第七章梁的彎曲變形

梁的彎曲變形

第七章目錄1第七章彎曲變形§7-1梁的撓度及截面的轉(zhuǎn)角§7-2梁的撓曲線近似微分方程§7-3用積分法求梁的變形§7-5用疊加法求梁的變形§7-8用變形比較法解簡單超靜定梁§7-7梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施目錄目錄2§7-1

梁的撓度及截面的轉(zhuǎn)角6-1目錄3目錄4目錄5§7-2

梁的撓曲線近似微分方程1.基本概念撓曲線方程：由于小變形，截面形心在x方向的位移忽略不計撓度轉(zhuǎn)角關(guān)系為：撓曲線撓度轉(zhuǎn)角撓度w：截面形心在y方向的位移向上為正逆鐘向為正6-2目錄轉(zhuǎn)角：截面繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度。62.撓曲線的近似微分方程推導彎曲正應力時，得到：忽略剪力對變形的影響目錄7由數(shù)學知識可知：略去高階小量，得所以目錄8由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號一致，所以撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。目錄9撓曲線的近似微分方程為：積分一次得轉(zhuǎn)角方程為：再積分一次得撓度方程為：6-3目錄§7-3用積分法求梁的變形10積分常數(shù)C、D

由梁的位移邊界條件和光滑連續(xù)條件確定。位移邊界條件光滑連續(xù)條件－彈簧變形目錄11例1求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知。解1）由梁的整體平衡分析可得：2）寫出x截面的彎矩方程3）列撓曲線近似微分方程并積分積分一次再積分一次ABF目錄用積分法求彎曲變形124）由位移邊界條件確定積分常數(shù)代入求解5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程6）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度ABF目錄13例2求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求最大轉(zhuǎn)角和最大撓度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：目錄143）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：目錄154）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件目錄165）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：目錄176）確定最大轉(zhuǎn)角和最大撓度令得令得目錄18討論積分法求變形有什么優(yōu)缺點？目錄19§7-5

用疊加法求梁的變形設梁上有n個載荷同時作用，任意截面上的彎矩為M(x)，轉(zhuǎn)角為，撓度為w，則有：若梁上只有第i個載荷單獨作用，截面上彎矩為，轉(zhuǎn)角為，撓度為，則有：由彎矩的疊加原理知：所以6-4目錄20故由于梁的邊界條件不變，因此重要結(jié)論：梁在若干個載荷共同作用時的撓度或轉(zhuǎn)角，等于在各個載荷單獨作用時的撓度或轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。這就是計算彎曲變形的疊加原理。目錄21例3已知簡支梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC

；B截面的轉(zhuǎn)角B。1）將梁上的載荷分解wC1wC2wC32）查表得3種情形下C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角。解目錄用疊加法求彎曲變形22wC1wC2wC33）應用疊加法，將簡單載荷作用時的結(jié)果求和

目錄23例4已知：懸臂梁受力如圖示，q、l、EI均為已知。求C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C1）首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形為了利用梁全長承受均布載荷的已知結(jié)果，先將均布載荷延長至梁的全長，為了不改變原來載荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。解目錄243）將結(jié)果疊加

2）再將處理后的梁分解為簡單載荷作用的情形，計算各自C截面的撓度和轉(zhuǎn)角。

目錄25討論疊加法求變形有什么優(yōu)缺點？目錄26§7-7梁的剛度校核提高梁彎曲剛度的措施1.梁的剛度校核

建筑鋼梁的許可撓度：機械傳動軸的許可轉(zhuǎn)角：精密機床的許可轉(zhuǎn)角：6-6目錄27根據(jù)要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。

B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B

處的轉(zhuǎn)角為：

解目錄例7已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角θ=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。28例7已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉(zhuǎn)角θ=0.5°。根據(jù)剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：目錄292.提高梁彎曲剛度的措施1）選擇合理的截面形狀目錄302）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改變支座形式目錄312）改善結(jié)構(gòu)形式，減少彎矩數(shù)值改變載荷類型目錄323）采用超靜定結(jié)構(gòu)目錄33§7-8用變形比較法解簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：支反力數(shù)目大于有效平衡方程數(shù)目的梁多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數(shù)：多余約束或多余支反力的數(shù)目。2.求解方法：解除多余約束，建立相當系統(tǒng)—比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件—由物理關(guān)系建立補充方程—聯(lián)立靜力平衡方程求解。相當系統(tǒng)：用多余約束力代替多余約束的靜定系統(tǒng)6-5目錄34解:例5求梁的支反力，梁的抗彎剛度為EI。1）判定超靜定次數(shù)2）解除多余約束，建立相當系統(tǒng)目錄3）進行變形比較，列出變形協(xié)調(diào)條件354）由物理關(guān)系，列出補充方程所以5）由整體平衡條件求其他約束反力目錄36例6梁AB

和BC

在B處鉸接，A、C

兩端固定，梁的抗彎剛度均為EI，F(xiàn)=40kN，q=20kN/m。畫梁的剪力圖和彎矩圖。從B

處拆開，使超靜定結(jié)構(gòu)變成兩個懸臂梁。變形協(xié)調(diào)方程為：FBMAFAwB1FBMCFCwB2物理關(guān)系解37FBFBMAFAMCFCwB1wB2代入得補充方程：確定A端約束力38FBF′BMAFAMCFCwB1wB2確定C

端約束力39MAFAMCFCA、B

端約束力