2023年歷年全國(guó)自考線性代數(shù)試題及答案

全國(guó)2023年7月高等教育自學(xué)考試試卷說(shuō)明:在本卷中,AＴ表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表達(dá)A的隨著矩陣；R(Ａ）表達(dá)矩陣A的秩;|A|表達(dá)Ａ的行列式；Ｅ表達(dá)單位矩陣。１．設(shè)３階方陣A=[α１,α２，α３],其中αｉ（i=1,2,３)為A的列向量,若|B|=｜[α1+2α2，α2，α3]|=6,則|Ａ|=(）A．-12?B.-6C.6 Ｄ.122.計(jì)算行列式(）A．-１80 B.－１20Ｃ.１20 D.18０3.設(shè)A=,則|2Ａ*|＝（）A.-８?B.－4Ｃ．４?D.８4．設(shè)α１，α2，α3，α４都是3維向量，則必有A．α1,α２,α３，α4線性無(wú)關(guān) B．α1,α２，α３，α４線性相關(guān)Ｃ．α１可由α2,α３，α4線性表達(dá) D.α１不可由α2，α3，α4線性表達(dá)5．若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2,則R（A)=(）Ａ．2 Ｂ３C．4 Ｄ.56．設(shè)A、B為同階矩陣,且Ｒ（A)=R(B),則（)A．Ａ與B相似?B.|A|=|B｜C．A與B等價(jià)?D.A與B協(xié)議７．設(shè)Ａ為３階方陣，其特性值分別為2,l，０則|A+2E｜＝()A.０ B．2C.3?D.248.若Ａ、Ｂ相似,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．A與Ｂ等價(jià)?Ｂ.Ａ與?B協(xié)議C．|Ａ|＝|Ｂ｜?D．A與B有相同特性9．若向量α=（1,-２,１)與β=(2，3，t)正交，則t=(）Ａ．-2?B.0C.２?D.4１0.設(shè)３階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特性值分別為2，l,0,則（)A.A正定 B．A半正定C.A負(fù)定 D.A半負(fù)定二、填空題（本大題共1０小題,每小題2分,共２0分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1l.設(shè)A=,B=,則AB=________.1２．設(shè)Ａ為3階方陣,且|A|＝3，則｜３A-l|=____＿_(dá)__.１3.三元方程x1+x２+x3=0的結(jié)構(gòu)解是_＿_(dá)__＿＿_(dá).14.設(shè)α＝(－1，2,2）,則與α反方向的單位向量是______．1５．設(shè)A為5階方陣,且R(Ａ)=3,則線性空間W={x|Ax=0}的維數(shù)是______．１6.設(shè)A為3階方陣，特性值分別為-2，，ｌ,則|5A-1｜=____＿_(dá)＿.17．若A、B為同階方陣，且Bx=0只有零解,若Ｒ(A)=３,則Ｒ(ＡＢ）=___＿_(dá)___．1８．二次型f（x1,x2，x3)＝-２x1ｘ2＋-x2x3所相應(yīng)的矩陣是__＿_(dá)____.1９.設(shè)3元非齊次線性方程組Ａx=b有解α１=，α2=,且R(Ａ)=2,則Ａx=ｂ的通解是＿_(dá)__＿_(dá)＿_(dá).20.設(shè)α=，則A＝ααＴ的非零特性值是＿_(dá)___．三、計(jì)算題（本大題共6小題,每小題9分，共５4分)２1.計(jì)算5階行列式D=2２.設(shè)矩陣X滿(mǎn)足方程X=求X.23.求非齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)解.2４．求向量組α1=(１,2，3,4)，α2=(０，-1，2，3)，α3＝（２,3,8，11)，α4＝(2，３，6，8）的秩.25.已知A＝的一個(gè)特性向量=(1，1,-１)T,求a，b及所相應(yīng)的特性值,并寫(xiě)出相應(yīng)于這個(gè)特性值的所有特性向量．26.用正交變換化二次型f(ｘ1,x2,x３)=為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出所用的正交變換.