剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)

3.2.1剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律1.力矩對于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動而言：對于定軸轉(zhuǎn)動而言：注意:

(1)力矩是對點(diǎn)或?qū)S而言的;

(2)一般規(guī)定，使剛體逆時針繞定軸轉(zhuǎn)動時；使剛體順時針繞定軸轉(zhuǎn)動時.2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律對質(zhì)元，由牛頓第二運(yùn)動定律得其中是質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸作圓運(yùn)動的加速度，寫為分量式如下：其中和是質(zhì)元繞軸作圓運(yùn)動的法向加速度和切向加速度，所以法向力的作用線過轉(zhuǎn)軸,其力矩為零.內(nèi)力矩為零外力矩為M剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動時對慣性的量度描述.3.轉(zhuǎn)動慣量適用于離散剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算適用于連續(xù)剛體轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算在國際單位制（SI）中，轉(zhuǎn)動慣量的單位為千克二次方米，即.3.2.5例題分析

1.一繩跨過定滑輪，兩端分別系有質(zhì)量分別為m和M的物體，且.滑輪可看作是質(zhì)量均勻分布的圓盤，其質(zhì)量為，半徑為R，轉(zhuǎn)軸垂直于盤面通過盤心，如圖所示.由于軸上有摩擦，滑輪轉(zhuǎn)動時受到了摩擦阻力矩的作用.設(shè)繩不可伸長且與滑輪間無相對滑動.求物體的加速度及繩中的張力.解受力分析如圖所示.對上下做平動的兩物體，可以視為質(zhì)點(diǎn)，由牛頓第二運(yùn)動定律得若以順時針方向轉(zhuǎn)的力矩為正，逆時針轉(zhuǎn)的方向?yàn)樨?fù)，則由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律得據(jù)題意可知，繩與滑輪間無相對滑動，所以滑輪邊緣上一點(diǎn)的切向加速度和物體的加速度相等，即聯(lián)立以上三個方程，得注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量和摩擦阻力矩時，此時有，物理學(xué)中稱這樣的滑輪為“理想滑輪”，稱這樣的裝置為阿特伍德機(jī).

2.求長為L，質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒AB的轉(zhuǎn)動慣量.（2）對于通過棒的中點(diǎn)與棒垂直的軸.（1）對于通過棒的一端與棒垂直的軸；解（1）如圖所示，以過A端垂直于棒的為軸，沿棒長方向?yàn)閤軸，原點(diǎn)在軸上，在棒上取長度元，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有:

（2）如圖所示，以過中點(diǎn)垂直于棒的為軸，沿棒長方向?yàn)閤軸，原點(diǎn)在軸上，在棒上取長度元，則由轉(zhuǎn)動慣量的定義有:

3.試求質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓環(huán)對垂直于平面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.解作示意圖如右,由于質(zhì)量連續(xù)分布，所以由轉(zhuǎn)動慣量的定義得

4.試求質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓盤對垂直于盤面且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量.解如圖所示,由于質(zhì)量連續(xù)分布，設(shè)圓盤的厚度為l，則圓盤的質(zhì)量密度為部分均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直2r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑l細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直l細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直(2)質(zhì)量元的選?。壕€分布面分布

體分布(1)剛體的轉(zhuǎn)動慣量：

以上各例說明：線分布體分布面分布與剛體的總質(zhì)量有關(guān)，與剛體的質(zhì)量分布有關(guān)，與軸的位置有關(guān)。

(3)由于剛體是一個特殊質(zhì)點(diǎn)系，即各質(zhì)點(diǎn)之間無相對位移，對于給定的剛體其質(zhì)量分布不隨時間變化，故對于

定軸而言，剛體的轉(zhuǎn)動慣量是一個常數(shù)。剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小與下列因素有關(guān)：

（1）形狀大小分別相同的剛體質(zhì)量大的轉(zhuǎn)動慣量大；

（2）總質(zhì)量相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠(yuǎn)轉(zhuǎn)動慣量越大；

（3）對同一剛體而言，轉(zhuǎn)軸不同，質(zhì)量對軸的分布不同，轉(zhuǎn)動慣量的大小不同.3.2.2剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能(轉(zhuǎn)動動能)對于第i個質(zhì)元,動能為對于整個剛體,動能為2.剛體定軸轉(zhuǎn)動時力矩所做的功及功率3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理

1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量J是桿的轉(zhuǎn)動慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動慣量J2之和.練習(xí):

一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個大小可以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動.某瞬時細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動的角速度為，桿與豎直軸的夾角為.設(shè)桿的質(zhì)量為、桿長為l，小球的質(zhì)量為.求：1）系統(tǒng)對軸的轉(zhuǎn)動慣量；

2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能；

3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對軸的力矩.解:l2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動動能為：3）系統(tǒng)所受重力有桿的重力和小球的重力.則系統(tǒng)所受重力對軸的力矩的大小為：l

5.

