n,d表示Sn將an=a1+(n-1)d代入【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫

；②{an}為等差數(shù)列

，這是一個關(guān)于

的

沒有

的“

”

倒序相加法Sn=an2+bnn常數(shù)項二次函數(shù)（注意a還可以是0）等差數(shù)列前n項和公式【公式記憶】用梯形面積公式記憶等差數(shù)列前n項和公式，這里對圖形進(jìn)行了割、補(bǔ)兩種處理，對應(yīng)著等差數(shù)列前n項和的兩個公式.③等差數(shù)列的前n項和公式類同于

；梯形的面積公式n例1．某長跑運(yùn)動員7天里每天的訓(xùn)練量（單位：m）是：

,8000,8500,9000,9500,10000,10500這位運(yùn)動員7天共跑了多少米？解：這位長跑運(yùn)動員每天的訓(xùn)練量成等差數(shù)列，記為｛an},其中a1=7500,a7=10500.根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，得答：這位長跑運(yùn)動員7天共跑了63000m.例2等差數(shù)列-10，-6，-2，

2，…前多少項的和是54？

本題實質(zhì)是反用公式，解一個關(guān)于n的一元二次函數(shù)，注意得到的項數(shù)n必須是正整數(shù).解：將題中的等差數(shù)列記為｛an｝，sn代表該數(shù)列的前n項和，則有a1=－10,d=－6－(－10)=4根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差數(shù)列－10,－6,－2,2，．．．前9項的和是54.設(shè)該數(shù)列前n項和為54

例3

求集合M={m|m=7n,n是正整數(shù),且m<100}的元素個數(shù),并求這些元素的和.解:由7n<100得n<100／7,由于滿足它的正整數(shù)n共有14個,∴集合M中的元素共有14個.即7,14,21,…,91,98.這是一個等差數(shù)列,各項的和是答:

集合M中的元素共有14個,它們的和為735.=735例4.求和：例5.等差數(shù)列{an}中，

a1=-17,d=2,求S3.隨堂練習(xí):１、根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的sn(1)a１=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=－2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=322、(1)求正整數(shù)列中前n個數(shù)的和；(2)求正整數(shù)列中前n個偶數(shù)的和。3、等差數(shù)列5,4,3,2,1,…前多少項的和是－30？［前15項］

1.推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法小結(jié)：2.公式的應(yīng)用中的數(shù)學(xué)思想.

-------倒序相加法-------方程思想3.公式中五個量a1,d,an,n,sn,已知其中三個量，可以求其余兩個-------知三求二作業(yè):書P118:習(xí)題3.3T1(2)(4)T2T7浙江省樂清中學(xué)高一數(shù)學(xué)備課組再見已知等差數(shù)列16，14，12，10，…

(1)前多少項的和為0？

(2)前多少項的和最大？課外探索例6.在等差數(shù)列{an}中，(1)已知d=3,an=20,Sn=65,求a1和n以及此數(shù)列的后6項和；(2)已知an=11-3n,求Sn.(3)已知a11=-1，求S21.備用:小結(jié)EX例6.已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前2