四、證明題（本大題共1小題，６分)2７.設(shè)α1，α2,α３是齊次線性方程組Ａx=０的一個(gè)基礎(chǔ)解系．證明α1,α1+α２，α２+α3也是Aｘ=0的基礎(chǔ)解系.全國(guó)202３年１月說(shuō)明：本卷中,AT表達(dá)矩陣Ａ轉(zhuǎn)置，dｅｔ（A)表達(dá)方陣A的行列式，A－1表達(dá)方陣Ａ的逆矩陣,（，)表達(dá)向量，的內(nèi)積，E表達(dá)單位矩陣.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題,每小題２分,共２0分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的,請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)1．設(shè)Ａ是4階方陣，且det(A)=4,則deｔ（4A)＝()Ａ.44?Ｂ．45C.46?D．472．已知A2＋A+E=０,則矩陣Ａ－1=()A．A+E B.A-EC.-A－E D．-Ａ+E3．設(shè)矩陣A，B，C,Ｘ為同階方陣,且A,B可逆，ＡＸB＝Ｃ,則矩陣X＝()Ａ．A-1ＣB-B.CＡ－1B-１Ｃ.B－1A-１C Ｄ.CB-１A－14．設(shè)Ａ是ｓ×n矩陣(ｓ≠n），則以下關(guān)于矩陣A的敘述對(duì)的的是(）A.ＡTＡ是s×ｓ對(duì)稱(chēng)矩B.ATA=AATC.（ＡTA)T=AAＴ?D.ＡAT是ｓ×ｓ對(duì)稱(chēng)矩陣5．設(shè)1,2,3,4，5是四維向量,則()A．l，2，3，4，５一定線性無(wú)關(guān)B.l,2，３，4,5一定線性相關(guān)C.5一定可以由1，2,３,4線性表出D．1一定可以由2，3，4，5線性表出６．設(shè)Ａ是n階方陣,若對(duì)任意的ｎ維向量X均滿(mǎn)足AX＝0,則(）A.A=0?B．A=EC.秩(A)=n D．0<秩（A)<ｎ７.設(shè)矩陣A與B相似，則以下結(jié)論不對(duì)的的是（)A．秩（Ａ）=秩(B）B．A與B等價(jià)C.A與B有相同的特性值 D.Ａ與B的特性向量一定相同8．設(shè)，，為矩陣A=的三個(gè)特性值,則=()A．10 B．２0Ｃ．2４?D．30９．二次型f(ｘ１,x2，x3)＝的秩為()Ａ．１?B.2Ｃ.3?D．410.設(shè)Ａ,B是正定矩陣,則(）A．AＢ一定是正定矩陣B.Ａ＋Ｂ一定是正定矩陣C.（ＡB)Ｔ一定是正定矩陣?Ｄ.A-Ｂ一定是負(fù)定矩陣二、填空題(本大題共10小題,每小題２分，共2０分）11．設(shè)A=，ｋ為正整數(shù),則Ak=?.1２．設(shè)２階可逆矩陣A的逆矩陣A-1=,則矩陣Ａ=__＿＿_(dá)_____.13．設(shè)同階方陣Ａ，B的行列式分別為-3,5,則deｔ（AB)=_______＿_(dá).14.設(shè)向量=(６,-2,０,4),=（-3,1,5，7)，向量滿(mǎn)足2+=3，則=___＿＿_(dá)___＿＿_(dá).15.實(shí)數(shù)向量空間Ｖ=｛(x1,x2,…,ｘn)|３x1＋x2+…＋xn＝0}的維數(shù)是__＿_(dá)___．16．矩陣A=的秩=_________＿_(dá)．1７．設(shè)是齊次線性方程組Aｘ=0的兩個(gè)解,則A(3)=_＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)＿．１８．設(shè)方陣A有一個(gè)特性值為0,則det(Ａ3）=_＿＿_(dá)___＿＿_(dá).19．設(shè)P為正交矩陣,若（Px,Py）=8,則（x,y)=_＿_(dá)__＿_(dá)__.20.設(shè)f（x１,x２,x3)=是正定二次型,則t滿(mǎn)足____＿.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共5４分）２1.計(jì)算行列式22.判斷矩陣Ａ=是否可逆,若可逆,求其逆矩陣．23．