第二章離散系統(tǒng)的振動微分方程課件

第二章離散系統(tǒng)的振動微分方程

2.1實際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型2.2力學(xué)基礎(chǔ)

2.3振動微分方程的建立

2.4振動微分方程的一般形式

2.1實際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型一.實際系統(tǒng)的離散化

依據(jù)

簡化的程度取決于系統(tǒng)本身的復(fù)雜程度、外界對它的作用形式和分析結(jié)果的精度要求等原則

彈性較小而質(zhì)量較大的構(gòu)件→質(zhì)量元件

質(zhì)量較小而彈性較大的構(gòu)件→彈性元件

阻尼較大的部分→阻尼元件

質(zhì)量、彈性和阻尼均布→質(zhì)量、彈性、阻尼均有的單元第二章離散系統(tǒng)的振動微分方程振動力學(xué)系統(tǒng)“三要素”2.1實際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型例2-1機(jī)組質(zhì)量集中為一個質(zhì)量元件，彈性支承簡化成并聯(lián)的彈簧和阻尼器。

2.1實際系統(tǒng)離散化的力學(xué)模型例2-2二.離散化的力學(xué)模型（“三要素”）1.質(zhì)量元件

---無彈性、不耗能的剛體，儲存動能的元件

平動：力、質(zhì)量和加速度的單位分別為N、kg和m/s2。轉(zhuǎn)動：力矩、轉(zhuǎn)動慣量和角加速度的單位分別為Nm、kgm2和rad/s2

動能2.彈性元件

---無質(zhì)量、不耗能，儲存勢能的元件

平動：力、剛度和位移的單位分別為N、N/m和m。轉(zhuǎn)動：力矩、扭轉(zhuǎn)剛度和角位移的單位分別為Nm、Nm/rad和rad3.阻尼元件

---無質(zhì)量、無彈性、線性耗能元件

平動：力、阻尼系數(shù)和速度的單位分別為N、Ns/m和m/s。轉(zhuǎn)動：力矩、扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和角速度的單位分別為Nm、Nms/rad和rad/s耗散能：2.2力學(xué)基礎(chǔ)2.2力學(xué)基礎(chǔ)2.2力學(xué)基礎(chǔ)2.2力學(xué)基礎(chǔ)2.2力學(xué)基礎(chǔ)2.3振動微分方程的建立

一.單自由度系統(tǒng)

1.力法

工具：牛頓第二定律、質(zhì)系動量矩定理

步驟：

1）建立廣義坐標(biāo)2）作質(zhì)量元件的隔離體受力分析圖3）建立振動微分方程并整理成標(biāo)準(zhǔn)的形式2.3振動微分方程的建立

例2-3

建立圖示系統(tǒng)在鉛垂方向振動的微分方程。圖2-3有阻尼單自由度系統(tǒng)建立廣義坐標(biāo)。取質(zhì)量元件沿鉛垂方向的位移作為廣義坐標(biāo)x。原點在系統(tǒng)的靜平衡位置，向下為正。

隔離體受力分析由力學(xué)原理得到

2.3振動微分方程的建立

例2-4

建立圖示單擺作微小振動的微分方程。圖2-4單擺建立廣義坐標(biāo)。單擺偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角θ，坐標(biāo)零位在鉛垂位置，逆時針方向為正。

隔離體受力分析

由動量矩原理得到

2.3振動微分方程的建立

例2-5

建立圖示U形管中液柱振動的微分方程。（截面積a，液柱長）圖2-5U形管建立廣義坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)平衡時液面的位置為廣義坐標(biāo)的零位，液柱沿直管上升的距離y為廣義坐標(biāo)。

受力分析

由D’Alembert原理得到

2.3振動微分方程的建立

2.能量法

工具：機(jī)械能守恒定律

步驟：

1）建立廣義坐標(biāo)。建立方法與前者相同。

2）寫出系統(tǒng)的動能V、勢能U和耗散能P得到的方程經(jīng)整理，線性化后就能得到系統(tǒng)的振動微分方程。3）利用能量守恒原理當(dāng)系統(tǒng)中質(zhì)量較多時，用此方法關(guān)鍵是要清楚各個元件的能量表達(dá)式2.3振動微分方程的建立

例2-6

建立圖示系統(tǒng)作微振動的微分方程。解：圖2-6多質(zhì)量系統(tǒng)建立廣義坐標(biāo)。選θ為廣義坐標(biāo)，逆時為負(fù)，OB靜止時θ

為零，則x1=aθ

，x2=2a

θ

。

2.3振動微分方程的建立

系統(tǒng)的動能V勢能U耗散能P

由能量守恒原理得到

2.3振動微分方程的建立

二.等效系統(tǒng)

