飛行管理與交調(diào)的頻率設計

1.飛行管理問題

在約1萬米高空的某邊長為160公里的正方形區(qū)域內(nèi),經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行,區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度向量均由計算機記錄其數(shù)據(jù),以便進行飛行管理。當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣時,記錄其數(shù)據(jù)后,要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞,如果會碰撞,則應計算如何調(diào)整每架(包括新進入的)飛機飛行的方向角,以避免碰撞?，F(xiàn)假定條件如下:(1)不碰撞的標準為任意兩架飛機的距離大于8公里;(2)飛機飛行方向角調(diào)整的幅度不應超過30度;(3)所有飛機飛行速度均為每小時800公里;(4)進入該區(qū)域的飛機在到達區(qū)域邊緣時與區(qū)域內(nèi)飛機的距離應在60公里以上;(5)最多需考慮6架飛機;(6)不必考慮飛機離開此區(qū)域后的狀況。請你對這個避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù)學模型,列出計算步驟,要求飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小。并對以下數(shù)據(jù)進行計算(方向角誤差不超過0.01度).飛機編號橫坐標X縱坐標Y方向角(度)1150140243285852363150155220.54145501595130150230新進入00521.問題分析目的：不碰撞。手段：調(diào)整飛行方向角。要求：調(diào)整的幅度盡量小。求解思路：(1)找出不碰撞的條件。(2)求調(diào)整幅度的極小值。

建立優(yōu)化模型。題目的條件(1)飛機在正方形區(qū)域內(nèi)水平飛行。(2)飛機不碰撞的標準為二者距離大于8公里。根據(jù)(1)可將飛機飛行的空域視為二維平面xoy中的一個正方形區(qū)域,頂點為(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。根據(jù)(2)可將每架飛機視為一個以飛機坐標點為圓心、以4公里為半徑的圓狀物體。每架飛機在空域中的狀態(tài)由圓心的位置矢量和飛行速度矢量確定。這樣兩架飛機是否碰撞就化為兩圓在運行過程中是否相交的問題。兩圓是否相交只要討論它們的相對運動即可。2.模型假設(1)飛機進入?yún)^(qū)域邊緣時,立即作出計算,每架飛機按照計算后的指示立即作方向角改變;(2)每架飛機在整個過程中至多改變一次方向;(3)忽略飛機轉(zhuǎn)向的影響(轉(zhuǎn)彎半徑和轉(zhuǎn)彎時間的影響);(4)新飛機進入空域時,已在空域內(nèi)部飛行的飛機的飛行方向已調(diào)合適,不會碰撞;(5)對每架飛機方向角的相同調(diào)整量的滿意程度是一樣的。3.模型的建立(1)圓狀模型由前面的分析將飛機作為圓狀模型進行研究。兩圓不相交,則表明不會發(fā)生碰撞事故;若兩圓相交,則表明會發(fā)生碰撞事故。為了研究兩飛機相撞問題,采用相對速度作為研究對象,因為飛機是否相撞的關鍵是相對速度。下圖給出任意兩架飛機間的關系。圖中符號含義如下:

i,j—第i、第j架飛機的圓心;aij

—第i架飛機與第j架飛機的碰撞角,是兩圓的切線交角中指向圓的那個角的一半;vij—第i架飛機相對于第j架飛機的相對飛行速度;lij—第i架飛機與第j架飛機的圓心距;ij—第i架飛機對于第j架飛機的相對速度與兩架飛機圓心連線的交角。規(guī)定以第i架飛機為原點,i→j連線從i指向j為正方向,逆時針旋轉(zhuǎn)為正角,順時針旋轉(zhuǎn)為負角;AB、CD為兩圓的公切線,mi//AB,nj//CD

另外再引入記號:i—第i架飛機的飛行方向與直角坐標xoy中x軸正向的夾角(轉(zhuǎn)角);xi—第i架飛機在坐標xoy中的位置矢量;vi—第i架飛機的飛行速度矢量。

由圖得到兩飛機不相撞(兩圓不相交)的充要條件是|ij|>aij.當|ij|≤aij時,則通過調(diào)整兩飛機的方向角i與i,使飛機不相撞。

(2)決策目標題目要求飛機飛行方向角調(diào)整的幅度盡量小,這個盡量小是針對每架飛機而言,同時也要求整體滿意程度(即對管理層而言,應使每架飛機的調(diào)整都盡量的小).

