隱函數(shù)及參數(shù)方程求導

關于隱函數(shù)及參數(shù)方程求導第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日2定義1.隱函數(shù)的定義所確定的函數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)稱為隱函數(shù)(implicitfunction).的形式稱為顯函數(shù).隱函數(shù)的可顯化為函數(shù)例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數(shù)學家,天文學家.的隱函數(shù)客觀存在,但無法將表達成的顯式表達式.顯化.第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日32.隱函數(shù)求導法隱函數(shù)求導法則

用復合函數(shù)求導法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導.變量y是x的函數(shù).隱函數(shù)不易顯化或不能顯化？如何求導第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日4隱函數(shù)求導方法:

兩邊對

x

求導(含導數(shù)的方程)解第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日5

雖然隱函數(shù)沒解出來,但它的導數(shù)求出來了,當然結(jié)果中仍含有變量y.允許在的表達式中含有變量y.一般來說,隱函數(shù)求導,

求隱函數(shù)的導數(shù)時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導,就得到一個含有導數(shù)從中解出即可.于是y的函數(shù)便是x的復合函數(shù),的方程.y是x的函數(shù),第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日6解解得23)4(xy-)112(2-￠×yy第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日7例2.解第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日8例3.求橢圓在點處的切線方程.解:

橢圓方程兩邊對

x

求導故切線方程為即第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日練習解在題設方程兩邊同時對自變量求導,得解得求由方程所確定的函數(shù)在點處的切線方程.在點處于是,在點處的切線方程為即第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日10對數(shù)求導法1.方法:2.適用范圍:先在兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導方法求出y的導數(shù).適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù).例如冪指函數(shù)：兩端對x求導：第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日11例.解等式兩邊取對數(shù)得也可這樣求:第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日12例.解等式兩邊取對數(shù)得第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日13另例兩邊取對數(shù)兩邊對

x求導第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)例如消去參數(shù)問題:消參困難或無法消參如何求導?第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日?由于思考與討論:則第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日17若上述參數(shù)方程中二階可導,且則由它確定的函數(shù)可求二階導數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日例.解

所求切線方程為第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日例求由擺線的參數(shù)方程所表示的函數(shù)的二階導數(shù).t一個圓沿一直線緩慢地滾動，則圓上一固定點所經(jīng)過的軌跡稱為擺線．第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日解第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日練習：解第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日22例.拋射體運動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時刻t的運動速度的大小和方向.解:

先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線方向):設

為切線傾角,則第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日23拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量達到最高點的時刻高度落地時刻拋射最遠距離速度的方向第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日三、相關變化率相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日25為兩可導函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為相關變化率相關變化率問題解法:找出相關變量的關系式對

t求導得相關變化率之間的關系式求出未知的相關變化率第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日26例.一氣球從離開觀察員500m

處離地面鉛直上升,其速率為當氣球高度為500m時,觀察員視線的仰角增加率是多少?解:設氣球上升

t

分后其高度為h

,仰角為

,則兩邊對

t求導已知

h=500m時,第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日27思考題:當氣球升至500m

時停住,有一觀測者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點走來,當距離為500m時,仰角的增加率是多少?提示:

對

t求導已知求第二十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日28試求當容器內(nèi)水例.有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時水面