第一章復數(shù)與復變函數(shù)(1.3-1.4)-精簡

§1.3平面點集的一般概念一、平面點集二、區(qū)域三、平面曲線1dz0一、平面點集1.鄰域設為復平面上的一點，定義dz0(1)稱點集為點的鄰域；(2)稱點集為點的去心鄰域。P15

2內點一、平面點集2.內點、外點與邊界點(1)內點外點邊界點考慮某平面點集

G

以及某一點，(2)有外點(1)(2)有邊界點(1)不一定屬于

G

；在中，(2)既有又有邊界G

的邊界點的全體稱為

G

的邊界。P15

3內點外點邊界點邊界點(1)不一定屬于

G

；在中，(2)既有又有邊界G

的邊界點的全體稱為

G

的邊界。一、平面點集3.孤立點(1)(2)有（反之不一定）的邊界點.的孤立點一定是P15

4否則稱為無界集。則

G

稱為有界集，5.有界集與無界集4.開集與閉集開集如果

G

的每個點都是它的內點，則稱

G

為開集。一、平面點集閉集如果

G

的邊界點全部都屬于

G

，則稱

G

為閉集。定義若存在一個以原點為中心的圓盤包含

G

，P15

P15

5二、區(qū)域1.區(qū)域與閉區(qū)域區(qū)域平面點集

D

稱為一個區(qū)域，如果它滿足下列兩個條件:(1)D是一個開集；(2)D是連通的，不連通的一條折線連接起來。即

D

中任何兩點都可以用完全屬于

D閉區(qū)域區(qū)域

D

與它的邊界一起構成閉區(qū)域或閉域,記作

D。連通注閉區(qū)域并非區(qū)域（只有全平面被認為既是區(qū)域又是閉區(qū)域）P16

6區(qū)域1-

2

+

i閉區(qū)域(角形)區(qū)域例(1)(2)(3)P16例1.127二、區(qū)域3.單連通域與多連通域定義設

D

為區(qū)域，若

D

內任一條"簡單閉曲線"的內部仍屬于

D，則

D

稱為單連通域。

多連通域又可具體分為二連域、三連域、…

…。否則稱為多連通域。P18

簡單閉曲線：沒有重合點或交叉點的連續(xù)封閉曲線8三、平面曲線1.方程式在直角平面上在復平面上

如何相互轉換？(1)(2)注：必要時還可借助幾何特征9i-

i(1)1-

1(2)例(1)(2)10三、平面曲線2.參數(shù)式在直角平面上在復平面上例如考察以原點為圓心、以

R

為半徑的圓周的方程.(2)在復平面上(1)在直角平面上(記住此結果）11三、平面曲線2.參數(shù)式在直角平面上在復平面上(2)在復平面上(1)在直角平面上例如考察和的直線段連接?íì====)()(yyxx(記住此結果）12三、平面曲線3.有向曲線定義帶有方向的曲線，稱為有向曲線，記為

C。若指定

C

的兩個可能方向中的一個作為正向，代表與

C

的方向相反(即

C

的負方向)的曲線。則注：只有正向確定了，才有意義。13逆時針區(qū)域三、平面曲線4.有向曲線

簡單閉曲線的正向一般約定為：

區(qū)域邊界曲線的正向一般約定為：當邊界上的點

P

順此方向沿邊界前進時,所給定的區(qū)域始終位于

P

點的左邊。注意區(qū)域可以是多連域。曲線重要14§1.4無窮大與無窮遠點一、無窮大二、無窮遠點15(2)(3)

法則(1)無意義。無意義。

實部虛部是多少?問題

模與輻角是多少?

在復平面上對應到哪一點？一、無窮大定義一個特殊的復數(shù)稱為無窮大，滿足16二、無窮遠點1.無窮遠點的概念定義在“復平面”上一個與復數(shù)對應的“理想”點，稱為無窮遠點。

事實上，在通常的復平面上并不存在這樣的點，因此只能說它是一個“理想”點。

那么，這個“理想”點到底在哪里呢？下面就來看看黎曼(Riemnann)給出的解釋。17這樣的球面稱作復球面。

球面上的

N

點本身則對應到了“復平面”上的無窮遠點。其中，N為北極，S為南極。對復平面上的任一點用球面上除

N

點外的所有點和復平面上的所有點一一對應，直線將

點與

N

點相連，與球面相交于點。p二、無窮遠點2.復球面如圖，某球面與復平面相切，注復數(shù)不能寫成或者18二、無窮遠點3.擴充復平面(2)不包括無窮遠點在內的復平面稱為有限復平面，或者簡稱為復平面。(1)包括無窮遠點在內的復平面稱為擴充復平面；定義4.無窮遠點的鄰域設實數(shù)

M

>

0，定義(1