第5章-分布函數(shù)

1補充題：希望了解一個村莊200個小孩的牙齒情況。

醫(yī)生A在200小孩中選了20個小孩,數(shù)據(jù)如下根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此村莊的小孩中壞牙的總數(shù).又有醫(yī)生B調(diào)查200個小孩后發(fā)現(xiàn)有60小孩沒有壞牙根據(jù)醫(yī)生A和B的數(shù)據(jù)，重新估計壞牙的總數(shù)。

練習(xí)題壞牙數(shù)量012345678910孩子數(shù)量842211000112統(tǒng)計學(xué)與概率是密切相關(guān)的。很多統(tǒng)計中的概念要用概率表述。概率是對隨機事件發(fā)生可能性大小的度量。它的取值在0～1之間。隨機事件是指可能發(fā)生也可能不發(fā)生的結(jié)果。例如，某產(chǎn)品的壽命大于5年，就是隨機事件.

產(chǎn)品的市場月需求量在100～500之間也是隨機事件.Chapter5概率及其分布31零部件的預(yù)防性更換(涉及到零部件的壽命)2確定產(chǎn)品的保換期(涉及到產(chǎn)品的壽命)3確定原材料的庫存量(涉及到產(chǎn)品的需求量)

概率的應(yīng)用41.概率的類型古典概率P(A)=m/nn---全部樣本點數(shù)

m---事件A包含的樣本點數(shù)

(要求:每個樣本點等可能,互斥)頻率定義的概率P(A)=m/nn---試驗的總次數(shù)

m---A出現(xiàn)的次數(shù)5

現(xiàn)實中的統(tǒng)計學(xué)

Citibankmakesavailableawiderangeoffinancialservices,includingcheckingandsavingsaccounts,loansandmortgages,insurance,andinvestmentservices,withintheframeworkofauniquestrategyfordeliveringthoseservicescalledCitibanking.概率分布的例子6

CitibankingATMs(automatictellermachines)aresomuchthatcustomerstodayusethemfor80%oftheirtransactions.

一般在每個ATM前都有顧客排隊等待尋求服務(wù)。對等待時間的周期性統(tǒng)計調(diào)查分析，對于決定是否增加ATM是有必要的。概率分布的例子7

調(diào)查數(shù)據(jù)表明，顧客的隨機到達服從

Poisson分布。

Citibank能夠根據(jù)在一定時間內(nèi)顧客到達數(shù)的概率，決定是否增加ATM。

X表示一分鐘內(nèi)到達的顧客數(shù)。假定已知每分鐘平均到達2人。則，一分鐘內(nèi)顧客到達數(shù)的概率如下：

X=012345ormoreProbability.1353.2707.2707.1804.0902.0527概率分布的例子8

隨機變量RandomVariables(R.V.)—用變量表示隨機事件

性質(zhì):

①變量的取值是隨機的,②變量取某些值的概率是確定的.

隨機變量包括連續(xù)和離散.

常用大寫字母表示隨機變量.X,Y,Z等等.RandomVariablesandTheirDistributions9離散r.v.的分布

Xx1x2…...xn

PiP1P2….Pn

有時以另一種形式表示離散型分布

P(X=xi)=數(shù)學(xué)表達式

Forexample:P(X=i)=(poisson分布)隨機變量的分布=1,Pi≥0(n

可以∞)10連續(xù)隨機變量的分布隨機變量的分布=1.

①分布函數(shù):F（x）=P（X<x）也可以描述離散隨機變量

0≤F（x）≤1，F(xiàn)（x）是單調(diào)遞增函數(shù)

F（∞）=?，F(xiàn)（-∞）=?

②密度函數(shù):f（x）

f（x）≥0，

F（x）=,

F′（x）=f（x）.11③幾何意義f(x)④如果X是連續(xù)的隨機變量

則P(X=a)=0,所以F(x)=P(X<x)=P(X≤x)⑤如何用F(x)計算概率?

P(X≤a)=F(a),P(X>a)=1-F(a),P(a<X<b)=F(b)-F(a)

例如:X~指數(shù)分布(=2),求P(X<5)?

下面哪個是不對的?

P(X=6)=0.8P(X=10)=1.3F(3.2)=1.6f(1.5)=0.8F1(3)=0.5F1(4)=0.4f2(3)=1.6f2(4)=1.0隨機變量的分布12計算概率的幾種方法古典概型頻率的方法用分布函數(shù)求概率（分布函數(shù)是概率?。。?/p>

F(x)=P(X<x)f(x)與F(x)的關(guān)系，f(x)的幾何意義，(連續(xù)情況下)f(x)與直方圖的關(guān)系，

f(x)可以更清楚地刻畫隨機變量的規(guī)律。正態(tài)分布(normaldistribution)又稱Gauss分布，是重要的連續(xù)型概率分布。有廣泛的應(yīng)用：身高、體重、滿意度等一般服從正態(tài)分布。很多統(tǒng)計方法是建立在正態(tài)分布的基礎(chǔ)之上。記作：X～N（μ，σ2）.例如：X～N（5，32）

