復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)

復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)3.典型例題2.內(nèi)容提要1.重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)運(yùn)算和各種表示法2.復(fù)變函數(shù)以及映射的概念1.復(fù)數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2.映射的概念二、內(nèi)容提要復(fù)數(shù)復(fù)變函數(shù)極限連續(xù)性代數(shù)運(yùn)算乘冪與方根復(fù)數(shù)表示法幾何表示法

向量表示法三角及指數(shù)表示法復(fù)球面復(fù)平面擴(kuò)充曲線與區(qū)域判別定理極限的計(jì)算

1.復(fù)數(shù)的概念1)兩復(fù)數(shù)的和2)兩復(fù)數(shù)的積3)兩復(fù)數(shù)的商2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算4)共軛復(fù)數(shù)

實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù).共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)3.復(fù)數(shù)的其它表示法（1）幾何表示法（2）向量表示法復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)

模的性質(zhì)三角不等式復(fù)數(shù)的輻角輻角的主值

（3）三角表示法利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成稱(chēng)為復(fù)數(shù)z

的指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成4.復(fù)數(shù)的乘冪與方根1)乘積與商

兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.則有

幾何意義復(fù)數(shù)相乘就是把模相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為

兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商;兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.則有2)冪與根(a)n次冪:

(b)棣莫佛公式5.復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面南極、北極的定義(1)復(fù)球面

球面上的點(diǎn),除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作.因而球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示.

球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),這樣的球面稱(chēng)為復(fù)球面.

復(fù)球面的定義包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱(chēng)為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)平面.對(duì)于復(fù)數(shù)無(wú)窮大來(lái)說(shuō),實(shí)部,虛部,輻角等概念均無(wú)意義,它的模規(guī)定為正無(wú)窮大.(2)擴(kuò)充復(fù)平面的定義6.曲線與區(qū)域（1）鄰域（2）內(nèi)點(diǎn)

如果G內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那么G稱(chēng)為開(kāi)集.(4)區(qū)域

如果平面點(diǎn)集D滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件,則稱(chēng)它為一個(gè)區(qū)域.(a)D是一個(gè)開(kāi)集；(b)D是連通的,即D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái).(3)開(kāi)集(5)邊界點(diǎn)、邊界

設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P

的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn),這樣的P點(diǎn)我們稱(chēng)為D的邊界點(diǎn).(7)有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.(6)

區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域.

閉區(qū)域

沒(méi)有重點(diǎn)的曲線C稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).(8)簡(jiǎn)單曲線(9)光滑曲線

由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱(chēng)為按段光滑曲線.

任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)(10)單連通域與多連通域

復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,就稱(chēng)為單連通域.一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱(chēng)為多連通域.

從幾何上看，單連通域就是無(wú)洞、無(wú)割痕的域.7.復(fù)變函數(shù)的概念(1)復(fù)變函數(shù)的定義(2)映射的定義函數(shù)極限的定義注意:

8.復(fù)變函數(shù)的極限

極限計(jì)算的定理與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類(lèi)似.

極限運(yùn)算法則（1）連續(xù)的定義

9.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)的充要條件連續(xù)的性質(zhì)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)有理分式函數(shù)

特殊的:在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.三、典型例題

其幾何意義是三角形任意一邊的長(zhǎng)不小于其它兩邊邊長(zhǎng)之差的絕對(duì)值.解解解例6

滿(mǎn)足下列條件的點(diǎn)組成何種圖形?是不是區(qū)域?若是區(qū)域請(qǐng)指出是單連通區(qū)域還是多連通區(qū)域.解是實(shí)數(shù)軸,不是區(qū)域.

是以為界的帶形單連通區(qū)域.解

是以為焦點(diǎn),以3為半長(zhǎng)軸的橢圓閉區(qū)域,它不是區(qū)域.

不是區(qū)域，因?yàn)閳D中解解在圓環(huán)內(nèi)的點(diǎn)不是內(nèi)點(diǎn).例7

函數(shù)將平面上的下列曲線變成平面上的什么曲線？解又于是表示平面上的圓.(1)解表示平面上以為圓心，為半徑的圓.解析函數(shù)3.典型例題2.內(nèi)容提要1.重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.解析函數(shù)的判別方法及導(dǎo)數(shù)求法2.初等函數(shù)的概念1.解析與可導(dǎo)的關(guān)系2.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念二、內(nèi)容提要導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)定義性質(zhì)判別方法指數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)解析函數(shù)

