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電子與信息工程學(xué)院第七章系統(tǒng)函數(shù)
7.4系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)7.3信號(hào)流圖7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性電子與信息工程學(xué)院目錄引言電子與信息工程學(xué)院前述幾章討論了時(shí)域分析和變換域分析,引出系統(tǒng)函數(shù)H(s)或H(z)。它與系統(tǒng)微分(差分)方程、系統(tǒng)框圖、系統(tǒng)的單位沖激(單位序列)響應(yīng)及頻率響應(yīng)有關(guān)。本章將在系統(tǒng)函數(shù)的基礎(chǔ)上,分析系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布、時(shí)域特性和頻域特性,討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并介紹信號(hào)流圖,討論系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性目錄電子與信息工程學(xué)院一、系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)分布圖二、系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)§7.1
系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)分布圖LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式,即A(.)=0的根p1,p2,…,pn稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點(diǎn);B(.)=0的根1,2,…,m稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點(diǎn)。將零極點(diǎn)畫(huà)在復(fù)平面上得零、極點(diǎn)分布圖。
例-1-20(2)例:已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如圖示,并且h(0+)=2。求H(s)的表達(dá)式。解:由分布圖可得根據(jù)初值定理,有二、系統(tǒng)函數(shù)H(·)與時(shí)域響應(yīng)h(·)沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(.)的極點(diǎn)確定。下面討論H(.)極點(diǎn)的位置與其時(shí)域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1.連續(xù)因果系統(tǒng)
H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:在左半開(kāi)平面、虛軸和右半開(kāi)平面三類(lèi)。
(1)在左半平面
若有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p=–α(α>0),則A(s)中有因子(s+α),其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)
(b)若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p12=-α±jβ,則A(s)中有因子[(s+α)2+β2]Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)
(c)若有r重極點(diǎn),則A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r,其響應(yīng)為Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三種情況:當(dāng)t→∞時(shí),響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。(2)在虛軸上
(a)單極點(diǎn)p=0或p12=±jβ,則響應(yīng)為Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----穩(wěn)態(tài)分量(b)r重極點(diǎn),相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+β2)r,其響應(yīng)函數(shù)為Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—遞增函數(shù)(3)在右半開(kāi)平面
均為遞增函數(shù)。
LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t→∞時(shí),響應(yīng)均趨于0。
②H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。
③H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn),其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時(shí),響應(yīng)均趨于∞。
2.離散因果系統(tǒng)
H(z)按其極點(diǎn)在Z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類(lèi)。①H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k→∞時(shí),響應(yīng)均趨于0。
②H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。
③H(z)在單位圓上的高階極點(diǎn)或單位圓外的極點(diǎn),其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k→∞時(shí),響應(yīng)均趨于∞。
根據(jù)Z平面與S平面的影射關(guān)系,得出如下結(jié)論:
三、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)1、連續(xù)系統(tǒng)
