數(shù)理方程第五章 分離變量法 LWG

第五章分離變量法本章中心內容用分離變量法求解各種有界問題；本章基本要求掌握有界弦的自由振動解及其物理意義著重掌握分離變量法的解題思路、解題步驟及其核心問題---本征值問題第五章分離變量法問題的引入(1)(2)(3)行波法達朗貝爾公式

前一章所講的行波法，適用范圍會受到一定限制．本章介紹的分離變量法（又稱為本征函數(shù)展開法）是解偏微分方程定解問題最常用的重要方法．

其基本思想是把偏微分方程分解為幾個常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件從而構成本征值問題．適用于解大量的各種各樣的定解問題，特別在所研究問題的區(qū)域是矩形、柱面、球面等情況下，使用更為普遍.5.1分離變量理論

對于任何二階線性（齊次）偏微分方程5.1.1偏微分方程變量分離及條件

對于一個給定的偏微分方程實施變量分離應該具備什么條件？（5.1.1）通過適當?shù)淖宰兞孔儞Q轉化為下列標準形式：

(5.1.2)根據(jù)方程(5.1.2)類型直接可知：方程是雙曲型的

它是拋物型的

它是橢圓型的

假設（5.1.2）的解有下列分離的形式

其中

(5.1.3)分別是單個變量的二次可微函數(shù)。

代入(5.1.2)即有(5.1.4)1.常系數(shù)偏微分方程討論:若（5.1.4）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫的

代表，將方程兩邊同除以XY,則要等式恒成立，只能它們等于一個既不依賴于x,也不依賴于y的常數(shù)，記為，從而得到兩個常微分方程2.變系數(shù)偏微分方程對于變系數(shù)函數(shù)

，假設存在某一個函數(shù)

，使得方程除以后變?yōu)榭煞蛛x的形式上式要恒成立，只有它們均等于同一個常數(shù)，記為

，從而得到兩個常微分方程由以上討論知道：對于常系數(shù)二階偏微分齊次方程，總是能實施變量分離

需要滿足一定的條件，即必須找到討論2中適當?shù)暮瘮?shù)才能實施變量分離．但對于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程第一類邊界條件第二類邊界條件

5.1.2邊界條件可實施變量分離的條件一維的情形（設在邊界點處），常見的

三類邊界條件為假設具體定解問題（以弦的橫振動為例）的邊界條件為齊次的：

第三類邊界條件可見，只有當邊界條件是齊次的，方可分離出單變量未知函數(shù)的邊界條件．此外，進行分離變量時，還須根據(jù)具體情況確定直角坐標系，球坐標系以及柱坐標系．求定解問題的不恒等于零的解須因此得5.2直角坐標系中的分離變量法

5.2.1分離變量法介紹例5.2.1：具體考慮長為，兩端固定的均勻弦的自

由振動泛定方程

（5.2.１）（5.2.２）初始條件

（5.2.３）

邊界條件

【解】

物理模型的啟示：樂器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的單音，每種單音振動時形成正弦曲線，其振幅依賴于時間t，每個單音可以表示成由此啟發(fā)，我們試求方程（5.2.１）的具有如下可以分離變量的形式的非零解用分離變量法求解定解問題，具體分如下四個步驟：第一步：分離變量

【解】

第一步：分離變量用分離變量法求解定解問題，具體分如下四個步驟：變量分離形式的試探解代入（5.2.１）和（5.2.２）泛定方程

（5.2.１）邊界條件

（5.2.２）定解問題的泛定方程變?yōu)槠⒎址匠谭蛛x成兩個常微分方程:(5.2.4)(5.2.5)也不依賴于x的常數(shù)，不妨設常數(shù)為

要使等式恒成立，只能是它們等于一個既不依賴于t,(5.2.6)

否則得零解，對于齊次微分方程是無意義．我們所謂的求解是指的求出非零解

由齊次邊界條件有（5.2.7）故得邊界條件是齊次的，才得出（5.2.７）這樣簡單的結論，而非齊次邊界條件需要轉化為齊次邊界條件．第二步：求解本征值（或稱為固有值）問題上面推導的方程

（5.2.5）（5.2.7）注意：為了求解原來定解問題分離變量形式的解，我們就必須首先求解以下常微分方程的邊值問題：本征值不能任意取，只能根據(jù)邊界條件（5.2.7）取某些特定值。本征函數(shù)不同（5.2.5）所對應的解本征值問題求齊次方程帶有齊次邊界條件的本征值和本征函數(shù)問題

