第11章-圖像復(fù)原

總復(fù)習(xí)數(shù)字圖象基礎(chǔ)數(shù)字圖象處理基礎(chǔ)數(shù)字圖象分析數(shù)字圖象壓縮數(shù)字圖象與互聯(lián)網(wǎng)11.1圖像退化與復(fù)原1.圖像退化

數(shù)字圖像在獲取的過程中，由于光學(xué)系統(tǒng)的像差、光學(xué)成像衍射、成像系統(tǒng)的非線性畸變、攝影膠片的感光的非線性、成像過程的相對(duì)運(yùn)動(dòng)、大氣的湍流效應(yīng)、環(huán)境隨機(jī)噪聲等原因，圖像會(huì)產(chǎn)生一定程度的退化。因此，必須采取一定的方法盡可能地減少或消除圖像質(zhì)量的下降，恢復(fù)圖像的本來面目，這就是圖像復(fù)原，也稱為圖像恢復(fù)。

2.圖像復(fù)原

圖像復(fù)原是利用退化現(xiàn)象的某種先驗(yàn)知識(shí)，建立退化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)模型進(jìn)行反向的推演運(yùn)算，以恢復(fù)原來的景物圖像。因而，圖像復(fù)原可以理解為圖像降質(zhì)過程的反向過程。建立圖像復(fù)原的反向過程的數(shù)學(xué)模型，就是圖像復(fù)原的主要任務(wù)。3.圖像降質(zhì)的數(shù)學(xué)模型

原始圖像f(x,y)經(jīng)過一個(gè)退化算子或退化系統(tǒng)H(x,y)的作用，再和噪聲n(x,y)進(jìn)行疊加，形成退化后的圖像g(x,y)。圖像的退化模型圖像退化的過程可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫成如下的形式： g(x,y)=H［f(x,y)］+n(x,y)

一幅連續(xù)圖像f(x,y)可以看作是由一系列點(diǎn)源組成的。因此，f(x,y)可以通過點(diǎn)源函數(shù)的卷積來表示。即式中，δ函數(shù)為沖擊函數(shù)，表示空間上的點(diǎn)脈沖。在不考慮噪聲的一般情況下，連續(xù)圖像經(jīng)過退化系統(tǒng)H后的輸出為h(x-α,y-β)為該退化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)。它表示系統(tǒng)對(duì)坐標(biāo)為(a,β)處的沖激函數(shù)δ(x-α,y-β)的響應(yīng)。也就是說，只要系統(tǒng)對(duì)沖激函數(shù)的響應(yīng)為已知，那么就可以清楚圖像退化是如何形成的。在頻域上，可以寫成其中，G(u,v)、F(u,v)、N(u,v)分別是退化圖像g(x,y)、原圖像f(x,y)、噪聲信號(hào)n(x,y)的傅立葉變換；H(u,v)是系統(tǒng)的點(diǎn)沖激響應(yīng)函數(shù)h(x,y)的傅立葉變換，稱為系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)。

11.1.2離散圖像退化的數(shù)學(xué)模型1.一維離散退化模型

設(shè)f(x)為具有A個(gè)采樣值的離散輸入函數(shù)，h(x)為具有B個(gè)采樣值的退化系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)，則經(jīng)退化系統(tǒng)后的離散輸出函數(shù)g(x)為輸入f(x)和沖激響應(yīng)h(x)的卷積，即g(x)=f(x)*h(x)

為了避免上述卷積所產(chǎn)生的各個(gè)周期重疊（設(shè)每個(gè)采樣函數(shù)的周期為M），分別對(duì)f(x)和h(x)用添零延伸的方法擴(kuò)展成周期M=A+B-1的周期函數(shù)，即輸出為式中，x=0,1,2,…,M-1。

因?yàn)閒e(x)和he(x)已擴(kuò)展成周期函數(shù)，故ge(x)也是周期性函數(shù)，用矩陣表示為因?yàn)閔e(x)的周期為M，所以he(x)=he(x+M)，即M×M階矩陣H可寫為

2.二維離散模型

設(shè)輸入的數(shù)字圖像f(x,y)大小為A×B，點(diǎn)擴(kuò)展函數(shù)h(x,y)被均勻采樣為C×D大小。為避免交疊誤差，仍用添零擴(kuò)展的方法，將它們擴(kuò)展成M=A+C-1和N=B+D-1個(gè)元素的周期函數(shù)。

則輸出的降質(zhì)數(shù)字圖像為式中：x=0,1,2,…,M-1；y=0,1,2,…,N-1。11.2非約束復(fù)原11.2.1逆濾波

由前式可得

逆濾波法是指在對(duì)n沒有先驗(yàn)知識(shí)的情況下，可以依據(jù)這樣的最優(yōu)準(zhǔn)則，即尋找一個(gè)，使得在最小二乘方誤差的意義下最接近g，即要使n的?；蚍稊?shù)（norm）最?。?/p>

極小值為

如果我們在求最小值的過程中，不做任何約束，稱這種復(fù)原為非約束復(fù)原。由極值條件解出為作傅立葉變換，得

11.2.2非約束圖像復(fù)原的病態(tài)性質(zhì)