冪函數(shù)性質(zhì)1.導(dǎo)數(shù)定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果極限存在，則稱(chēng)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處可導(dǎo).稱(chēng)此極限值為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù)，記作

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo).2.求導(dǎo)公式與法則①常數(shù)的導(dǎo)數(shù)c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然數(shù)).----實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣③設(shè)函數(shù)f(z),g(z)均可導(dǎo)，則

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z).⑤反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，其中:w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0.3.解析函數(shù)的概念定義

如果函數(shù)w=f(z)在z0及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱(chēng)f(z)在z0解析；如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析，則稱(chēng)

f(z)在D內(nèi)解析，或稱(chēng)f(z)是D內(nèi)的解析函數(shù)

(全純函數(shù)或正則函數(shù)）.如果f(z)在點(diǎn)z0不解析，就稱(chēng)z0是f(z)的奇點(diǎn).定理1

設(shè)w=f

(z)及w=g(z)是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)，則f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0時(shí))均是D內(nèi)的解析函數(shù).定理2設(shè)w=f(h)在h

平面上的區(qū)域G內(nèi)解析,

h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,h=g(z)的函數(shù)值集合G，則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)處處解析.定理1

設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D

內(nèi)有定義，則f(z)在點(diǎn)z=x+iy∈D處可導(dǎo)的充要條件是

u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，且滿(mǎn)足

Cauchy-Riemann方程上述條件滿(mǎn)足時(shí),有4.解析函數(shù)的判定定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在D內(nèi)可微，且滿(mǎn)足Cauchy-Riemann方程5.初等函數(shù)i.指數(shù)函數(shù)定義它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類(lèi)似的性質(zhì)：ii.三角函數(shù)定義正弦與余弦函數(shù)的性質(zhì)定義—稱(chēng)為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的性質(zhì)iii.對(duì)數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù).即，(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)定義ⅳ.冪函數(shù)冪函數(shù)的解析性它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,且三、典型例題例1證明f(z)=zRez只在z=0處才可導(dǎo).證明例2證例3解例4解例5解例6解復(fù)變函數(shù)的積分1.重點(diǎn)與難點(diǎn)2.內(nèi)容提要3.典型例題

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：1.復(fù)積分的基本定理；2.柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式

復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算

二、內(nèi)容提要有向曲線復(fù)積分積分存在的條件及計(jì)算積分的性質(zhì)柯西積分定理原函數(shù)的定義復(fù)合閉路定理柯西積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱(chēng)為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,1.有向曲線2.積分的定義(3.積分存在的條件及計(jì)算（1）化成線積分（2）用參數(shù)方程將積分化成定積分4.積分的性質(zhì)5.柯西－古薩基本定理(柯西積分定理)由定理得6.原函數(shù)的定義(牛頓-萊布尼茲公式)7.閉路變形原理

復(fù)合閉路定理

一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.那么8.柯西積分公式一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.

9.高階導(dǎo)數(shù)公式10.調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)

任何在

D

內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是

D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).定理區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).

共軛調(diào)和函數(shù)

三、典型例題例1

計(jì)算的值，其中C為1）沿從到的線段：2）沿從到的線段：與從到的線段所接成的折線.解說(shuō)明

同一函數(shù)沿不同路徑所得積分值不同.因此

證例2

設(shè)C為圓周證明下列不等式.解

例3

計(jì)算當(dāng)時(shí),解

解法一利用柯西-古薩基本定理及重要公式由柯西-古薩基本定理有

解法二利用柯西積分公式因此由柯西積分公式得解分以下四種情況討論：解為大于1的自然數(shù).

例6

計(jì)算下列積分解法一偏積分法.利用柯西—黎曼方程,

因而得到解析函數(shù)

解法二線積分法.

因而得到解析函數(shù)解法三全微分法解例8

已知求解

析函數(shù),使符合條件1.重點(diǎn)與難點(diǎn)

2.內(nèi)容提要

3.典型例題級(jí)數(shù)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)充要條件必要條件冪級(jí)數(shù)收斂半徑R復(fù)變函數(shù)絕對(duì)收斂運(yùn)算與性質(zhì)收斂條件條件收斂復(fù)數(shù)列收斂半徑的計(jì)算泰勒級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)二、內(nèi)容提要1.復(fù)數(shù)列記作表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).其最前面項(xiàng)的和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.部分和2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1)定義2)復(fù)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散充要條件必要條件非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱(chēng)為條件收斂級(jí)數(shù).3)復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂如果

收斂,那末稱(chēng)級(jí)數(shù)

為絕對(duì)收斂.絕對(duì)收斂條件收斂稱(chēng)為這級(jí)數(shù)的部分和.

