第三章第六節(jié)邊際與彈性

第六節(jié)邊際與彈性案例研究案例1哪家公司更精明：從杭州開往南京的長(zhǎng)途車即將出發(fā).無論哪個(gè)公司的車，票價(jià)均為75元.1個(gè)匆匆趕來的乘客見一家國(guó)營(yíng)公司的車上尚有空位，要求以50元上車，被拒絕了.他又找到一家也有空位的私人公司的車，售票員二話沒說，收了50元允許他上車了.哪家公司的行為更理性呢？分析邊際分析法.“邊際”——“增加的”“邊際量”——“增量”自變量的增量為1單位時(shí)，因變量的增量就是邊際量.例：生產(chǎn)要素(自變量)增加一單位，產(chǎn)量(因變量)的增量為2個(gè)單位，這因變量改變的2個(gè)單位就是邊際產(chǎn)量.邊際分析法就是分析自變量變動(dòng)1單位時(shí)，因變量會(huì)變動(dòng)多少的方法.在本案例中，當(dāng)我們考慮是否讓這名乘客以50元的票價(jià)上車時(shí)，實(shí)際上我們應(yīng)該考慮的是邊際成本和邊際收益這兩個(gè)概念.邊際成本是增加1名乘客(自變量)所增加的成本(因變量).在我們這個(gè)例子中，增加這1名乘客，所需磨損的汽車、汽油費(fèi)、工作人員工資和過路費(fèi)等都無需增加，對(duì)汽車來說多拉1個(gè)人少拉1個(gè)人都一樣，所增加的成本僅僅是發(fā)給這個(gè)乘客的食物和飲料，假設(shè)這些東西值10元，邊際成本也就是10元.邊際收益是增加1名乘客(自變量)所增加的收益(因變量).在這個(gè)例子中，增加這一名乘客增加收益50元，邊際收益就是50元.因?yàn)檫呺H收益大于邊際成本，所以讓這名乘客上車是合適的.案例2哪種產(chǎn)品對(duì)價(jià)格更有彈性：在日常生活中，我們發(fā)現(xiàn)生活必需品和奢侈品對(duì)價(jià)格變化的靈敏度是不同的.生活必需品因?yàn)槭侨粘Ｋ璧?，即使價(jià)格上升需求量也不會(huì)減少多少.例如，你一頓吃1個(gè)饅頭，過去2角錢你吃1個(gè)，后來3角錢你吃1個(gè)，現(xiàn)在4角錢你還是吃1個(gè)；相反，如果饅頭從4角下降到2角，你也不會(huì)一頓從吃1個(gè)增加到吃兩個(gè).看病也一樣，當(dāng)看病的醫(yī)療、檢測(cè)、藥品等價(jià)格上升時(shí)，盡管人們會(huì)比平時(shí)減少一些看病，但不會(huì)大幅度地減少看病的次數(shù).但水果則不同，不是必需品，便宜的時(shí)候可以多吃，隨著季節(jié)的變化，價(jià)格上升了也可以適當(dāng)少吃一點(diǎn)，因此水果是對(duì)價(jià)格的變化比較敏感的東西.商品對(duì)價(jià)格的靈敏度叫做該商品的彈性.因此，水果比饅頭對(duì)價(jià)格更有彈性.抽象歸納邊際分析問：怎樣用數(shù)學(xué)方法來描述邊際呢？分析

設(shè)函數(shù)

可導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有因此，當(dāng)

很小時(shí)，有

于是特別地，當(dāng)

時(shí)，有

這就是說，當(dāng)自變量增加1單位時(shí)，函數(shù)的增量近似地等于其導(dǎo)數(shù)值.定義

我們把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

稱為邊際

函數(shù).例

函數(shù)

在點(diǎn)

處的邊際函數(shù)值為它表示當(dāng)

時(shí)，

x改變1個(gè)單位，y改變12個(gè)單位．

1．邊際成本總成本函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時(shí)的邊際成本．

邊際成本

表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)1個(gè)單

位產(chǎn)品時(shí)總成本將改變

個(gè)單位．

2．邊際需求需求函數(shù)

（p為價(jià)格）的導(dǎo)數(shù)

稱

為價(jià)格為p單位時(shí)的邊際需求．邊際需求

表示當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，價(jià)格再上漲1

個(gè)單位,需求量將改變

個(gè)單位．

3．邊際收益總收益函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時(shí)的邊際收益．邊際收益

表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)1個(gè)單

位產(chǎn)品，總收益將改變

個(gè)單位．

4．邊際利潤(rùn)總利潤(rùn)函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱

為產(chǎn)量為x單位時(shí)的邊際利潤(rùn)．邊際利潤(rùn)