當(dāng)某點(diǎn)或區(qū)域H(u,v)很小或等于零時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定解。因此，即使沒有噪聲，一般也不可能精確地復(fù)原f(x,y)。如果考慮噪聲項(xiàng)N(x,y)，則出現(xiàn)零點(diǎn)時(shí)，噪聲項(xiàng)將被放大，零點(diǎn)的影響將會(huì)更大，對(duì)復(fù)原的結(jié)果起主導(dǎo)地位，這就是無約束圖像復(fù)原模型的病態(tài)性質(zhì)。解決方法：（1）利用有約束圖像復(fù)原；（2）利用噪聲一般在高頻范圍，衰減速度較慢，而信號(hào)的頻譜隨頻率升高下降較快的性質(zhì)，在復(fù)原時(shí)，只限制在頻譜坐標(biāo)離原點(diǎn)不太遠(yuǎn)的有限區(qū)域內(nèi)運(yùn)行，而且關(guān)心的也是信噪比高的那些頻率位置。11.3最小二乘類約束復(fù)原

由于傳遞函數(shù)存在病態(tài)問題，復(fù)原只能局限在靠近原點(diǎn)的有限區(qū)域內(nèi)進(jìn)行，這使得非約束圖像復(fù)原具有相當(dāng)大的局限性。最小二乘類約束復(fù)原是指除了要求了解關(guān)于退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之外，還需要知道某些噪聲的統(tǒng)計(jì)特性或噪聲與圖像的某些相關(guān)情況。根據(jù)所了解的噪聲的先驗(yàn)知識(shí)的不同，采用不同的約束條件，可得到不同的圖像復(fù)原技術(shù)。在最小二乘類約束復(fù)原中，要設(shè)法尋找一個(gè)最優(yōu)估計(jì)，使得形式為 的函數(shù)最小化。求這類問題的最小化，常采用拉格朗日乘子算法。也就說，要尋找一個(gè)，使得準(zhǔn)則函數(shù)為最小。式中,Q為的線性算子，α為一常數(shù)，稱為拉格朗日乘子。對(duì)上式求導(dǎo)得求解得到

式中，γ=1/α，這個(gè)常數(shù)必須調(diào)整到約束被滿足為止。求解上式的關(guān)鍵就是如何選用一個(gè)合適的變換矩陣Q。選擇的Q的形式不同，就可得到不同類型的有約束的最小二乘類圖像復(fù)原方法。11.3.1維納濾波

在一般情況下，圖像信號(hào)可近似地認(rèn)為是平穩(wěn)隨機(jī)過程，維納濾波將原始圖像f和對(duì)原始圖像的估計(jì)看作為隨機(jī)變量。假設(shè)Rf和Rn為f和n的自相關(guān)矩陣，其定義為式中，E{·}代表數(shù)學(xué)期望運(yùn)算。

定義QTQ=R-1fRn，得11.3.2約束最小平方濾波

約束最小平方復(fù)原是一種以平滑度為基礎(chǔ)的圖像復(fù)原方法。如前所述，在進(jìn)行圖像恢復(fù)計(jì)算時(shí)，由于退化算子矩陣H［·］的病態(tài)性質(zhì)，多數(shù)在零點(diǎn)附近數(shù)值起伏過大，使得復(fù)原后的圖像產(chǎn)生了多余的噪聲和邊緣。約束最小平方復(fù)原仍然是以最小二乘方濾波復(fù)原公式為基礎(chǔ)，通過選擇合理的Q，并優(yōu)化‖Qf‖2，從而去掉被恢復(fù)圖像的這種尖銳部分，即增加圖像的平滑性。我們知道，圖像增強(qiáng)的拉普拉斯算子，它具有突出邊緣的作用，然而則恢復(fù)了圖像的平滑性，因此，在作圖像恢復(fù)時(shí)可將其作為約束。在離散情況下，拉普拉斯算子可用下面的差分運(yùn)算實(shí)現(xiàn)：利用f(x,y)與下面的模板算子進(jìn)行卷積可實(shí)現(xiàn)上面的運(yùn)算：在離散卷積的過程中，可利用延伸f(x,y)和p(x,y)來避免交疊誤差。延伸后的函數(shù)為Pe(x,y)。建立分塊循環(huán)矩陣，將平滑準(zhǔn)則表示為矩陣形式：…………式(11-42)中每個(gè)子矩陣Cj(j=0,1,…,M-1)是Pe(x,y)的第j行組成的N×N循環(huán)矩陣。即Cj如下表示：根據(jù)循環(huán)矩陣的對(duì)角化可知，可利用前述的矩陣W進(jìn)行對(duì)角化，即式中，E為對(duì)角矩陣，其元素為i≠k

i=k

E(k,i)是C中元素Pe(x,y)的二維傅立葉變換。并且，可以將 寫成fTCTCf，定義Q=C，則fTCTCf=‖Qf‖2。如果要求約束條件‖g-Hf‖=‖n‖2得到滿足，在Q=C時(shí)，有式(11-46)兩邊同乘以W-1，得式中，D*為D的共軛矩陣。所以式中，u,v=0,1,…,N-1，而且|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v)。本濾波器也稱為最小平方濾波器。11.4非線性復(fù)原方法11.4.1最大后驗(yàn)復(fù)原