級(jí)數(shù)最前面項(xiàng)的和3.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)其中各項(xiàng)在區(qū)域

D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記作

4.冪級(jí)數(shù)1)在復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中,形如的級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).----阿貝爾Abel定理如果級(jí)數(shù)在收斂,那么對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散,那么對(duì)滿(mǎn)足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿(mǎn)足2)收斂定理(3)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).此時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.3)收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.即級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處收斂.(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除外都發(fā)散.在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意..收斂圓收斂半徑方法1:比值法方法2:

根值法4)收斂半徑的求法那末收斂半徑那末收斂半徑5)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿(mǎn)足那么當(dāng)時(shí),(2)冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的解析性設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那么是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)

.它的和函數(shù)即(1)(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,即(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,即或5.泰勒級(jí)數(shù)其中泰勒級(jí)數(shù)1)定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,那么點(diǎn),時(shí),成立,當(dāng)2)常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式

6.洛朗級(jí)數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞

的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線.為洛朗系數(shù).1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù).

某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的,這就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù).根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi).(2)間接展開(kāi)法2)將函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的方法(1)直接展開(kāi)法三、典型例題例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解發(fā)散，收斂，例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解解收斂收斂例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.解

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知絕對(duì)收斂.例1

判別級(jí)數(shù)的斂散性.例2

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑解例3

展開(kāi)函數(shù)成的冪級(jí)數(shù)到項(xiàng).解由此得所以解析函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)的方法利用定義來(lái)求.分析：采用間接法即利用已知的展開(kāi)式來(lái)求.解例4

求在的泰勒展式.由于例5分析：利用級(jí)數(shù)的乘除運(yùn)算較為簡(jiǎn)單.解故乘積也絕對(duì)收斂.例6設(shè)又由泰勒展式的唯一性,又所以解利用待定系數(shù)法比較兩端系數(shù)得例7分析：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分法.解所以例8解利用微分方程法

對(duì)上式求導(dǎo)得由此可得故例9分析:利用部分分式與幾何級(jí)數(shù)結(jié)合法.即把函數(shù)分成部分分式后,應(yīng)用等比級(jí)數(shù)求和公式.解故兩端求導(dǎo)得例10例11解有

同一級(jí)數(shù)在不同圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式是不同的.解例12留數(shù)一.重點(diǎn)與難點(diǎn)二.內(nèi)容提要三.典型例題

一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用二、內(nèi)容提要留數(shù)計(jì)算方法可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系對(duì)數(shù)留數(shù)留數(shù)定理留數(shù)在定積分上的應(yīng)用輻角原理路西原理1）定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱(chēng)為的孤立奇點(diǎn).1.孤立奇點(diǎn)的概念與分類(lèi)孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)2）孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類(lèi):i)可去奇點(diǎn);ii)極點(diǎn);iii)本性奇點(diǎn).定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中不含

的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)

稱(chēng)為

的可去奇點(diǎn).i)

可去奇點(diǎn)ii)極點(diǎn)

定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),其中關(guān)于的最高冪為即階（級(jí)）極點(diǎn).那么孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的或?qū)懗蓸O點(diǎn)的判定方法在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開(kāi)式中含有限項(xiàng).(a)由定義判別(b)由定義的等價(jià)形式判別(c)利用極限判斷

.如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)那么孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),注意:

在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為iii)本性奇點(diǎn)i)零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那么稱(chēng)為的

m階（級(jí)）零點(diǎn).3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系ii)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系如果是的m級(jí)極點(diǎn),那么就是的

m級(jí)零點(diǎn).反過(guò)來(lái)也成立.2.留數(shù)記作定義

如果的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿內(nèi)包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱(chēng)為以1)留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)在區(qū)域

D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那么立奇點(diǎn)留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).(1)如果為的可去奇點(diǎn),則如果為的一級(jí)極點(diǎn),那么a)(2)如果為的本性奇點(diǎn),則需將成洛朗級(jí)數(shù)求展開(kāi)(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則2)留數(shù)的計(jì)算方法c)設(shè)及在如果那么為一級(jí)極點(diǎn),且有都解析，如果為的級(jí)極點(diǎn),那么b)也可定義為記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線那么積分值為在的留數(shù).的值與C無(wú)關(guān)

,則稱(chēng)此定3)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那么在所有各孤立奇點(diǎn)

(包括

點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.

留數(shù)定理23.留數(shù)在定積