若H(s)的收斂域包含虛軸(對(duì)于因果系統(tǒng),H(s)的極點(diǎn)均在左半平面),則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng),頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為:下面介紹兩種常見(jiàn)的系統(tǒng)。(1)全通函數(shù)
若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)|為常數(shù),則稱(chēng)為全通系統(tǒng)。其相應(yīng)的H(s)稱(chēng)為全通函數(shù)。凡極點(diǎn)位于左半開(kāi)平面,零點(diǎn)位于右半開(kāi)平面,并且所有零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于虛軸為一一鏡像對(duì)稱(chēng)的系統(tǒng)函數(shù),即為全通函數(shù)。
(2)最小相移函數(shù)對(duì)于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)函數(shù)而言,右半開(kāi)平面沒(méi)有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱(chēng)為最小相移函數(shù)。2、離散系統(tǒng)
若H(z)的收斂域包含單位圓(對(duì)于因果系統(tǒng),H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)),則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng),頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為式中,ω為角頻率,Ts為取樣周期。
例:某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)(1)若系統(tǒng)為因果系統(tǒng),求單位序列響應(yīng)h(k);(2)若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng),求單位序列響應(yīng)h(k);(3)若系統(tǒng)存在頻率響應(yīng),求單位序列響應(yīng)h(k);解:(1)|z|>3,h(k)=[(-0.5)k+(3)k](k)(2)|z|<0.5,h(k)=[-(-0.5)k-(3)k](-k-1)(3)0.5<|z|<3,h(k)=(-0.5)k(k)-(3)k(-k-1)7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性目錄電子與信息工程學(xué)院一、系統(tǒng)的因果性二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性§7.1
系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性
連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是:沖激響應(yīng)h(t)=0,t<0或者,系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋篟e[s]>σ0
離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是:?jiǎn)挝豁憫?yīng)h(k)=0,k<0
或者,系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)椋簗z|>ρ0
因果系統(tǒng)是指這類(lèi)系統(tǒng):某時(shí)刻的輸出只取決于此時(shí)刻和此時(shí)刻之前的輸入的系統(tǒng)。注:在考察系統(tǒng)的因果性時(shí),必須把輸入信號(hào)的影響與系統(tǒng)定義中用到的其他函數(shù)的影響區(qū)別開(kāi)來(lái),例如如下系統(tǒng):一、系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定系統(tǒng):對(duì)任意的有界輸入,其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的。即,激勵(lì)|f(.)|≤Mf
,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)|yzs(.)|≤My(M為有限常數(shù))時(shí)域:S域:若H(s)的收斂域包含虛軸,則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。
對(duì)于因果系統(tǒng)若H(s)的極點(diǎn)均在左半開(kāi)平面,則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。(1)連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件(2)離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件時(shí)域:Z域:對(duì)于因果系統(tǒng):若H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi),則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。若H(z)的收斂域包含單位圓,則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。
舉例y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若為因果系統(tǒng),求h(k),并判斷是否穩(wěn)定。(2)若為穩(wěn)定系統(tǒng),求h(k).
(1)因果系統(tǒng),故收斂域|z|>2,所以h(k)=0.4[0.5k-(-2)k]ε(k),不穩(wěn)定。
(2)穩(wěn)定系統(tǒng),故收斂域0.5<|z|<2,所以h(k)=0.4(0.5)kε(k)+0.4(-2)kε(-k-1)解:(3)連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則必要條件的所有根位于左半開(kāi)平面的必要條件是:(1)所有系數(shù)都必須非0,即不缺項(xiàng);(2)系數(shù)的符號(hào)相同。
A(s)=s3+4s2-3s+2