多個質(zhì)量（彈性、阻尼）元件等效為一個質(zhì)量（剛度、阻尼）元件。連續(xù)系統(tǒng)的質(zhì)量和彈性等效成一個質(zhì)量元件和一個彈性元件。平動：轉(zhuǎn)動：單自由度振動系統(tǒng)微分方程的一般形式2.3振動微分方程的建立

1.等效剛度

計算方法：1)剛度的定義。

2)等效前后系統(tǒng)勢能不變。

斜置彈簧

斜向布置的彈簧等效彈簧剛度2.3振動微分方程的建立

并聯(lián)彈簧

并聯(lián)彈簧等效彈簧剛度2.3振動微分方程的建立

串聯(lián)彈簧

串聯(lián)彈簧等效彈簧剛度2.3振動微分方程的建立

傳動系統(tǒng)

傳動系統(tǒng)等效前勢能速比等效后勢能等效剛度2.3振動微分方程的建立

2.等效阻尼

計算方法：（類似于等效剛度）

并聯(lián)阻尼：串聯(lián)阻尼：傳動系統(tǒng)：傳動比i，主動軸扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)ct1，從動軸扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)ct2，主動軸向從動軸等效時，主動軸等效扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)

ct1e=ct1/i22.3振動微分方程的建立

3.等效質(zhì)量

計算方法：等效前后系統(tǒng)動能不變

例2-7

求圖示系統(tǒng)對A點的等效質(zhì)量

彈簧-杠桿（質(zhì)量不計）-質(zhì)量系統(tǒng)等效前系統(tǒng)的動能

等效后系統(tǒng)的動能

∵2.3振動微分方程的建立

例2-8

求把軸Ⅰ等效到軸Ⅱ時盤1的等效慣量J1e

傳動系統(tǒng)解：等效前系統(tǒng)的動能

等效后系統(tǒng)的動能

∵2.3振動微分方程的建立

三.多自由度系統(tǒng)

1.力法牛頓第二定律和質(zhì)系動量矩定理

n個自由度的系統(tǒng)（1）建立廣義坐標(biāo)。質(zhì)量mi的位移xi，質(zhì)量mi靜平衡位置為原點，方向向右為正。（2）隔離體受力分析廣義位移、速度、加速度均為正例2-10

2.3振動微分方程的建立

（3）建立方程

整理后用矩陣形式表示為：2.3振動微分方程的建立

廣義坐標(biāo)廣義速度廣義加速度

外力向量

2.3振動微分方程的建立

剛度矩陣

(對稱、半正定)2.3振動微分方程的建立

質(zhì)量矩陣

(對稱、正定)2.3振動微分方程的建立

阻尼矩陣

(對稱)2.3振動微分方程的建立

2.視察法（力法的物理意義）

質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣的特點1)質(zhì)量矩陣[M]是對角矩陣，對角元mii=mi，即第i個對角元素就是第i個質(zhì)量元件的質(zhì)量。2)阻尼矩陣[C]是對稱矩陣，對角元cii為所有與第i個質(zhì)量元件相連接的阻尼元件阻尼系數(shù)之和（等效阻尼），非對角元cij=cji

，連接第i個質(zhì)量元件和第j個質(zhì)量元件的阻尼元件阻尼系數(shù)之和是cij。

3)剛度矩陣[K]是對稱矩陣，對角元kii為所有與第i個質(zhì)量元件相連接的彈性元件剛度之和（等效剛度），非對角元kij=kji

，連接第i個質(zhì)量元件和第j個質(zhì)量元件的彈性元件剛度之和是kij

。2.3振動微分方程的建立

例2-11

用視察法寫出圖示鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的振動微分方程鏈?zhǔn)较到y(tǒng)

解:1)建立廣義坐標(biāo)如圖所示，坐標(biāo)原點在系統(tǒng)靜平衡時各質(zhì)量的位置。

2)由視察法得到系統(tǒng)振動微分方程:2.3振動微分方程的建立

鏈?zhǔn)较到y(tǒng)振動微分方程:2.3振動微分方程的建立

鏈?zhǔn)较到y(tǒng)振動微分方程:2.4振動微分方程的一般形式

特例：單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動：{F(t)}={0}

有阻尼強(qiáng)迫振動：{F(t)}≠{0}

無阻尼自由振動：[C]=[0]，{F(t)}={0}

無阻尼強(qiáng)迫振動：[C]=[0]求系統(tǒng)的等效剛度（B）A．

B．

C．

D．忽略桿的重量，以圖示的x坐標(biāo)系，系統(tǒng)的等效質(zhì)量為（D）

大題：振動微分方程的建立（力法、能量法、觀察法）A．B．C．D．本章小結(jié)實際振系離散化的力學(xué)模型離散化“原則”；“三要素”及其在不同運動方式時的能量表達(dá)式力學(xué)基礎(chǔ)關(guān)