高等量子力學17-角動量耦合演示文稿

討論角動量J1和J2的共同本征矢量與J=J1+J2（的共同本征矢量）的本征矢量之間的關(guān)系，是兩組基矢之間的關(guān)系?！?3-1兩個角動量的耦合互相對易的兩個角動量算符J1和J2，它們的矢量和算符是

J1和J2可以是系統(tǒng)兩個子系統(tǒng)的角動量，這時J就是大系統(tǒng)的總角動量；也可以是同一個系統(tǒng)不同的角動量，如一個電子的軌道角動量和自旋角動量，這時J就是電子的總角動量?！?3角動量的耦合1一、Clebsch-Gordan系數(shù)（CG系數(shù)）任何系統(tǒng)所在的Hilbert空間總可以寫成兩個空間的直積：

其中

不受空間轉(zhuǎn)動的影響，

在空間轉(zhuǎn)動時要發(fā)生相應(yīng)的變化。

后一空間的基矢就是這個系統(tǒng)角動量本征矢量。

子系統(tǒng)2的相應(yīng)量為，和和大系統(tǒng)的總角動量為設(shè)子系統(tǒng)1的角動量算符為，本征矢量為和本征矢量為2描寫大系統(tǒng)的態(tài)矢量隨空間轉(zhuǎn)動而變的那一部分，從兩個子系統(tǒng)角度講是在空間中，而從大系統(tǒng)的角度講，是在空間中，兩組基矢所張的空間是同一個空間，兩組基矢可以通過一個幺正變換相聯(lián)系。

，3和，取固定的和的關(guān)系為式中

可寫成

式中

是在這確定的子空間中的兩組基矢變換的不耦合表象：

耦合表象：幺正矩陣，稱為CG系數(shù)，Wigner系數(shù)或矢量耦合系數(shù)。4二、由j1和j2確定j1.重要關(guān)系j1和j2取定的子空間，從不耦合表象看，是(2j1+1)(2j2+1)維的。耦合表象的基矢也應(yīng)該是(2j1+1)(2j2+1)個，由此看j的取值范圍。對23.3

兩邊用分別作用，有即

由此得

5設(shè)，即可以表示成的疊加，上式兩邊用作用（），

當左邊的m’由于受到J±的作用變?yōu)閙時，(-j≤

m≤j)，右邊的m1和m2也由于受到J1±和J2±的作用取不同的值，而且不會所有的項都成為0，這樣23.3式仍然成立，這證明，若對某一個m’，|jm’>在此空間，則所有的2j+1個|jm>必然也在此空間。

62.j的最大值和最小值最大的j應(yīng)該是j1+j2。

反證之：設(shè)j>j1+j2的|jm>也可表示為|j1m1>|j2m2>的疊加，用J+=J1++J2+分別作用于等號兩邊若干次，使左邊為|jj>(j>j1+j2），這時右邊各項已全部為0，此時m=m1+m2已不再滿足。所以j>j1+j2是不可能的。7設(shè)最小值為x，根據(jù)耦合表象和不耦合表象的基矢數(shù)目相等，有右邊是一個等差級數(shù)，共(j1+j2-x+1)，這樣有由此得

即最小的j值是|j1-j2|，最后得8三、CG系數(shù)的正交性關(guān)系CG系數(shù)是幺正矩陣元，滿足正交性關(guān)系：

式中事實上，CG系數(shù)的國際標準值都是實數(shù)，所以9§23-2CG系數(shù)的計算一、m=j的特殊情況若m=j，將簡寫為，根據(jù)CG系數(shù)的定義有符號對的取值范圍進行了明確的限制。計算時利用兩個性質(zhì)：等號兩邊都是的本征矢量，本征值為；利用的性質(zhì)。

10即：

22.5311上式第二項再做代換，，有上式第一項再做代換，，有與星式比較，則第二項代換后等于星式第一項，第一項代換后等于星式第二項，所以由第二項代換后等于星式第一項得：12得遞推公式：

遞推下去，得即m1增大到最大j1，m2減小到最小j-j1。（m1+m2=j）最終：

其中與m1,m2無關(guān)的常數(shù)，可以用|j1j2jj>的歸一化條件得出a即23.16式，代入23.14，得23.17式13二、一般的CG系數(shù)的的求法根據(jù)

易推出

次

（即作用之后，）由此得

所以

取其負共軛，利用

，，得

14由二項式定理得則有

將此式代入23.18式，利用23.17式（m=j的情況）為“邊界”條件，

注意到得到CG系數(shù)的最后結(jié)果：23.19式（Edmonds）為實數(shù)，15

式中：滿足m=m1+m2，求和變量的取值范圍是不使分母括號中的量為負的所有正整數(shù)；j1,j2,m1,m2可以取整數(shù)，也可以取半數(shù)。m>j時，16等價的Racah形式：

注意各值關(guān)系和范圍：，17三、查CG系數(shù)表j1j2

18§23-3CG系數(shù)和轉(zhuǎn)動矩陣一、CG系數(shù)與轉(zhuǎn)動群表示之間的關(guān)系19于是在直積空間中有

式中

對耦合表象基矢，它是和的本征矢量，因而也是轉(zhuǎn)動群的一個不可約表示的基矢：20以上兩套基矢通過CG系數(shù)聯(lián)系起來：

其逆變換是：

令(23.24)兩邊經(jīng)受一個轉(zhuǎn)動Q，則有(23.25)代入

利用矩陣相乘

21將此式與23.23式相比較，得這是CG系數(shù)與轉(zhuǎn)動群的表示之間的重要關(guān)系式。和二者的直積矩陣也是轉(zhuǎn)動群的一個表示，上式表明，兩個不可約表示的直積是可約的，其約化矩陣就是以CG系數(shù)作為矩陣元的矩陣S。（在被S矩陣作用后，直積矩陣被塊對角化）都是轉(zhuǎn)動群{Q}的不可約表示，22二、CG系數(shù)的一個普遍公式由23.26得