符號(hào)相異,不穩(wěn)定A(s)=3s3+s2+2
,a1=0,不穩(wěn)定A(s)=3s3+s2+2s+8
需進(jìn)一步判斷,非充分條件。羅斯列表將A(s)的系數(shù)作如下陣列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1,2行,按下列規(guī)則計(jì)算得到:
第4行由2,3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。羅斯準(zhǔn)則指出:若第1列元素具有相同的符號(hào),則A(s)=0所有的根均在左半開(kāi)平面。若第1列元素出現(xiàn)符號(hào)改變,則符號(hào)改變的總次數(shù)就是右半平面根的個(gè)數(shù)。例A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯列表:注意:在排羅斯陣列時(shí),可能遇到一些特殊情況,如第一列的某個(gè)元素為0或某一行元素全為0,這時(shí)可斷言:該多項(xiàng)式不是霍爾維茲多項(xiàng)式。
第1列元素符號(hào)改變2次,因此,有2個(gè)根位于右半平面。
(4)離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——朱里準(zhǔn)則朱里列表:第1行
anan-1an-2……a2a1a0第2行
a0a1a2……an-2an-1an第3行
cn-1cn-2cn-3……c1c0第4行
c0c1c2……cn-2cn-1第5行
dn-2dn-3dn-4……d0第6行
d0d1d2……dn-2
……第2n-3行r2r1r0第3行按下列規(guī)則計(jì)算:…一直到第2n-3行,該行有3個(gè)元素。
朱里準(zhǔn)則指出:A(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要的條件是:
(1)A(1)>0(2)(-1)nA(-1)>0(3)an>|a0|cn-1>|c0|dn-2>|d0|……r2>|r0|即,奇數(shù)行,其第1個(gè)元素必大于最后1個(gè)元素的絕對(duì)值。
特例:對(duì)2階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得
A(1)>0A(-1)>0a2>|a0|例
A(z)=4z4-4z3+2z-1解:
排朱里列表4-402-1-120-4415-14040-1415209
-21056A(1)=1>0(-1)4A(-1)=5>04>1,15>4,209>56所以系統(tǒng)穩(wěn)定。
7.3信號(hào)流圖目錄電子與信息工程學(xué)院一、信號(hào)流圖二、梅森公式§7.3信號(hào)流圖信號(hào)流圖是一種用有向的線圖描述方程變量之間因果關(guān)系圖。一、信號(hào)流圖1、定義:2、常用術(shù)語(yǔ)(1)結(jié)點(diǎn):圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)變量或信號(hào)。(2)支路:連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的有向線段稱(chēng)為支路。(3)支路增益:每條支路上的權(quán)值。它也是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)。(4)源點(diǎn):僅有輸出支路的結(jié)點(diǎn)。(5)匯點(diǎn):僅有輸入支路的結(jié)點(diǎn)。(6)通路:從一個(gè)結(jié)點(diǎn)沿著支路箭頭方向到達(dá)另一結(jié)點(diǎn)的路徑。(7)開(kāi)通路:與任一結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次的通路。(8)閉通路:閉合的路徑,也稱(chēng)為(回路、環(huán))。(9)不接觸回路:相互沒(méi)有公共結(jié)點(diǎn)的回路。(10)自回路:只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)和一條支路的回路。
(11)前向通路:從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開(kāi)通路。(12)前向通路增益,回路增益:通路中各支路增益的乘積。3、信號(hào)流圖的基本性質(zhì)(1)信號(hào)只能沿支路箭頭方向傳輸。支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。
(2)當(dāng)結(jié)點(diǎn)有多個(gè)輸入時(shí),該結(jié)點(diǎn)將所有輸入支路的信號(hào)相加,并將和信號(hào)傳輸給所有與該結(jié)點(diǎn)相連的輸出支路。4、方框圖--流圖5、流圖簡(jiǎn)化的基本規(guī)則:X2=H2X3=H2H1X1(2)支路并聯(lián):支路增益相加。
X2=H1X1+H2X1=(H1+H2)X1(1)支路串聯(lián):支路增益相乘。
(3)混聯(lián):X4=H3X3=H3(H1X1+H2X2)=H1H3X1+H2H3X2(4)自環(huán)消除:X3=H1X1+H2X2+H3X3所有來(lái)向支路除1–H3例:化簡(jiǎn)下列流圖注意:化簡(jiǎn)具體過(guò)程可能不同,但最終結(jié)果一定相同。
解:消x3消x2消x4消自環(huán)二、梅森公式系統(tǒng)函數(shù)H(.)記為H。梅森公式為:
稱(chēng)為信號(hào)流圖的特征行列式為所有不同回路的增益之和;
為所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和;為所有三三不接觸回路的增益乘積之和;…i
表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號(hào)
Pi
是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路增益;
△i
稱(chēng)為第i條前向通路特征行列式的余因子。消去接觸回路例:求右圖所示信號(hào)流圖的系統(tǒng)函數(shù)解(1)首先找出所有回路:
L1=H3GL2=2H1H2H3H5
L3=H1H4H5
(2)求特征行列式
△=1-(H3G+2H1H2H3H5+H1H4H5)+H3GH1H4H5(4)求各前向通路的余因子:(3)然后找出所有的前向通路:
p1=2H1H2H3
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