第二章 隨機(jī)變量(二)

第二章隨機(jī)變量第一節(jié)隨機(jī)變量及其分布函數(shù)第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布1例2:考慮如下試驗(yàn)：在區(qū)間[0，1]上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)X。那么X是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)為X取到[0，1]上任一點(diǎn)的可能性相同。求X的分布函數(shù)。當(dāng)x<0時(shí)解：由幾何概率的計(jì)算不難求出X的分布函數(shù)所以：23注釋：(1)隨機(jī)變量與普通變量的比較：隨機(jī)變量X:定義域，值域RX為全體實(shí)數(shù)或者它的一個(gè)子集，自變量。

與普通函數(shù)不同：定義域不同；關(guān)鍵是r,v的取值是隨機(jī)的，事先可以知道它的取值范圍，但不知道到底取哪個(gè)值，每個(gè)取值有一定概率規(guī)律，只有試驗(yàn)完成后才知r,v取哪個(gè)值。

(2)隨機(jī)變量與事件的關(guān)系；一方面：隨機(jī)變量“取一個(gè)值”或“取值于一給定區(qū)間”是隨機(jī)事件。另一方面：因?yàn)榛臼录c隨機(jī)變量聯(lián)系起來(lái)，因而隨機(jī)事件可以用隨機(jī)變量表示。隨機(jī)事件隨機(jī)變量的值概率

4（3）對(duì)于r,v,X更重要的是搞清：

（I）它的取值范圍；（II）取值的概率規(guī)律。

（試驗(yàn)結(jié)果）（事件的概率）注2：（1）隨機(jī)變量X是一個(gè)從樣本空間到實(shí)數(shù)空間的函數(shù)，它的定義域?yàn)闃颖究臻g。它的值域Rx為全體實(shí)數(shù)集或它的一個(gè)子集。（2）從隨機(jī)變量的定義來(lái)看，它與通常的函數(shù)概念沒(méi)有什么不同，把握這個(gè)概念的關(guān)鍵之點(diǎn)在于試驗(yàn)前后之分：在試驗(yàn)前，我們不能預(yù)知它取何值，這要憑機(jī)會(huì)，“隨機(jī)”的意思就在這里，一旦試驗(yàn)完成后，它的取值就確定了。通過(guò)研究隨機(jī)變量整體把握隨機(jī)事件。5例如（1）P{a<X≤b}=F(b)-F(a).

(因?yàn)閧a<X≤b}={X≤b}-{X≤a},且{X≤b}{X≤a})

（2）P{X=b}=F(b)-F(b-0).(由（1）連續(xù)性證明)

（3）P{X<b}=F(b-0).

({X<b}={X≤b}-{X=b},{X≤b}{X=b},再由（2）)

（4）P{X>b}=1-F(b).({X>b}=

)（5）P{X≥b}=1-F(b-0).（6）P{X=b}=F(b)-F(b-0).（7）P{a<X<b}=F(b-0)-F(a).3.公式：6知識(shí)回顧隨機(jī)變量的定義、意義隨機(jī)變量的分布函數(shù)：定義分布函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)不減、范圍、右連續(xù)。概率論主要是利用隨機(jī)變量來(lái)描述和研究隨機(jī)現(xiàn)象，利用分布函數(shù)就能很好的表示各事件的概率。7第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布分布律常用表格形式表示如下：Xx1x2

…

xk…pk

p1p2

…

pk…

如果隨機(jī)變量所有的可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)窮多個(gè)，則稱這種隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為xk

(k=1,2,…),事件發(fā)生的概率為pk,即稱為隨機(jī)變量X的概率分布或分布律或分布列。8分布律的兩條基本性質(zhì)：9（１）確定常數(shù)a的值;（２）求Ｘ的分布函數(shù)因此解：（１）由分布律的性質(zhì)知Ｘ０１

２pa10（2）由分布函數(shù)計(jì)算公式易得Ｘ的分布函數(shù)為：11（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)：①設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布律為

P{X=xk}=pk(k=1，2，…)

由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為

這里的和式是所有滿足xk≤x的k求和的。分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,…)處有跳躍，其躍跳值為pk=P{x=xk}。分布律與分布函數(shù)的關(guān)系12②已知隨機(jī)變量X的分布律,亦可求任意隨機(jī)事件的概率。例如，求事件｛X∈B｝（B為實(shí)軸上的一個(gè)區(qū)間）的概率P{X∈B}時(shí)，只需將屬于B的X的可能取值找出來(lái)，把X取這些值的概率相加，即可得概率P{X∈B}，即因此，離散型隨機(jī)變量的分布律完整地描述它的概率分布情況。（2）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：13

設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，并設(shè)F(x)的所有間斷為x1,x2,…，那么，X的分布律為例1:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP

-1231/41/21/4

求X的分布函數(shù)，并求解:由概率的有限可加性，得所求分布函數(shù)為14

F（x）的圖形如下圖所示，它是一條階梯形的曲線，在x＝－1，2，3處有跳躍點(diǎn)，跳躍值分別為1/4，1/2，1/4。-10123xP115兩點(diǎn)分布若在一次試驗(yàn)中X只可能取x1

或x2

兩值(x1<x2),它的概率分布是則稱X服從兩點(diǎn)分布。當(dāng)規(guī)定x1=0,x2=1時(shí)兩點(diǎn)分布稱為（0－1）分布。簡(jiǎn)記為X~(0-1)分布。X01pk1-pp16若離散型隨機(jī)變量X的分布律為二項(xiàng)分布其中0<p<1,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為X~b(n,p)。17當(dāng)n=1時(shí)，二項(xiàng)分布化為：P{X=k}=pk(1-p)1-kk=0,1在n重貝努里試驗(yàn)中，假設(shè)A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，若以X表示n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)。那么由二項(xiàng)概率公式得X的分布律為：即X服從二項(xiàng)分布。（0－1）分布可用b(1，p)表示。即為（0－1）分布18例４：某交互式計(jì)算機(jī)有10個(gè)終端，這些終端被各個(gè)單位獨(dú)立使用，使用率均為0.7，求同時(shí)使用的終端不超過(guò)半數(shù)的概率。在涉及二項(xiàng)分布的概率計(jì)算時(shí)，直接計(jì)算很困難時(shí)，采用了近似計(jì)算。下面給出近似公式：解：設(shè)X表示10個(gè)終端中同時(shí)使用的終端數(shù)，則X~b(10,0.7)。所求的概率為：例2.219定理的條件npn=λ,意味著n很大時(shí)候pn必定很小.因此當(dāng)n很大,p很小時(shí)有近似公式

其中λ=np。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)時(shí)用（λ=np）作為的近似值效果很好。而當(dāng)時(shí)效果更佳。的值有表可查。泊松定理設(shè)npn=λ(λ>0是一常數(shù)，n是任意整數(shù))，則對(duì)任意一固定的非負(fù)整數(shù)k，有20例5：有同類設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已知每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障需要一人去處理，問(wèn)至少需要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率小于0.01？查表可知，滿足上式最小的N是8。至少需配備8個(gè)工人才能滿足要求。解：設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，依題意知X~(300,0.01)，若配備N位維修人員，所需解決的問(wèn)題是確定最小的N，使得：