最大后驗(yàn)復(fù)原是一種統(tǒng)計(jì)方法，它把原圖像f(x,y)和退化圖像g(x,y)都作為隨機(jī)場，在已知g(x,y)的前提下，求出后驗(yàn)條件概率密度函數(shù)P(f(x,y)/g(x,y))。若 使式最大，則 就代表已知退化圖像g(x,y)時(shí)，最可能的原始圖像f(x,y)。這種圖像方法稱之為最大后驗(yàn)圖像復(fù)原方法。11.4.2最大熵復(fù)原

最大熵復(fù)原方法是通過最大化某種反映圖像平滑性的準(zhǔn)則函數(shù)來作約束條件，以解決圖像復(fù)原中反向?yàn)V波法存在的病態(tài)問題。熵的定義為

式中，P(x)為隨機(jī)變量x的概率密度。對(duì)于離散信號(hào)，熵的定義為

熵是表征隨機(jī)變量集合的隨機(jī)程度的量度。當(dāng)所有隨機(jī)變量等可能性時(shí)，也就是說P1=P2=…=Pm時(shí)熵最大。

在二維數(shù)字圖像中，熵的定義為

最大熵復(fù)原的原理是將f(x,y)寫成隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)模型，然后在一定的約束條件下，找出用隨機(jī)變量形式表示的熵的表達(dá)式，運(yùn)用求極大值的方法，求得最優(yōu)估計(jì)解 。最大熵復(fù)原的含義是對(duì) 的最大平滑估計(jì)。11.4.3投影復(fù)原

投影復(fù)原法是用代數(shù)方程組來描述線性和非線性退化系統(tǒng)的。該系統(tǒng)可用下式描述：g(x,y)=D［f(x,y)］+n(x,y)其中：f(x,y)是原始圖像，g(x,y)是退化圖像，n(x,y)是系統(tǒng)噪聲，D是退化算子，表示對(duì)圖像進(jìn)行某種運(yùn)算。在使用投影復(fù)原法進(jìn)行圖像復(fù)原時(shí)，引進(jìn)一些先驗(yàn)信息附加的約束條件，可改善圖像復(fù)原效果。11.5其他圖像復(fù)原技術(shù)11.5.1幾何畸變校正

數(shù)字圖像在獲取過程中，由于成像系統(tǒng)的非線性，成像后的圖像與原景物圖像相比，會(huì)產(chǎn)生比例失調(diào)，甚至扭曲，我們把這類圖像退化現(xiàn)象稱之為幾何畸變。幾種典型的幾何失真(a)原圖像；(b)梯形失真；(c)枕形失真；(d)桶形失真

一般，幾何畸變校正要對(duì)失真的圖像進(jìn)行精確的幾何校正，通常是先確定一幅圖像為基準(zhǔn)，然后去校正另一幅圖像的幾何形狀。因此，幾何畸變校正一般分兩步來做：第一步是圖像空間坐標(biāo)的變換；第二步是重新確定在校正空間各像素點(diǎn)的取值。

1.空間幾何坐標(biāo)變換

根據(jù)兩幅圖像的一些已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)(也稱為控制點(diǎn)對(duì))建立起函數(shù)關(guān)系式，將失真圖像的x-y坐標(biāo)系變換到標(biāo)準(zhǔn)圖像u-v坐標(biāo)系，從而實(shí)現(xiàn)失真圖像按標(biāo)準(zhǔn)圖像的幾何位置校正，使f(x,y)中的每一像點(diǎn)都可在g(u,v)中找到對(duì)應(yīng)像點(diǎn)。

2.三角形線性法

圖像的幾何失真在一個(gè)局部小區(qū)域內(nèi)可近似認(rèn)為是線性的，基于這一假設(shè)，將標(biāo)準(zhǔn)圖像和被校正圖像之間的對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)劃分成一系列小三角形區(qū)域，三角形頂點(diǎn)為三個(gè)控制點(diǎn)，在三角形區(qū)內(nèi)滿足以下線性關(guān)系：

若三對(duì)控制點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的位置分別為(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)和(u1,v1)、(u2,v2)、(u3,v3)，則可建立兩級(jí)方程組：

解方程組可求出a,b,c,d,e,f六個(gè)系數(shù)。從而實(shí)現(xiàn)該三角形區(qū)內(nèi)其他像點(diǎn)的坐標(biāo)變換。

3.灰度值的確定

圖像經(jīng)幾何位置校正后，在校正空間中各像點(diǎn)的灰度值等于被校正圖像對(duì)應(yīng)點(diǎn)的灰度值。一般校正后的圖像某些像素點(diǎn)可能擠壓在一起，或者分散開，不會(huì)恰好落在坐標(biāo)點(diǎn)上，因此常采用內(nèi)