平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)

平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)第一頁，共六十八頁，2022年，8月28日第一節(jié)平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測(cè)的概念返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第二頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、最小均方誤差預(yù)測(cè)概念

二、平穩(wěn)ARMA模型最小均方誤預(yù)測(cè)的推導(dǎo)

第二節(jié)最小均方誤預(yù)測(cè)(正交投影預(yù)測(cè))返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第三頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、最小均方誤差預(yù)測(cè)概念（若預(yù)測(cè)函數(shù)是線性的，則稱線性最小均方誤預(yù)測(cè)）返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第四頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、平穩(wěn)ARMA模型最小均方誤預(yù)測(cè)的推導(dǎo)返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第五頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于預(yù)測(cè)只能建立在到t時(shí)刻為止的可用信息的基礎(chǔ)上，因此，根據(jù)最小均方誤預(yù)測(cè)的第二個(gè)準(zhǔn)則，以及平穩(wěn)可逆序列可以表示成傳遞函數(shù)形式的論斷，可以將預(yù)測(cè)值表示成能夠估計(jì)的項(xiàng)at，at-1，……，的加權(quán)和的形式：第六頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上得以t為原點(diǎn)，向前l(fā)步的預(yù)測(cè)誤差為：由于at是白噪聲，故有：第七頁，共六十八頁，2022年，8月28日因此可得xt+l的最小均方誤預(yù)測(cè)為：預(yù)測(cè)誤差為：誤差方差為：第八頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上推導(dǎo)可知，（1）最小均方誤預(yù)測(cè)誤差的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng)l有關(guān)，而和預(yù)測(cè)的時(shí)間原點(diǎn)無關(guān)。（2）預(yù)測(cè)步長(zhǎng)l越大，預(yù)測(cè)誤差的方差也越大，即預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性越差。第九頁，共六十八頁，2022年，8月28日上述最小均方誤預(yù)測(cè)公式中包含有無窮項(xiàng)求和，而在實(shí)際中我們只可能有有限的數(shù)據(jù)，因此，只能用充分多項(xiàng)的有窮和近似，即：第十頁，共六十八頁，2022年，8月28日第三節(jié)條件期望預(yù)測(cè)一、條件期望預(yù)測(cè)的一般公式二、用條件期望進(jìn)行預(yù)測(cè)三、ARMA(p,q)模型條件期望預(yù)測(cè)的一般結(jié)果四、ARMA(p,q)條件期望預(yù)測(cè)的置信區(qū)間返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、條件期望預(yù)測(cè)的一般公式用公式表示如下：返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日有關(guān)xt和at的條件期望有如下性質(zhì)：第十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日由于：利用條件期望的性質(zhì)，對(duì)上式兩端求條件期望，得xt+l的條件期望預(yù)測(cè)為：可見，xt+l的條件期望預(yù)測(cè)和它的最小均方誤預(yù)測(cè)是一致的。第十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、用條件期望進(jìn)行預(yù)測(cè)1.AR(1)模型的條件期望預(yù)測(cè)(參見P130)設(shè)xt適合如下AR(1)模型:(1)以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)公式(l=1)返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預(yù)測(cè)公式(l=2)(3)向前l(fā)步預(yù)測(cè)公式(l≥2)第十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上推導(dǎo)可見，對(duì)于l>0，條件期望預(yù)測(cè)值滿足如下差分方程：第十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、AR(2)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)xt適合如下AR(2)模型:(1)以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)公式(l=1)第十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預(yù)測(cè)公式(l=2)(3)向前l(fā)步預(yù)測(cè)公式(l≥3)第十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日可見，當(dāng)l>1時(shí)，AR(2)預(yù)測(cè)值可由如下差分方程求出：(預(yù)測(cè)值的一般解略)第二十頁，共六十八頁，2022年，8月28日3、ARMA(1,1)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)(1)向前一步預(yù)測(cè)(l=1)第二十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預(yù)測(cè)(l=2)(3)向前l(fā)步預(yù)測(cè)公式(l≥2)第二十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日可見，當(dāng)l>1時(shí)，ARMA(1,1)預(yù)測(cè)值也是由如下差分方程決定的。