如圖所示，一質(zhì)量為M、半徑為R的勻質(zhì)圓盤形滑輪，可繞一無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動.圓盤上繞有質(zhì)量可不計(jì)的繩子，繩子一端固定在滑輪上，另一端懸掛一質(zhì)量為m的物體，問物體由靜止落下h高度時,物體運(yùn)動的速率為多少？物體下降的加速度的大小就是轉(zhuǎn)動時滑輪邊緣上切向加速度，所以解法一用牛頓第二運(yùn)動定律及轉(zhuǎn)動定律求解.分析受力如圖所示.對物體m用牛頓第二運(yùn)動定律得對勻質(zhì)圓盤形滑輪用轉(zhuǎn)動定律有物體m落下h高度時的速率為圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為聯(lián)立以上五式，可得物體m落下h高度時的速率為小于物體自由下落的速率解法二利用動能定理求解.對于物體m利用質(zhì)點(diǎn)的動能定理有其中和是物體的初速度和末速度.對于滑輪由剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理有其中是在拉力矩TR的作用下滑輪轉(zhuǎn)過的角度，和是滑輪的初末角速度.由于滑輪和繩子間無相對滑動，所以物體落下的距離應(yīng)等于滑輪邊緣上任意一點(diǎn)所經(jīng)過的弧長，即.聯(lián)立以上各式，可得物體m落下h高度時的速率為解法三利用機(jī)械能守恒定律求解.若把滑輪、物體和地球看成一個系統(tǒng)，則在物體落下、滑輪轉(zhuǎn)動的過程中，繩子的拉力T對物體做負(fù)功（），對滑輪做正功（）即內(nèi)力做功的代數(shù)和為零，所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.若把系統(tǒng)開始運(yùn)動而還沒有運(yùn)動時的狀態(tài)作為初始狀態(tài)，系統(tǒng)在物體落下高度h時的狀態(tài)作為末狀態(tài)，則解之可得物體m落下h高度時的速率.3.2.3剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律1.角動量(動量矩)對于定點(diǎn)轉(zhuǎn)動而言：在國際單位制（SI）中，角動量的單位為對于繞固定軸oz轉(zhuǎn)動的整個剛體而言:對于繞固定軸oz的轉(zhuǎn)動的質(zhì)元而言:角動量的方向不是沿軸的正向，就是沿軸的負(fù)向,所以可用代數(shù)量來描述.2.角動量定理（動量矩定理）3.角動量守恒定律

即系統(tǒng)所受的合外力矩為零.——角動量守恒的條件

——角動量守恒的內(nèi)容

注意：在推導(dǎo)角動量守恒定律的過程中受到了剛體、定軸等條件的限制，但它的適用范圍卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了這些限制.如:滑冰運(yùn)動員的表演.3.2.4開普勒定律1.開普勒第一定律

每一行星繞太陽作橢圓軌道運(yùn)動，太陽是橢圓軌道的一個焦點(diǎn)．這一定律也稱為軌道定律．太陽冥王星海王星天王星土星木星火星地球金星水星2.開普勒第二定律

行星運(yùn)動過程中，行星相對于太陽的位矢在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等．這一定律也稱為面積定律.2a太陽行星3.開普勒第三定律

行星繞太陽公轉(zhuǎn)時，橢圓軌道半長軸的立方與公轉(zhuǎn)周期的平方成正比，即這一定律也稱為周期定律．

6.哈雷慧星繞太陽運(yùn)行時的軌道是一個橢圓，如圖所示，它距離太陽最近的距離是

,速率它離太陽最遠(yuǎn)時的速率這時它離太陽的距離解彗星受太陽引力的作用，而引力通過了太陽，所以對太陽的力矩為零，故彗星在運(yùn)行的過程中角動量守恒.于是有代入數(shù)據(jù)可,得

7.如圖所示，一個長為l、質(zhì)量為M的勻質(zhì)桿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)動.一質(zhì)量為m、速率為v的子彈以與水平方向成角的方向射入桿內(nèi)距支點(diǎn)為a處，使桿的偏轉(zhuǎn)角為.問子彈的初速率為多少？解把子彈和勻質(zhì)桿作為一個系統(tǒng),分析可知在碰撞過程中角動量守恒.設(shè)子彈射入桿后與桿一同前進(jìn)的角速度為,則子彈在射入桿后與桿一起擺動的過程中只有重力做功，所以由子彈、桿和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，因此有聯(lián)立上述這兩個方程得子彈的初速率為

8.如圖所示，一根質(zhì)量為M、長為2l的均勻細(xì)棒，可以在豎直平面內(nèi)繞通過其中心的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，開始時細(xì)棒靜止于水平位置.今有一質(zhì)量為m的小球，以速度垂直向下落到了棒的端點(diǎn)，設(shè)小球與棒的碰撞為完全彈性碰撞.試求碰撞后小球的回跳速度及棒繞軸轉(zhuǎn)動的角速度.解分析可知,以棒和小球組成的系統(tǒng)的角動量守恒.由于碰撞前棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以碰撞前系統(tǒng)的角動量就是小球的角動量;由于碰撞后小球以速度v

回跳，棒獲得的角速度為，所以碰撞后系統(tǒng)的角動量為由角動量守恒定律得由題意知，碰撞是完全彈性碰撞，所以碰撞前后系統(tǒng)的動能守恒，即聯(lián)立以上兩式，可得小球的速度為棒的角速度為要保證小球回跳，則必須保證.討論:“剛體的定軸轉(zhuǎn)動”基本內(nèi)容

1剛體定軸轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)角位置：角位移：角速度：角加速度：線量與角量的關(guān)系：2

剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學(xué)（1）剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律----力矩的瞬時作用效果力矩：轉(zhuǎn)動慣量：剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律：（2）剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理---力矩對空間的累積效應(yīng)力矩的功：定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能：定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：機(jī)械能守恒定律：(此時動能中既包含平動動能還包含轉(zhuǎn)動動能)（3）剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理---力矩對時間的累積效應(yīng)質(zhì)點(diǎn)的角