求向量組=(1，２，-1，-2),=(2,5,-6，-５），=(3，1，１,1),＝(－1，２,-7,-3)的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組,并將其余向量通過(guò)該最大線性無(wú)關(guān)組表達(dá)出來(lái)．2４.求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系及其結(jié)構(gòu)解．２5.求矩陣Ａ=的特性值和特性向量．26．寫(xiě)出下列二次型的矩陣，并判斷其是否是正定二次型．f（x1,x２,ｘ3）=四、證明題(本大題共１小題,6分)2７.設(shè)方陣A滿(mǎn)足（Ａ+E)２=E,且Ｂ與A相似,證明:Ｂ２+2Ｂ＝0.全國(guó)20２3年4月高等教育自學(xué)考試說(shuō)明：ＡT表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表達(dá)矩陣A的隨著矩陣，E是單位矩陣，｜A|表達(dá)方陣A的行列式。1.下列等式中，對(duì)的的是()A.B.C. D.２．設(shè)矩陣A=，那么矩陣A的列向量組的秩為（）A.3?B．2Ｃ.1?D.０3.設(shè)向量=(-１,4），=(1，－2）,=（3,-8),若有常數(shù)ａ,b使a-b-=0,則(）A.a=－1,b=-2B.a=－1，b=2C．a(chǎn)=1,b=-2 D.a=１,b＝2４.向量組＝(1，2,0），=(2，4，0),＝（３，6,0），=（4,９,0)的極大線性無(wú)關(guān)組為(）A.,B.,Ｃ．,?D.，5.下列矩陣中，是初等矩陣的為（）A.B.C.?Ｄ．6.設(shè)Ａ、B均為n階可逆矩陣，且C=，則C-１是(）A．B．C. D.7．設(shè)Ａ為3階矩陣，Ａ的秩r(A)=3，則矩陣A*的秩r(Ａ*)＝(）A.0B.1C.2 D．３8.設(shè)=３是可逆矩陣A的一個(gè)特性值,則矩陣有一個(gè)特性值等于()A． B．C．?D.9.設(shè)矩陣A=，則A的相應(yīng)于特性值=0的特性向量為()A.（０，0,０）ＴB.(0,2,-1）TC.（1，0,－１）T?Ｄ.(0，１,１）T10.下列矩陣中是正定矩陣的為()A.B.C. Ｄ.二、填空題（本大題共10小題,每題2分,共２0分）1１.行列式=___＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)__．１２.設(shè)矩陣A=,B=（1,2，3）,則ＢA＝__＿＿_(dá)_＿_(dá)_＿_(dá).13.行列式中第4行各元素的代數(shù)余子式之和為_(kāi)_＿_(dá)_______.1４．設(shè)A,B為ｎ階方陣,且ＡB=E,A－1B＝B－1Ａ＝E,則Ａ2+B2＝＿_(dá)＿_(dá)__＿_(dá)__＿1５.設(shè)向量=（1,２，３，4）,則的單位化向量為_(kāi)____＿＿_(dá)___.16.設(shè)3階方陣Ａ的行列式|A｜＝，則|Ａ3|＝__＿_(dá)____＿_(dá)＿.17.已知3維向量=(1,－3,3），=(１，0,-１)則+3=__＿_(dá)__＿_(dá)＿_(dá)_.１8．設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為0,且A的秩為n-1，則齊次線性方程組Ax=0的通解為＿＿_(dá)_____＿＿_(dá)．19.設(shè)１,２,…，n是n階矩陣A的n個(gè)特性值,則矩陣A的行列式|A|=＿＿_(dá)＿_(dá)______．20.二次型f（x1,x2,x３)=ｘ1x2+x1x3+x2x3的秩為_(kāi)_＿＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)．三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共5４分）2１.已知矩陣A＝，B=，求：(1)AＴB;（2）|ATB|.２2.設(shè)Ａ=,B＝,C=，且滿(mǎn)足AXB=C，求矩陣Ｘ.２3.