解得：由于：所以：因此：第二十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日4、MA(1)模型的條件期望預(yù)測(cè)設(shè)(1)向前一步預(yù)測(cè)(l=1)第二十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預(yù)測(cè)(l=2)(3)向前l(fā)步預(yù)測(cè)公式(l≥2)第二十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日設(shè)：（1）向前一步預(yù)測(cè)(l=1)：對(duì)上式兩端求條件期望得：三、ARMA(p,q)模型條件期望預(yù)測(cè)的一般結(jié)果返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第二十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)向前二步預(yù)測(cè)公式(l=2)(3)向前l(fā)步預(yù)測(cè)公式(l≤p，且l≤q)第二十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日(3)向前l(fā)步預(yù)測(cè)公式(l>p，且l>q)第二十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日由推導(dǎo)可以看出，對(duì)于ARMA(p,q)模型的向前l(fā)步預(yù)測(cè)(l>p，且l>q)，預(yù)測(cè)結(jié)果滿足如下差分方程：（預(yù)測(cè)值解的一般形式參見課本P134）由解的一般形式可以看出，對(duì)于ARMA(p,q)模型，自回歸部分決定了預(yù)測(cè)函數(shù)的形式，而滑動(dòng)平均部分則用于確定預(yù)測(cè)函數(shù)中的系數(shù)。第二十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日預(yù)測(cè)舉例：例1：利用對(duì)zl14所建立的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。先對(duì)原序列零均值化，然后建模如下：已知：第三十頁，共六十八頁，2022年，8月28日解：第三十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日同理：第三十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)值滿由模型自回歸部分決定的差分方程：解此差分方程即可求出預(yù)測(cè)函數(shù)。第三十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日前已證明，條件期望預(yù)測(cè)與最小均方誤預(yù)測(cè)是一致的，因此，預(yù)測(cè)誤差和誤差方差也是相同的。因此，條件期望的預(yù)測(cè)誤差為：四、ARMA(p,q)條件期望預(yù)測(cè)的置信區(qū)間返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第三十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日預(yù)測(cè)誤差的方差為：其中：第三十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日l=1時(shí)的預(yù)測(cè)誤差為：于是有：可見ARMA模型中白噪聲項(xiàng)at其實(shí)就是以xt-1為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測(cè)誤差。預(yù)測(cè)誤差和白噪聲項(xiàng)的關(guān)系：再由預(yù)測(cè)誤差方差的公式得：可見：向前一步預(yù)測(cè)誤差的方差其實(shí)就是白噪聲項(xiàng)的方差。第三十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日預(yù)測(cè)誤差的置信區(qū)間：對(duì)于正態(tài)過程，預(yù)測(cè)誤差的分布為：所以：對(duì)xt+l預(yù)測(cè)的95%的置信區(qū)間為：因此：第三十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日根據(jù)預(yù)測(cè)置信區(qū)間的公式得：可見：隨著預(yù)測(cè)步長(zhǎng)的加大，預(yù)測(cè)誤差的置信區(qū)間也越大，預(yù)測(cè)結(jié)果越不準(zhǔn)確。第三十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日例1：zl14磨輪剖面數(shù)據(jù)，所建模型如下：第三十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日于是以t=250為原點(diǎn)，向前一步、二步、三步預(yù)測(cè)的95%的置信區(qū)間分別為：第四十頁，共六十八頁，2022年，8月28日所以對(duì)于原序列，以t=250為原點(diǎn)向前一步，二步、三步的預(yù)測(cè)分別為：第四十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日例2.對(duì)ARMA21.wf1文件中的序列x建模如下：已知：模型的剩余平方和為260.04。第四十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日（1）求預(yù)測(cè)值解：a250未知，故需先將其求出。由已知數(shù)據(jù)得：第四十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日同理：因此：第四十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日第四十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日（2）求預(yù)測(cè)值的95%的置信區(qū)間：由ARMA(2,1)模型的格林函數(shù)得：第四十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日所以預(yù)測(cè)值的95%的置信區(qū)間為：第四十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日在Eviews中利用ARMA模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。（1）Eviews中進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)的兩個(gè)選項(xiàng)。Dynamic—?jiǎng)討B(tài)預(yù)測(cè)。（含義）Static—一步超前預(yù)測(cè)。（含義）對(duì)于ARMA模型：若對(duì)序列進(jìn)行擬合分析(即追溯預(yù)測(cè))，則選static。若向前l(fā)步預(yù)測(cè)，則要選dynamic，并且要先對(duì)工作區(qū)間、樣本區(qū)間進(jìn)行調(diào)整如下：