定義：二階常系數(shù)微分方程：特征方程：根的三種情況：得常系數(shù)微分方程的通解：這三種不同的取值情況具有不同解的形式附錄:（5.2.5）的解為

（１）和由（5.2.７）確定，即有三種可能逐一加以分析求解（5.2.5），將由此解出被排除

（２）、方程（5.2.5）的解是與X是非零解的要求不符解出和由（5.2.7）確定，即

也被排除．

這也與X

是非零解的要求不符，因此根據(jù)常微分方程的知識（5.2.5）的解如

，則仍然解出

（３）和由（5.2.7）確定，即只剩下一種可能性：

（5.2.8）常數(shù)的這種特定數(shù)值叫作本征值，相應的解叫作本征函數(shù)．方程（5.2.5）和條件（5.2.7）則構成本征值問題或固有值問題．

與對應的函數(shù)為

（5.2.9）（5.2.9）正是傅里葉正弦級數(shù)的基本函數(shù)族．第三步：先求特解，再疊加求出通解

（5.2.10）再得此常微分方程的通解為：（5.2.11）其中和是待定常數(shù)．，由方程（5.2.4）求出相應的

對于每一個本征值(5.2.4)（5.2.12）（5.2.9）和（5.2.11）代入到解于是得到原來定解問題的變量分離形式的一組特解如下：這是一組已經分離了變量的特解。

（5.2.9）（5.2.11）就是滿足(5.2.1)和條件（5.2.2）的通解（5.2.13）由線性方程解的疊加原理，這組解構成的無窮級數(shù)（5.2.１）（5.2.２）初始條件(5.2.3)確定疊加系數(shù)（5.2.14）第四步:利用本征函數(shù)的正交歸一性確定待定系數(shù)（5.2.３）

（5.2.13）使上述解再同時滿足原來定解問題的初始條件：(5.2.3)至此，定解問題（5.2.1）-(5.2.3)的解已經求出

(5.2.15)可確定待定系數(shù):第四步:確定待定系數(shù)（5.2.13）就是滿足下面方程和邊界條件的解（只要上述級數(shù)收斂并且可以逐項微分兩次）：第四步:確定待定系數(shù)第四步:確定待定系數(shù)(2)第二個限制：二階線性偏微分方程的解，不一定是分離變量的乘積形式分離變量法是有條件的，會受到一定的限制注意：(1)第一個限制：變系數(shù)的二階線性偏微分方程并非總能實施變量分離5.2.2.解的物理意義特解(5.2.5)改寫為

(5.2.16)駐波疊加駐波(standingwave)為兩個振幅、波長、周期皆相同的正弦波相向行進干涉而成的合成波。此種波的波形無法前進，因此無法傳播能量，故名之。

5.2.2.解的物理意義駐波(standingwave)為兩個振幅、波長、周期皆相同的正弦波相向行進干涉而成的合成波。此種波的波形無法前進，因此無法傳播能量，故名之。

振幅:頻率:初位相:波節(jié):波腹:點數(shù)為2，3，4的駐波形狀

圖5.1（成倍增長）、位相不同、振幅不同的駐波疊加而成的．所以分離變量法又稱駐波法．各駐波振幅的大小和位相于是我們也可以說解是由一系列頻率不同的差異，由初始條件決定，而圓頻率與初始條件無關，所以也稱為弦的本征頻率．中最小的一個

稱為基頻，相應的稱為基波．稱為諧頻，相應的稱為諧波．

基波的作用往往最顯著．

具體以直角坐標系中的三維齊次熱傳導方程為例來說明三維形式中方程的分離．在直角坐標系中熱傳導方程為坐標變量和時間變量分離2.三維形式的直角坐標分離變量從前面討論的例子容易看出，分離變量的本征值通常是正數(shù)，

所以在上式中我們采用實數(shù)的平方形式來表示．得

上式即為亥姆霍茲方程．

又可以表成如下分離形式：

由于上式中函數(shù)的每一項都是單一自變量的函數(shù)．而且彼此獨立，因此只有當每一項分別等于某一任意的分離常數(shù)時，上述等式才成立，于是，得到其中