構造目標函數(shù)時,可以認為若對方向角調(diào)整量最大的飛機而言,其調(diào)整量可滿意,則由假設(5)對其余飛機調(diào)整量均可滿意。即要求每架飛機的調(diào)整量都小于某個數(shù)故可取目標函數(shù)為,求其最小值

min

(3)由圓狀模型導出的方程飛行方向角改變量Δi、Δj相對飛行速度方向角ij的改變量Δij討論Δij

與Δi、Δj的關系。對飛行速度矢量vi

，由題目條件有，|vi｜=|vi｜=800=A(km)飛行方向角為i用復數(shù)表示vi得。記第i,j兩架飛機飛行方向改變前的速度、兩架飛機的相對速度分別為：飛行方向改變后的速度、相對速度分別為：則相對飛行速度方向角的改變量Δij由得出。定理對第i,j架飛機,其相對速度方向的改變量Δij等于兩飛機飛行方向角改變量的平均值。故則調(diào)整方向后兩飛機不相撞的充要條件是：

|ij

+

Δij

|>aij.總結以上結果得如下優(yōu)化模型

minθ(1)

s.t.|ij+

Δij

|>aij.,Δij

=（Δi+Δj）(2)|Δi|≤θ,i=1…6,(3)|Δi|≤30°,i=1…6,(4)0°≤

≤30°(5)(4)線性規(guī)劃模型。將上述優(yōu)化模型進行化簡,可轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型。|ij+

Δij

|>aij可化為：ij+

Δij

>aij

當ij>0ij

+

Δij

<-aij

當ij<0自變量Δi可正可負，引入新的變量

Δi10,

Δi20，使ΔI=Δi1-Δi2則|Δi|≤θ,|Δi|≤30°可化為：Δi1-Δi2≤θΔi1-Δi2≥-θΔi1-Δi2≤30°Δi1-Δi2≥-30°這樣,優(yōu)化模型(1)～(5)就轉(zhuǎn)化為如下線性規(guī)劃模型

minθ(6)s.t.Δi1-Δi2+Δj1-Δj2>2aij-2

ij

當ij>0(7)Δi1-Δi2+Δj1-Δj2<2

ij

-2

aij

當ij<0(8)Δi1-Δi2≤θi=1…6,(9)Δi1-Δi2≥-θi=1…6,(10)Δi1-Δi2≤30°i=1…6,(11)Δi1-Δi2≥-30°i=1…6,(12)

≤30°(13)Δi1≥

0°,Δi2≥

0°

,θ≥

0°i=1…6,(14)其中,可由題中已知的參數(shù)計算得到4.模型求解

(1)記錄各飛機狀態(tài)(位置矢量、速度矢量);(2)計算任兩架飛機間的參數(shù),;(3)利用計算線性規(guī)劃的軟件求解(6)～(14)。

如Mathematica、Matlab、LINDO5結果檢驗對題目所給實例進行計算得如下調(diào)整方案Δ1=0，Δ2=0，Δ3=1.814732Δ4=

-743155Δ5=

0,Δ6=1.814732

各飛行方向角按此方案調(diào)整后,系統(tǒng)各架飛機均滿足|ij|>aij(即不會相撞)。其中有些飛機對有|ij|-aij

<0.01,(0.01是計算精度)。如果希望|ij|>aij

＋0.01,只須將模型中的ai用ai＋0.01°代替即可。將調(diào)整后各量再代入模型進行計算得minθ=0即此時無需再調(diào)整。經(jīng)模擬程序運行可觀察動態(tài)結果是正確的。6.模型評價與推廣