求向量組=（1,２，1，０）T,＝（1,1,１,2)T，=（３,4,3，4)T,=（4,5，6，４）T的秩與一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.24．判斷線性方程組是否有解，有解時(shí)求出它的解.２5.設(shè)向量＝(１，１，0）T，=（－1,0,1）T,（1）用施密特正交化方法將，化為正交的,；(2)求,使,，兩兩正交．26.已知二次型ｆ＝,經(jīng)正交變換ｘ=Py化成了標(biāo)準(zhǔn)形f＝，求所用的正交矩陣P.四、證明題（本大題共6分)27．設(shè)A為5階反對(duì)稱(chēng)矩陣,證明|A|=0．全國(guó)2023年７月高等教育自學(xué)考試1.設(shè),則=（）A．-49 B．-7C.7?D.492．設(shè)Ａ為3階方陣,且,則()A．-32 Ｂ．-8C．8?D.323.設(shè)A，B為n階方陣,且ＡT=-A,ＢＴ＝B,則下列命題對(duì)的的是（）A.(Ａ+B)T=Ａ+ＢＢ．（AB)Ｔ=-ＡBＣ.A2是對(duì)稱(chēng)矩陣 D.Ｂ２+A是對(duì)稱(chēng)陣４．設(shè)A,B，X，Ｙ都是n階方陣，則下面等式對(duì)的的是（)A．若A2＝0，則A=0B．(AB)2＝A2Ｂ2C．若AX=AY,則Ｘ=Y Ｄ．若A+Ｘ=Ｂ,則X=Ｂ-A5．設(shè)矩陣A=,則秩（A)＝(）A.１?Ｂ.２C．3 D.４6.若方程組僅有零解，則k=（)A．-2?B．-1C.0 D．2７．實(shí)數(shù)向量空間Ｖ={（x1,x2,x３)|x1+x3=0｝的維數(shù)是(）Ａ．0?B.１Ｃ.2 D．38.若方程組有無(wú)窮多解,則=()Ａ.1?B．2C.3 D.49.設(shè)A=,則下列矩陣中與Ａ相似的是(）Ａ．Ｂ．C.?D．10.設(shè)實(shí)二次型，則ｆ()A.正定B．不定Ｃ.負(fù)定 D.半正定11．設(shè)A=(-1,1,２）T,Ｂ=(0,2，3)Ｔ,則｜ABＴ｜=＿_(dá)____.12．設(shè)三階矩陣，其中為A的列向量，且|A|＝2，則_＿＿_(dá)＿＿.1３.設(shè)，且秩(Ａ）=3，則a，b,c應(yīng)滿(mǎn)足__＿_(dá)＿＿.14.矩陣的逆矩陣是＿＿_(dá)___．15．三元方程x１＋x3=1的通解是_＿_(dá)___．１6.已知Ａ相似于，則|A-E|=__＿＿＿＿.17.矩陣的特性值是__＿＿_(dá)_.18.與矩陣相似的對(duì)角矩陣是____＿_(dá).19.設(shè)A相似于,則Ａ４______.２0．二次型ｆ(ｘ1，x2,x3）＝x１x２-x１x3+x2x3的矩陣是＿_(dá)_＿＿_(dá)．三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分21．計(jì)算４階行列式Ｄ=.22.設(shè)Ａ=,而X滿(mǎn)足AX+E=A２+X,求X.２３．求向量組：的秩，并給出該向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,同時(shí)將其余的向量表達(dá)成該極大無(wú)關(guān)組的線性組合.24．當(dāng)為什么值時(shí),齊次方程組有非零解？并求其所有非零解.25．已知1,１,-１是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的三個(gè)特性值,向量、是Ａ的相應(yīng)于的特性向量，求A的屬于的特性向量.26．求正交變換Y=PＸ，化二次型f(x1，x2,x３)=2x1ｘ2+2ｘ1x3-2ｘ2ｘ3為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題(本大題６分)27．設(shè)線性無(wú)關(guān),證明也線性無(wú)關(guān).接下來(lái)是答案全國(guó)2023年７月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試題課程代碼:0４184試卷說(shuō)明:在本卷中，ＡT表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣(行列對(duì)換）；A*表達(dá)A的隨著矩陣;A－1＝(重要)求Ａ-１和A*時(shí)，可用這個(gè)公式，A*太復(fù)雜了自己看看r(A)表達(dá)矩陣A的秩;|A|表達(dá)A的行列式；E表達(dá)單位矩陣。