(1)expand@firstt+l(2)smplt+1t+l具體操作見演示。第四十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日(2)通過Eviews計(jì)算預(yù)測(cè)置信區(qū)間。第四十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：根據(jù)磨輪剖面數(shù)據(jù)zl14.wf1，(1)建立模型。(2)模型追溯預(yù)測(cè)分析。(3)進(jìn)行外推預(yù)測(cè)(l=3).第五十頁，共六十八頁，2022年，8月28日第四節(jié)適時(shí)修正預(yù)測(cè)一、問題的提出二、適時(shí)修正預(yù)測(cè)公式返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第五十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、問題的提出返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第五十二頁，共六十八頁，2022年，8月28日二、適時(shí)修正預(yù)測(cè)公式1、適時(shí)修正預(yù)測(cè)公式的推導(dǎo)（1）適時(shí)修正預(yù)測(cè)公式返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第五十三頁，共六十八頁，2022年，8月28日2、適時(shí)修正預(yù)測(cè)公式的推導(dǎo)：第五十四頁，共六十八頁，2022年，8月28日綜合上述推導(dǎo)，可得適時(shí)修正預(yù)測(cè)公式為：上述公式說明：新的預(yù)測(cè)值是在舊的預(yù)測(cè)值的基礎(chǔ)上，加上一個(gè)修正項(xiàng)推算出來的，而這一個(gè)修正項(xiàng)比例于舊的一步預(yù)測(cè)誤差，比例系數(shù)隨著預(yù)測(cè)超前步數(shù)的變化而變化。第五十五頁，共六十八頁，2022年，8月28日例：對(duì)于zl14磨輪剖面數(shù)據(jù)，解：適時(shí)修正預(yù)測(cè)公式為：所以：第五十六頁，共六十八頁，2022年，8月28日第五節(jié)指數(shù)平滑預(yù)測(cè)與ARMA模型一、一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的原理二、ARIMA(0,1,1)模型的預(yù)測(cè)返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第五十七頁，共六十八頁，2022年，8月28日一、一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的原理一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)的基本公式為：其中：0<α<1為平滑系數(shù)。將上述公式展開得：如此展開下去可得：返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第五十八頁，共六十八頁，2022年，8月28日設(shè)有ARIMA(0,1,1)模型如下:將其表示成逆轉(zhuǎn)形式得：返回本節(jié)首頁下一頁上一頁二、ARIMA(0,1,1)模型的預(yù)測(cè)第五十九頁，共六十八頁，2022年，8月28日上式即為:對(duì)其作向前一步預(yù)測(cè)可得：令1-θ=α，上式可變?yōu)椋浩渲校?1-θ<1第六十頁，共六十八頁，2022年，8月28日由上述推導(dǎo)推可見：（1）一次指數(shù)平滑是ARIMA(0,1,1)模型預(yù)測(cè)的特例，且ARIMA模型提供了最優(yōu)方式預(yù)測(cè)所需要的權(quán)數(shù)。（2）ARIMA預(yù)測(cè)也是最小均方誤預(yù)測(cè)，但一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)卻不具有這種最優(yōu)特性。（3）對(duì)于ARIMA預(yù)測(cè)，僅對(duì)可逆過程才是有意義的，對(duì)于ARIMA(0,1,1)就是要求|θ|<1。（4）只有原序列適合于ARIMA(0,1,1)模型時(shí)，采用一次指數(shù)平滑預(yù)測(cè)才是合適的。第六十一頁，共六十八頁，2022年，8月28日所謂傳遞形式：就是將序列xt的當(dāng)前值，表示為當(dāng)前沖擊值at

與過去沖擊值at-i(i=1,2,3…)的線性組合。即:其中，系數(shù)函數(shù)Gj叫做記憶函數(shù)，又叫格林函數(shù)(Green’sfunction)。（參見P47、48）附：ARMA模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式第六十