此模型采用圓狀模型分析碰撞問題是合理的,同時采用相對速度作為判斷標準,即體現(xiàn)了碰撞的本質(zhì)(相對運動),又簡化了模型的計算。建模中用了適當?shù)暮喕?將一個復雜的非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題。既求到合理的解,又提高了運算速度。這對于解決高速運行的飛機碰撞問題是十分重要的。此模型對題目所提供的例子計算得出的結果是令人滿意的。簡化模型中忽略了ij=0(即兩架飛機迎面飛行)的情況。ij=0時,可使用約束條件(7)式或(8)式求出最優(yōu)解。比較此兩組解可得最優(yōu)解。(4)模型中的約束條件數(shù)為+4n=n(n+7)/2(n是飛機數(shù)),n增大時,約束條件數(shù)是n的二次函數(shù),計算量增加不大。數(shù)學建模的一些方法1提問題法1）這個問題與什么問題相類似？2）改變問題的某些條件會怎樣？3）將問題分解成若干部分再考慮會怎樣？4）重新組合又會怎樣？5）我們還可以做些什么工作？6)還有沒有需要進一步完善的內(nèi)容？7）可否換一種數(shù)學工具來解決問題？抓住問題的關鍵詞，然后不受約束的浮想聯(lián)翩；把聯(lián)想到的內(nèi)容記在卡片上。通過對卡片上的內(nèi)容琢磨，激發(fā)產(chǎn)生新的主意。通過對這些卡片的整理，形成解決問題的初步思路。2關鍵詞聯(lián)想法3整體把握問題法將問題分為“三要素”，既初態(tài)、目標態(tài)和過程。初態(tài)：察覺到的現(xiàn)在狀態(tài)?！坝惺裁础保喝缫阎臈l件、數(shù)據(jù)等。目標態(tài)：察覺到的希望目標。希望什么、避免什么。過程：在初態(tài)和目標態(tài)之間發(fā)生作用的行動?！白鍪裁础?/p>

形成研究對象的一個整體結構。

1.問題

1.1背景在通信工程中，信號的可靠性是至關重要的，在信號的傳輸過程中，往往遇到噪聲干擾，干擾可能來自系統(tǒng)的外部，也可能有系統(tǒng)本身的非線性輸出過程產(chǎn)生。例如有一非線性系統(tǒng)：其輸入與輸出的關系是(其中t是時間)，那么當輸入是包含頻率的信號時，輸出y(t)中不僅包含輸入信號而且還會出現(xiàn)

等新的頻率成分,這些新的頻率稱為交調(diào),如果交調(diào)的頻率出現(xiàn)在原有頻率

的附近，就會產(chǎn)生干擾。2.非線性交調(diào)的頻率設計1.2具體問題現(xiàn)有一SCS(非線性)系統(tǒng),其輸入輸出關系由如下一組數(shù)據(jù)給出：其中A1=25，A2=10，A3=45式輸入信號的振幅，對輸入信號頻率的設計要求為：(1)(2)輸出中的交調(diào)均不得出現(xiàn)在的范圍內(nèi)(i=1,2,3),

此范圍稱為的接受帶（如下圖）輸入信號為:輸入u0510203040506080輸出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50(4)不得出現(xiàn)在的接收帶內(nèi)（

i,j=1，2，3，i≠j)(5)為簡單起見，只取整數(shù)值，且交調(diào)只考慮2階類型（即{}，i,j=1，2，3）和3階類型（即

{}，i，j，k=1，2，3）。(3)定義輸出的信噪比（單位:dB），其中Bi是輸出中對應于頻率為的信號的振幅，Cn是某一頻率為的交調(diào)的振幅。若出現(xiàn)在處（i=1,2,3）,則對應的SNR應大于10分貝。