,每一項(xiàng)都乘2一、單項(xiàng)選擇題[]表達(dá)矩陣，矩陣乘矩陣還是矩陣;||表達(dá)行列式，計(jì)算后為一個(gè)數(shù)值,行列式相乘為數(shù)值運(yùn)算在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)3階方陣A=（α1,α2，α3）,其中αｉ(i＝1,２,3）為A的列向量,若|B|=|(α1+2α2，α２,α3)|=6,則|A|＝（C)A.-1２?B.－6αi(ｉ＝1,２,３）為Ａ的列向量，３行1列C．6 Ｄ．122.計(jì)算行列式=(A)=3*－2*10*3＝-1８0A.－180 B.－120C.1２0 D．180３．若A為3階方陣且|A-1|=2,則｜2A|＝(C)=23|A|=8＊１/2=4Ａ． Ｂ.2C.4?D．８4.設(shè)α1，α2,α３，α4都是３維向量,則必有(B)n＋1個(gè)n維向量線性相關(guān)Ａ.α１，α2，α３,α4線性無(wú)關(guān)?B.α1，α２，α3,α4線性相關(guān)C.α1可由α2，α3，α4線性表達(dá)?D．α１不可由α2，α3,α4線性表達(dá)５.若A為6階方陣，齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2,則r（Ａ）=(C）A．2 B.3ｎ-r(A)=解向量的個(gè)數(shù)=2,n=6C．4?Ｄ.56.設(shè)A、B為同階方陣，且r(A）=r（B)，則（C)A與B協(xié)議r（A)=r（Ｂ)PTAＰ＝Ｂ,P可逆A.A與Ｂ相似 B.|Ａ|=|B|C.A與B等價(jià) Ｄ．A與B協(xié)議7.設(shè)A為3階方陣,其特性值分別為２,1,0則|Ａ+2E|=(Ｄ)，|Ａ|=所有特性值的積=０A．0 Ｂ.2A+2E的特性值為2+2,1+2,0+2,即4,3，2，｜A+2E｜=４＊３*2C.3 D.248.若A、Ｂ相似，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(B)Ａ.A與B等價(jià)?Ｂ．A與B協(xié)議C．|A｜＝|Ｂ| D.A與B有相同特性值A(chǔ)、Ｂ相似Ａ、Ｂ特性值相同|A|=｜B|r(A）=r（Ｂ);若Ａ~Ｂ,B～C，則A~C(~代表等價(jià))９.若向量α=(1，-2,1)與β=(2，3,t)正交，則t=(D),即1*2－2*3+1*t=0，t=４A.-2?B．0C.２ Ｄ.410．設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特性值分別為2,1，０，則（B），所有特性值都大于０，正定;A.A正定B.A半正定所有特性值都小于0,負(fù)定；C.A負(fù)定Ｄ．A半負(fù)定所有特性值都大于等于0，半正定；同理半負(fù)定;其他情況不定二、填空題（本大題共１0小題，每小題2分,共2０分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。1１.設(shè)A=,B=，則AB=（A的每一行與B的每一列相應(yīng)相乘相加）==下標(biāo)依次為行列，如表達(dá)第二行第一列的元素。A為三行兩列的矩陣即3×2的矩陣,B為2×3的矩陣,則ＡＢ為3×3的矩陣,相應(yīng)相乘放在相應(yīng)位置1２.設(shè)A為3階方陣,且｜Ａ|＝3，則|3A－１|＝３3|A-1|=２７*＝９1３．三元方程x1+x2＋ｘ3＝1的通解是____＿_(dá)＿＿_(dá)＿_(dá)____.擴(kuò)充為,再看答案14.設(shè)α=（-1,2，2),則與α反方向的單位向量是＿_(dá)_＿_(dá)跟高中單位向量相同_＿_(dá)_＿_(dá)______.15.設(shè)A為５階方陣，且r（A）=3，則線性空間W={x｜Ax=０｝的維數(shù)是