寫成矩陣元的形式為

兩邊乘以，并對Q積分，

因為是完全已知的，所以可以求出CG系數(shù)的普遍公式：（23.27）。23§23-4CG系數(shù)和3j符號、CG系數(shù)的性質(zhì)1.在中，j1、j2和j可以是整數(shù)，以及三角形條件：

m1、m2和m必須滿足：

只有滿足這些條件，CG系數(shù)才不為零。也可以是半數(shù)，但必須滿足：

242.CG系數(shù)是實數(shù)3.CG系數(shù)滿足幺正性條件254.其他關(guān)系26二．3j符號1.定義：2.對稱性質(zhì)：273.相關(guān)公式的3j符號表示28§23-53個角動量的耦合考慮一個系統(tǒng)有三個不同的，互相對易的角動量的情況。設(shè)它們的本征矢量分別為，和。三個角動量的矢量和，即系統(tǒng)的總角動量為一、耦合表象基矢的構(gòu)造描寫這個系統(tǒng)的Hilbert空間中的角動量有關(guān)的直積空間，的部分是三個空間其基矢是29第一套：先將和耦合，令則和四個算符的共同本征矢量是然后根據(jù)

再把和耦合，得到它們是六個算符的共同本征矢量。

30第二套：先將和耦合，令然后再將和耦合與前類似，可以得到另一套基矢由一個幺正變換聯(lián)系起來：定義Racah系數(shù)兩套基矢都是空間中的基矢組，31二、Racah系數(shù)的計算由23.68左乘得

又可證明

所以

32并將式中的j12和m12改為j’12和m’12,得

兩邊乘以再對m1,m2取和，利用CG系數(shù)的幺正性得33兩邊再乘以，對m12,m3取和，最后得Racah系數(shù)用CG系數(shù)表示的公式。34CG系數(shù)是完全已知的，所以Racah系數(shù)原則上已經(jīng)求出。經(jīng)過化簡得到Racah系數(shù)的普遍公式：

在上式中

35§23-66j符號和9j符號目前文獻上在使用Racah系數(shù)時，常用對稱性更為明顯的6j符號，而當遇到四個角動量耦合時又會使用9j符號。一、6j符號定義：

通常寫成：

36The6jsymbolthecouplingprobability

forthreeangularmomenta.isrelatedtoItisvalidwhen

("trianglerelations")

37二、9j符號在研究四個角動量耦合時會遇到9j符號，例如原子系統(tǒng)中的LS耦合和jj耦合之間的關(guān)系。設(shè)有四個互相對易的角動量J1,J2,J3,J4，則在Hilbert空間中，可以建立兩組新的基矢：對于給定的J1,J2,J3,J4，這兩組基矢是以一個幺正矩陣互相變換的，9j符號就是這個變換矩陣的矩陣元乘以一個參數(shù)，其定義為38The9jsymbol

couplingprobabilityfor

fourangularmomenta.isrelatedtotheItisvalidwhen399j符號具有很高的對稱性，對于行和列的偶數(shù)次對調(diào)，對于兩個對角線的反射，9j符號都不改變數(shù)值；對于行和列的奇數(shù)次對調(diào)，9j符號只差一個符號(-1)s，s為其中所有9個量之和。當9j符號有一個量為0時，有409j符號還有以下關(guān)系：41§23-7LS耦合和jj耦合以具有兩個價電子的原子為例，討論這一雙電子系統(tǒng)的態(tài)矢量的角向部分。、基矢的選擇設(shè)兩電子的軌道角動量和自旋角動量分別為L1,L2和S1,S2，則根據(jù)前面的討論，在這一雙電子的Hilbert空間中可以有兩組基矢系統(tǒng)。第一組是：42在這組基矢描寫的狀態(tài)中，總軌道角動量L=L1+L2的大小和總自旋角動量S=S1+S2的大小以及總角動量J的大小和z分量取確定值。這組基矢稱為LS耦合的基矢。另一組基矢系統(tǒng)為這組基矢表示的態(tài)中，兩粒子的總角動量J1=L1+S1和J2=L2+S2大小以及系統(tǒng)的總角動量J的大小和z分量取確定值，這組基矢稱為jj耦合基矢。43二、系統(tǒng)的Hamiltonian和Schr?dinger方程的解

1．對此雙電子系統(tǒng)，其哈密頓為式中H0為電子在原子核及其余電子（原子實）的場中的哈密頓：（23.91）等式右邊最后三項是雙電子系統(tǒng)中最重要的兩種相互作用：

是兩電子間的靜電相互作用，

第四第五項則是兩電子各自的自旋軌道相互作用(簡稱“旋軌耦合”)。44

2.Schr?dinger方程的解

系統(tǒng)的Schr?dinger方程的解

當兩電子完全沒有相互作用的時候（包括沒有旋軌耦合），此時LS耦合態(tài)

或jj耦合態(tài)

都可以是Schr?dinger方程的解

為與徑向方程有關(guān)的參數(shù)

45②兩電子只有靜電相互作用由于r12（1/r12也一樣）具有空間轉(zhuǎn)動不變性，它肯定與L對易，而（23.93）式是

的共同本征矢量，

與這些算符都對易，的解肯定取LS耦合23.93的形式。③再加上較小的旋軌耦合作用這種作用可以作為微擾來處理，根據(jù)微擾理論，態(tài)函數(shù)與（23.93）比較差一個較小的修正。（以