3.1.問題分析交調(diào)什么是交調(diào)?交調(diào)是如何產(chǎn)生的?輸入輸出關系交調(diào)的階?選擇頻率確定信噪比避免交調(diào)的影響交調(diào)及其階uk(t)可能產(chǎn)生≤k階類型的交調(diào);1).不考慮系統(tǒng)外部的干擾。2).擬合出的輸入輸出關系，對輸入信號自變量u(t)為負的部分也是成立的。注:

假設是論文研究中要用到的,不要硬湊。

不要寫題目明確給出的條件。

假設個數(shù)不要太多。

在研究過程中對假設進行修改。2.模型假設3.模型建立與求解確定輸入輸出關系配置頻率確定信噪比數(shù)據(jù)擬合理論分析、計算機計算系數(shù)的確定+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)i數(shù)據(jù)擬合的一般提法為:

已知某函數(shù)y=f(x)的一組測量數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…n),要尋求一個函數(shù)g(x),使g(x)與上述測量數(shù)據(jù)在某種準則下最為接近。即g(xi)≈yi,則可以用g(x)近似代替f(x)。1線性最小二乘擬合

問題歸結為，求

a1,a2,…am

使

s

最小。

因為a1,a2,…am都以線性形式出現(xiàn),故稱此方法為線性最小二乘擬合。權系數(shù)wi根據(jù)需要可靈活選擇。

上方程稱為正規(guī)方程組.

對于給定的測量數(shù)據(jù),只要函數(shù)系選得合適,就可以從正規(guī)方程組中解出a1,a2,…am.2.多項式插值擬合：3.樣條函數(shù)擬合(略)g(x)=a1g1(x)+…+amgm(x)中函數(shù){g1(x),…gm(x)}的選取

1.通過機理分析建立數(shù)學模型來確定g(x)；++++++++++++++++++++++++++++++g=a1+a2xg=a1+a2x+a3x2g=a1+a2x+a3x2g=a1+a2/xg=aebxg=ae-bx

2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n作圖，通過直觀判斷確定g(x)：

3.取g(x)為x的多項式函數(shù)

(1).輸入輸出關系的確立

根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)條件,首先要確定輸入輸出的函數(shù)關系.這是一個數(shù)據(jù)擬合問題。由于交調(diào)是因為輸入u(t)的乘方產(chǎn)生的.故此處用多項式擬合輸入輸出關系是恰當?shù)摹］斎雞0510203040506080輸出y02.256.8020.1535.7056.4075.1087.8598.50用什么函數(shù)擬合？

那么,我們試用不同次數(shù)的多項式進行擬合來比較,結果發(fā)現(xiàn):

用≥4次的多項式進行擬合時,擬合出的多項式,其次數(shù)≥4的項的系數(shù)非常小(≤10－５),以致不會對結果產(chǎn)生影響。故用三次多項式進行擬合已達到精度了。

uk(t)可能產(chǎn)生≤k階類型的交調(diào);

題目要求考慮二階和三階類型的交調(diào);

故最高次數(shù)必定≥3。擬合多項式的最高次數(shù)是多少?注:

擬合函數(shù)一般只對內(nèi)插有效,外推一般不可靠。設擬合多項式為:在所給的數(shù)據(jù)中有u=0時,y=0.故選取a0=0較好。于是擬合多項式化為:(3.1)(3.2)用線性最小二乘擬合，對y(t)進行三元回歸確定系數(shù)。記(3.3)則(3.2)式變?yōu)榱钋笫筍為最小。由，得正規(guī)方程組:解得：高階誤差為2.6716e-007，故三階擬合是比較精確的。得輸入輸出關系式為：擬合曲線如圖：(3.4)也可以用Mathematica求出擬合函數(shù)：

函數(shù)形式功能.