正態(tài)分布的數(shù)學(xué)形式單峰分布，以均值為中心，左右對稱兩個參數(shù)：均值,σ2

方差，確定了曲線的形狀

正態(tài)隨機變量的概率由正態(tài)曲線下的面積給出。曲線下的總面積為1。由于正態(tài)分布是對稱的，所以均值μ左邊和右邊曲線下面積均是0.5

。正態(tài)分布曲線的特點P（|X-μ|<σ）=0.6826，P（|X-μ|<2σ）=0.9544P（|X-μ|<3σ）=0.9973標準正態(tài)分布當(dāng)均值為0，標準差為1時，稱標準正態(tài)分布記作：X

～N（0，1），一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為標準正態(tài)分布的方法：

若

X

～N（μ，σ2），則

服從

N（0，1）。-1.960.95+1.9600.0250.025標準正態(tài)曲線下的面積分布示意其中的1.96是查表得到的—340頁也可以通過Excel得到18對于某公司的一種新輪胎，經(jīng)理們需要知道輪胎壽命的情況（行駛里程數(shù)的概率）？

有信息顯示，輪胎壽命服從正態(tài)分布，實際路面測試的均值=36500公里，標準差=5000公里。輪胎壽命大于40000公里的概率？可計算出：P(x>40000)=0.242(用Excel)結(jié)論：有24.2%的輪胎行駛里程超過40000公里。例：輪胎壽命-行駛里程的概率4000036500P(x>40000)=?19若購買的輪胎沒有使用到保證的里程數(shù)k（待定）公司將以折扣價格為客戶更換輪胎。公司希望符合折扣條件的輪胎不超過10%，則保證的里程k應(yīng)為多少？即求保證的里程數(shù)k,使P(x<k)=0.10.可求出k=30092.24公里結(jié)論：當(dāng)保證設(shè)定在30092.24公里時(取整數(shù)30000)，符合折扣條件的輪胎不超過10%例：符合折扣條件的輪胎里程保證里程數(shù)=？3650010%20例

為防止因某關(guān)鍵部件失效,造成重大損失,實際中常采用預(yù)防性更換的辦法：確定更換部件時間t0，若部件在t0前失效，則立即更換；若部件在時刻t0未失效，則在t0更換，以保證部件在時刻t0依然正常的概率(即部件的可靠度)

為0.9。

問題：如何確定t0?（隨機變量、分布函數(shù)、概率模型）

解：設(shè)X為部件的壽命，服從正態(tài)分布N(μ,σ2)=N(20,32)

應(yīng)滿足以下條件：

P(X>t0)＝0.9＝1-F(t0),F(t0)＝0.1,查表有t0=16.16預(yù)防性更換---分布函數(shù)的應(yīng)用21例

工人完成某關(guān)鍵工序的時間T(分鐘)～N(20,32)?，F(xiàn)擬獎勵時間用得最少的10％的工人，標準定在什么時間t0以內(nèi)？解：P(T<t0)=0.1=F(t0),查表有t0=16.16正態(tài)分布的應(yīng)用22例

若某公司規(guī)定該產(chǎn)品售出后免費換新率限制在5％以內(nèi)，則保用年限t0定多長？設(shè)X－產(chǎn)品壽命，服從何種分布？

P(X?t0)=0.05,F(t0)=?例

門的高度的確定.例

一項工程項目能否在26天內(nèi)完成？(考慮：隨機變量完工時間服從某種分布).分布函數(shù)的應(yīng)用23指數(shù)分布（ExponentialDistribution）F(x)=1-e-λx,x≥0f(x)=λe-λx,x≥0均值：E（X）=1/λ方差：D（X）=1/λ2背景:電子產(chǎn)品的壽命服務(wù)時間顧客相繼到達的間隔時間一般服從指數(shù)分布連續(xù)型概率分布f(x)x24例

某加油站每周補充一次油?，F(xiàn)在需要確定油庫的最小儲油量x0,以使在一周內(nèi)所有油全部售完的概率小于0.1.

為解此問題,哪些因素需要考慮，如何收集數(shù)據(jù)，需要建立什么概率模型？庫存量的確定-----分布函數(shù)應(yīng)用25(1)設(shè)隨機變量是每周油的需求量X(單位:噸),它是連續(xù)隨機變量.(2)確定分布函數(shù)或分布密度函數(shù).

如果F(x)或f(x)是未知的,則需要收集此加油站的歷史數(shù)據(jù)，每周油的需求量x1

，x2，

……xn,畫直方圖，據(jù)此直方圖可對分布類型作出判斷.

