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第五章總練習(xí)設(shè)a,b為兩個(gè)非零向量,下列等式成立的充分必要條件ab0ab

b|a|2|b|22a(2)|a+b||a||b||a+b|2(|a||b|)2|a|2|b|22ab|a|2|b|22|a||b|ab|a||b||a||b|cosa,b|a||b|cosa,b1ab共線且方向相反(3)ab與ab共線ab(ab0baab0abab設(shè)a,b,c為非零向量判斷下列等式是否成立(1)(ab)ca(bc);(2)(ab)2=a2b2;(3)a(bc)(ab)解(1)不成立.例如:(iijji(ij不成立.例如ij)20i2j2成立.a(bc)和(abc都是a,b,c的有向體積,且定向相同解(7a5b)(a3b0,(a4b)(7a2b)7a215b216ab07a2+8b230ab0(1)15(2)161(a2b2)0,a2b2直角AD是斜邊上的高則ADBDCDABBDBCACCDCB.證ABADDBACAD20ABAC(ADDB)(ADDC)ADADDCDBADDB222

DBDC,

DBDCBDDCBDDC(BDDC同向 2AB2 2 2BDCDBD2BD(CDBD)BD 2AC

2CD2BDCDCD2CD(BDCD)CD設(shè)ab為非零向量,證明(ab)2a2b2a證(ab)2|a|2|b|2sin2ab|a|2|b|2(1cos2ab|a|2|b|2|a|2|b|2cos2a,ba2b2設(shè)有兩直線L:x1yz1L:x2y1z2求平行于LL 解n

所求平面:-5(x12)2y1/2)z1/2)0,5x2yz1Pv設(shè)直線L通過(guò)點(diǎn)P0且其方向向量為v,證明LPv一點(diǎn)P到L的距離d可表為d|P0P1v| 1證平行四邊形P0P1AB

|v設(shè)兩直線L1L2分別通過(guò)點(diǎn)P1P2,且它們的方向向量為v1v2.證明L1與L2共面的充分必要條件為P1P2(v1v20.證L1與L2P1P2v1v2共面P1P2(v1v2設(shè)兩直線L1,L2分別通過(guò)點(diǎn)P,1P2,且它們的方向向量為v1,v2L1與L2之間的距離義為dmin|QQ|證明:(1)當(dāng)L與L平行時(shí)它們之間的距離可表示為d 1 .(2)當(dāng)L與L為異面直線時(shí),它們之間的距離可表示為d|P1P2(v1v2.

|v1v2證(1)當(dāng)L1與L2平行時(shí),它們之間的距離為L(zhǎng)1上任意一點(diǎn)到L2的距離,由第8題dP1P2v1(2)P1P2(v1v2)PP(vv是PP在L與L |vv 1 1 |故其長(zhǎng)度|PP(vv|

|P1P2(v1v2|是異面直線L與L 1 |v1v2 AxByCzD 證明:(1)對(duì)于任意兩個(gè)不全為零的常數(shù)1,21(A1xB1yC1zD1)2(A2xB2yC2zD2)表示一個(gè)通過(guò)直線L的平面(2)任意給定一個(gè)通過(guò)直線L的平面 ,必存在兩個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使平面的方程為1A1xB1yC1zD12A2xB2yC2zD2證(1)向量(A1,B1C1與(A2B2C2不共線故對(duì)于兩個(gè)不全為零的常數(shù)1,1A1xB1yC1zD12A2xB2yC2zD201A1B1C1)+2A2B2C2000是一個(gè)平面的方程,并且L上點(diǎn)的(x,y,z) 足A1xB1yC1z(x,y,z) 足AxByCzD 1(A1xB1yC1zD1)2(A2xB2yC2zD2)(2)設(shè)平面通過(guò)直線L,其方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)AxByCzD(x0y0z0在L上.三個(gè)向量ABCA1,B1C1)與A2B2C2均垂直于L的方向向量,故共面又(A1,B1,C1與(A2B2C2)都是非零向量故存在兩個(gè)不全為零的常數(shù)1,2,(A,B,C)1(A1,B1,C1)+2(A2,B2,C2DAx0By0Cz0(1A1+2A2)x0(1B1+2B2)y0(1C12C21(A1x0B1y0C1z0)2(A2x0B2y0C2z0)1D1故表示為1A1xB1yC1zD12A2xB2yC2zD2x2z4試求通過(guò)直線L

且與直線Lx1y1z313yz8 解根據(jù)11題的結(jié)論,所求平面方程有1(x2z4)2(3yz8)0,1x32y(212)z4182由于平面與L2平行,(132212)(1,1,1)01322120122令1221,得所求平面方程2x3y5z已知曲面S的方程為S

2

1,平面

:2x

y2z

求曲面S的平行于的切平面方程在曲面S上求到平面 距離為最短及最長(zhǎng)的點(diǎn),并求最短及最長(zhǎng)的距離解(1)S

y,z).4xy2z 2x(Xx)y(Yy)z(Zz)2已知曲面S的方程為S

2

1,平面

:2x

y2z6 求曲面S的平行于的切平面方程在曲面S上求到平面 距離為最短及最長(zhǎng)的點(diǎn),并求最短及最長(zhǎng)的距離(1)S上的點(diǎn)記為(xyz).S的法向(2x,,2切平面與平行,則法向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例：2x

y/2z.z2x,y 與曲面方程聯(lián)立x2x22x21,x1y1,z22xXxy(Yyz(Zz2利用曲面方程得2xXyYzZ2.X1YZ 平面過(guò)點(diǎn)A(300).P1A2PA2PA P1到平面的距離

|n

103點(diǎn)P11,1PA5 PA P2到平面的距離

|n

23(在曲面S上到平面距離為最短及最長(zhǎng)的點(diǎn)分別是(1,1,1)和( 并求最短及最長(zhǎng)的距離分別是 xy1z繞z軸旋轉(zhuǎn)一周 x解直線參數(shù)方程y1zzxy1z繞z軸旋轉(zhuǎn),對(duì)于固定的