表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)1個(gè)單位

產(chǎn)品，總利潤(rùn)將改變

單位．

例1

某公司某產(chǎn)品的總利潤(rùn)Ｌ（元）與日產(chǎn)量x(噸)

的關(guān)系為

試求日產(chǎn)量分別為20噸、

25噸及30噸時(shí)的邊際利潤(rùn)．解

因?yàn)?/p>

所以，所求邊際利潤(rùn)為分別為

（元／噸），（元／噸），（元／噸）.例2

設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本為總收益為

試求：

（1）邊際成本、邊際收益和邊際利潤(rùn).（2）當(dāng)產(chǎn)量為600及700個(gè)單位時(shí)的邊際利潤(rùn),并

說明其經(jīng)濟(jì)意義.

（3）當(dāng)邊際成本與邊際收益具有何種關(guān)系時(shí)，利潤(rùn)

最大？

解

（1）（2）

思考：它們的經(jīng)濟(jì)意義是什么？（3）令

這時(shí)，有即當(dāng)邊際成本等于邊際收益時(shí)利潤(rùn)最大.問：本例說明了什么問題？結(jié)論

當(dāng)邊際收益大于邊際成本時(shí)，應(yīng)該

增加

行動(dòng)；

當(dāng)邊際收益小于邊際成本時(shí)，應(yīng)該

減少

行動(dòng)；當(dāng)邊際成

本

等于

邊際收益時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大.即

最大化原則.函數(shù)的彈性問：怎樣用數(shù)學(xué)方法來描述彈性呢？分析

絕對(duì)變化率

問：用絕對(duì)變化率能否描述商品對(duì)價(jià)格的靈敏度的？例

商品A的單價(jià)為10元，漲價(jià)1元；商品B的

單價(jià)為1000元，也漲價(jià)1元.雖然兩種商品的單價(jià)的絕對(duì)改變量相同，但是兩種商品漲價(jià)的百分比相差很大.商品A為

商品B為

A是B的100倍.因此，彈性必須用相對(duì)變化率來描述.定義

設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)

在點(diǎn)x處的

增量為

自變量的增量為

則比

值

分別稱為在點(diǎn)x處函數(shù)y的相對(duì)改變量及自變量x的相對(duì)改變量.兩個(gè)相對(duì)改變量之

比的極限表示在點(diǎn)x處函數(shù)y的相對(duì)變化率，稱為函數(shù)

在點(diǎn)x處的彈性，記作

即

彈性可解釋為：當(dāng)自變量變化1%時(shí)，函數(shù)變化的百

分?jǐn)?shù)為注意

彈性研究的是相對(duì)變化率．因此，彈性沒有單位．例3

求函數(shù)的彈性及解因?yàn)樗?．成本彈性思考設(shè)總成本函數(shù)為（x為產(chǎn)量），則成本彈性為它表示在產(chǎn)量為x的水平上，當(dāng)產(chǎn)量增加1%時(shí)，總成本Ｃ變化的百分?jǐn)?shù)．2．需求彈性設(shè)需求函數(shù)為（p為價(jià)格），則需求彈性為它表示在價(jià)格為p的水平上，當(dāng)價(jià)格改變1%時(shí)，需求量Ｑ變化的百分?jǐn)?shù)．⑵=1，則稱該商品的需求具有單位彈性，⑶＜1，則稱該商品的需求缺乏彈性.⑴＞1，則稱該商品的需求富有彈性，若函數(shù)為需求函數(shù)，則需求彈性為若商品的需求彈性滿足：3．收益彈性思考設(shè)總收益函數(shù)為（x為產(chǎn)量），則收益彈性為它表示在產(chǎn)量為x的水平上，當(dāng)產(chǎn)量增加1%時(shí)，總收益R變化的百分?jǐn)?shù)．例4某商品的需求函數(shù)為求⑴需求價(jià)格彈性函數(shù)，⑵當(dāng)=5時(shí)的需求價(jià)格彈性并說明其經(jīng)濟(jì)意義，⑶當(dāng)=10時(shí)的需求價(jià)格彈性并說明其經(jīng)濟(jì)意義，⑷當(dāng)=15時(shí)的需求價(jià)格彈性并說明其經(jīng)濟(jì)意義.解

⑴按彈性定義：由于＜1，所以當(dāng)時(shí)，該商品的需求缺乏彈性，此時(shí)價(jià)格上漲1%，需求量下降%.

⑶由于所以當(dāng)該商品具有單位彈性，此時(shí)價(jià)格上漲1%，將引起需求量下降1%.

⑷

由于所以當(dāng)