上面三個方程，就是的分離方程，這些分離方程的通解是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的組合．若是有限區(qū)域的情形，這些分離方程還應配有相應的齊次邊界條件，即構成本征值問題．在這種情況下，這些分離的常數(shù)應是一系列離散值（例如它們分別與一系列整數(shù)關），這些離散值即本征值；與此相應的解即本征函數(shù)，而時間部分的解為因此，三維形式中熱傳導問題的完整解為5.2.3直角坐標系分離變量例題分析

上面我們已經研究的例題5.2.1討論的是兩個邊界點均為第一類齊次邊界條件的定解問題．下面討論的例題5.2.2是既有第一類，也有第二類齊次邊界條件的定解問題；而例題5.2.3討論的是均為第二類齊次邊界條件的定解問題，注意到本征值和本征函數(shù)的區(qū)別．例5.2.2研究定解問題：

【解】用分離變量法求解.令代入（5.2.17），(5.2.18)，得本征值問題及對本征值問題（5.2.22）-~（5.2.23）討論：（1）若，則方程（5.2.22）的解為

待定常數(shù)和由邊界條件（5.2.23）確定，即有只能得到無意義的解，應該排出．

(2)若

由（5.2.23）得

，則（5.2.22）的解為

，

只能得到無意義的解，應該排出

（3）若，則方程的解是由（5.2.23）則注意到

可以是任意常數(shù)．條件

且要得到非零解，只有．在條件下，

，即故得到本征值為相應的本征函數(shù)是系數(shù)B可以在求通解時考慮進去，故此將系數(shù)認為是

歸一化的

.

由

將代入（5.2.24）解得疊加得系數(shù)由定解條件確定傅里葉展開式系數(shù)可確定為例5.2.3解下列兩端自由棒的自由縱振動定解問題：

魚群探測換能器件或磁致伸縮換能器的核心是兩端自

由的均勻桿，它作縱振動．即下列定解問題【解】按照分離變量法的步驟，先以變量分離形式的試探解代入（5.2.28），(5.2.29)得求解（5.2.34）～（5.2.35）本征值問題，對

(1)若

進行討論,類同于前面的討論，只能得到無意義的解；(2)若，則方程（5.2.34）的解為

代入（7）得到

故可取歸一化的本征函數(shù)

，于是得到，否則得到無意義的零解．由于通解中還另有待定系數(shù)，（3）若，方程(5.2.34)的解為

常數(shù)由（5.2.35）確定，即由于

，所以如果則得無意義的解

；因此于是

相應的（歸一化的）本征函數(shù)是這是情況下的本征值．

從上面的討論我們可以將本征值

和對應的本征函數(shù)統(tǒng)一為當將本征函數(shù)值代入到T的方程得到其對應的解為其中

均為獨立的任意常數(shù)．所以，原定解問題的形式解為注意到上式正是傅里葉余弦級數(shù)的基本函數(shù)族．所有本征振動的疊加得到通解

系數(shù)由初始條件確定．有把右邊的函數(shù)

后比較兩邊的系數(shù)，得到

展開為傅里葉余弦級數(shù)，然例5.2．4求邊長分別為的長方體中的溫度分布，

設物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為【解】定解問題為：(5.2.36)(5.2.37)(5.2.38)(5.2.39)(5.2.40)(1)時空變量的分離：

(2)空間變量的分離：

代入方程式，可得：

代入（5.2.41）式及（5.2.37）．關于的常微分方程及邊界條件，構成本征值問題：同時，

滿足（5.2.42）再令代入（5.2.42）式及（5.2.38）式可得另外兩個本征值問題

和(3)求本征值問題

這三個本征值問題的本征值與本征函數(shù)分別為：把（5.2.43）、（5.2.44）、（5.2.45）式的本征值相加，

（5.2.46）得到關于的本征值問題的本征值：

再將上述三式寫成的本征函數(shù)：(4)求解關于

(5)將所有的常微分方程的解疊加起來，代入初值有的常微分方程：將（5.2.46）式代入中，可得通解：14．3二維極坐標系下拉普拉斯方程分離變量

其中，例5.3.1物理模型：

帶電的云與大地之間的靜電場近似是勻強靜電場,其電場強度

是豎直的，方向向下．水平架設的輸電線處于這個靜電場之中，輸電線是導體圓柱，柱面由于靜電感應出現(xiàn)感應電荷，圓柱鄰近的靜電場也就不再是勻強的了，如圖5.2所示．不過離圓柱“無遠限遠”處的靜電場仍保持為勻強的．現(xiàn)在研究導體圓柱怎樣改變了勻強靜電場,求出柱外的電勢分布．解題分析：