現(xiàn)假設(shè)F（x）或f（x）已知，

F(x)=1-e-0.5x,（其中0.5的含義？）

進行下一步。

庫存量求解26(3)根據(jù)例題1的要求，可得到如下概率模型:

P（X>x0）=1-F(x)=e-0.5x≤0.1,

即x0≥-2ln0.1＝4.6

因此，儲油量最少應(yīng)為4.6噸,它可以保證在一周內(nèi)所有油全部售完的概率小于0.1.庫存量求解27二項分布(BinominalDistribution)設(shè)X—事件A發(fā)生的次數(shù)數(shù)學(xué)期望：E（X）=np方差：D（X）=npq應(yīng)用背景: 在n次獨立重復(fù)的試驗中,求事件A發(fā)生k次的概率？(p為事件A在一次實驗中發(fā)生的概率)這是有放回的實驗!離散型概率分布DiscreteProbabilityDistribution28有100

臺機器獨立工作.每臺機器出故障的概率是0.01.計算概率:(1)如果有兩個人負責(zé)照看這

100臺機器,計算當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率。P(X=0)=0.366,P(X=1)=0.370,P(X=2)=0.185(0.921)(2)如果1個人負責(zé)照看50臺機器,情況如何？(0.911)(3)問至少配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時維修的概率小于0.02。用二項分布計算概率的例子29泊松分布（PoissonDistribution）

設(shè)X—事件A發(fā)生的次數(shù)

k=0，1，…..n,……

數(shù)學(xué)期望和方差:E（X）=D（X）=λ應(yīng)用背景：在單位時間內(nèi)或單位空間上事件A發(fā)生k次的概率

例如：在單位時間內(nèi)電話總機接到的呼叫次數(shù)在單位面積上疵點的個數(shù)一般服從Poisson分布可以使用EXCEL求分布函數(shù)值。DiscreteProbabilityDistribution30Example(2):Inrushhour,therewilloccur2accidentsperhouronaverageinonecity.Therushhourinthemorningwilllastoneandahalfhours,intheevening,itwilllasttwohours.

TheApplicationofdistributionfunction31計算下面的概率:a.Thereisnoaccidentintherushhourinthemorning.b.Therearefourormoreaccidentsintherushhourintheevening.c.Thereisnoaccidentintherushhourinbothmorningandevening.

TheApplicationofdistributionfunction32例如

“概率襯衫”：傳統(tǒng)方式購買襯衫，都是顧客自己選顏色、選樣式，然后按價付款。假設(shè)現(xiàn)在網(wǎng)上商城給你這樣一個選擇：若不挑襯衫顏色，可以享受折扣價，如果挑顏色要付全款，這就是一個概率產(chǎn)品--“概率襯衫”。概率產(chǎn)品不是一個實質(zhì)的產(chǎn)品，它是一個虛擬的產(chǎn)品，或者說是一個機會。對于概率產(chǎn)品，消費者實際是買了一個得到這些產(chǎn)品中之一的機會。現(xiàn)實中企業(yè)一般不會僅提供一種產(chǎn)品，不管是賣產(chǎn)品還是賣服務(wù)，總會給消費者多種選擇，這些選擇組合起來就形成概率產(chǎn)品。補充：概率產(chǎn)品33不透明機票:消費者可以享受打折，但是要在成交后才能知道機票的細節(jié)(哪個航空公司，幾點鐘起飛，有可能早上5點起飛，中間停3小時，10點才能到。有可能9點起飛、10點就到了)。不透明機票一般很便宜，但事先會有很多不確定性因素：

出發(fā)或返回時間不確定；航空公司不確定；航線不確定(是否中間停？)

目的地不確定(北京出發(fā)，有5個地點可以去，票價便宜。消費者否定一個地點，票價提高一級，否定的地點越多票價越高。如果只剩一個目的地了，票價就沒有折扣了）。

實際上，根據(jù)消費者的不同選擇，正是進行市場細分的過程，市場細分的新模式。這在過去是根本做不到的。概率產(chǎn)品34

還有由消費者出價的不透明機票：

根據(jù)消費者的出價，網(wǎng)上中介到航空公司詢價，看哪家航空公司愿意接受這個價格，如果可以接受，再告知消費者是哪家航空公司，哪個航班。概率產(chǎn)品35傳統(tǒng)零售商面臨難題：需求不確定。無法準確估計所賣商品哪個款式、哪個顏色賣得好，但要提前訂貨。不論市場調(diào)查做得多好，多有經(jīng)驗，仍有可能會出現(xiàn)供求不平衡。脫銷—失去了潛在的消費者；滯銷—增加了庫存成本，而且要降價銷售，同樣造成損失.服務(wù)提供商也同樣，好多時候資源的時間性非常強，飛機起飛之后，座位價值就浪費了;旅館客房當(dāng)天沒訂出去，價值也是浪費了;劇場座位，有時候買不到票，有時候空很多.難在哪呢？難在很難做到準確預(yù)測.概率產(chǎn)品—盈利新模式36概率銷售可以幫助我們調(diào)整這種供求關(guān)系概率銷售思想主要考慮了消費者在產(chǎn)品偏好強度上的差異,能夠達到擴大市場、細分市場、差異化定價、弱化市場不確定的影響，平衡供求，增加資源的利用效率。概率產(chǎn)品就像一只看不見的手把弱偏好的消費者吸引走，他覺得價格便宜，讓他把強偏好的流行色產(chǎn)品留給強偏好的消費者。這里不要求零售商知道哪個顏色流行、哪個不流行；也不用知道哪些消費者是強偏好、哪些是弱偏好，只要提供概率產(chǎn)