Fit[date，funs，vars]用變量為vars,函數(shù)類為funs,按最小二乘法擬合一組數(shù)據(jù)date程序：date={{0,0},{5,2.25},{10,6.80},{20,20.15},{30,35.70},{40,56.40},{50,75.10},{60,87.85},{80,98.50}}Fit[date,{u,u^2,u^3},u]結果：0.244091

u+0.0453829u^2-0.000413273u^3假設：輸入輸出關系(3.4)對u(t)為負的部分也是成立。(2)頻率約束條件下的初步配置將輸入代入(3.4)式，經(jīng)整理得到輸出y(t)的頻率成分有以下幾種:(3.5)輸入由約束條件（1），（2）,（4）得如下不等式組：(3.6)直接用計算機求解滿足上述條件的頻率組，計算量較大。先化簡。因為：故約束條件只剩下3階交調(diào)一部分：(3.7)用計算機求解滿足（3.7）的頻率組。具體作法是:

采用窮舉法,逐一選出滿足（3.7）式的頻率組(在計算過程中,不妨設f1<f2<f3)。）求得滿足頻率約束(3.7),即滿足條件(1),(2),(4)的6組解為：(3)信噪比條件下的進一步配置

僅y3包含有影響的交調(diào)。

y3較復雜,要方便的求出各種頻率的系數(shù),比較好的辦法是采用Fourier級數(shù)展開。將(3.5)式代入(3.4)得:信噪比SNR的約束:

當交調(diào)出現(xiàn)在fi±６時,要求SNR>10(ｄB)。因此,需從上述6組解中,進一步求出滿足SNR要求的解。將y3表為復數(shù)形式y(tǒng)3為周期函數(shù)，可將其展為Fourier級數(shù)：于是y3中對應于單頻率成份θi的系數(shù)是歸納為一般形式：

y3中對應于單頻率成份θi的系數(shù)Cn1,n2,n3滿足

n1+n2+n3

＝±1,且|n1|+|n2|+|n3|＝1類似地得,y3中對應于頻率成份2θi-θj,θi+θj-θk的系數(shù)Cn1,n2,n3滿足

n1+n2+n3＝±1,且|n1|+|n2|+|n3|＝3.故y3中對應于θ1的系數(shù)是：得對應于頻率f1的振幅為:計算信噪比中所需頻率的振幅。得對應于頻率2f1-f2的振幅為:類似得對應于頻率f1+f2-f3的振幅為:歸納得y(t)中有關頻率的振幅為:1o對應于頻率fi的振幅Bi(i=1,2,3)為2o對應于頻率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.j≠i)為3o對應于頻率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.i≠j≠k)的振幅為：將上述各種頻率的振幅用于(2)中求出的滿足頻率約束條件的6組配置,分別計算出有關的信噪比SNR,檢驗是否SNR>10(dB).最終求出滿足條件的解有二組:(36,42,55),(35,49,55)4.穩(wěn)定性分析(1)解關于擬合多項式系數(shù)的穩(wěn)定性由前可以看出，擬和多項式的系數(shù)不會影響交調(diào)頻率的改變，但各種頻率的振幅將隨擬和多項式的系數(shù)發(fā)生變化。故須討論擬合多項式系數(shù)變化時對信噪比的影響，即當擬和多項式的系數(shù)在什么范圍變化時，設計頻率的解具有不變性(原解仍為解,非解仍為非解)。設另一個擬和多項式為：類似得中有關頻率的振幅為:1o對應于頻率fi的振幅Bi(i=1,2,3)為2o對應于頻率2fi-fj的振幅(i=1,2,3.j≠i)為3o對應于頻率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,3.i≠j≠k)的振幅為：計算有關的信噪比,并使1,2組頻率仍為解,3～6組頻率仍為非解。即可得的變化范圍,在此范圍內(nèi)解是穩(wěn)定的。(2)高階擬合多項式(≥4階)對解的影響前面在擬合輸出函數(shù)時,采用的是三階多項式.實際上大于等于4