線性離散系統(tǒng)振動理論的應用

關于線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定

阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用對于阻尼未知的系統(tǒng)或阻尼特性未知的材料組成的單自由度系統(tǒng)，給定初始擾動后測定其自由振動的時間歷程，當阻尼較小時，一般可等效為具有粘性阻尼的系統(tǒng)。圖3.6弱阻尼系統(tǒng)x-t

曲線

的極值發(fā)生位置1、對數(shù)衰減率第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定

出現(xiàn)一次極值，出現(xiàn)一次極大值。相鄰兩個極大值之比(衰減率)為

對數(shù)衰減率為

阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定當阻尼較小時，取第一個和第n個極大值來計算對數(shù)衰減率阻尼較小時：

圖5.1ζ-δ曲線兩邊取對數(shù)阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定2、面積法

自由振動衰減曲線的包絡線為

在t1時間中上包絡線與坐標軸之間的面積A為：兩邊同除

0.0200.1040.2150.3340.4640.6060.7610.9341.260.990.950.900.850.800.750.700.650.601.3341.5941.8852.2322.6573.1973.7564.9655.2350.550.500.450.400.350.300.250.200.19

與無因次面積的關系

阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定計算步驟：

2)作上包絡線；

3)選作圖得到面積A，并計算；

4)查表5-1得；5)計算阻尼比：

1)測得自由振動衰減曲線；當t1為n倍準周期時，就是對數(shù)衰減率。ARt1阻尼比的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定固有頻率的確定

測量第一個和第n+1個極大值出現(xiàn)的時間間隔nτd

，例1

某系統(tǒng)自由振動衰減曲線中相鄰的四個極大值分別為：x1=11.8mm,x2=10mm,x3=8.475mm,x4=7.182mm,t4-t1=0.6s。求系統(tǒng)的阻尼比和固有圓頻率。

解：(1)阻尼比：

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定面積法：n

=4

(2)固有圓頻率：

固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定1、共振法位移、速度、加速度響應幅值達到最大值時系統(tǒng)發(fā)生共振。當激勵頻率等ω于ωd或ωn時系統(tǒng)發(fā)生共振。當響應的相位角滯后激勵力的相位角時系統(tǒng)發(fā)生共振。在位移、速度和加速度響應幅值保持不變而激勵力幅值最小時系統(tǒng)發(fā)生共振。圖5.2F-ω曲線固有頻率的確定共振的定義第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定

共振(ω=ωn)時

如果能測得ω=ωn時的X0，并已知此時激勵力幅值F0與彈簧剛度k，則阻尼比或損耗因子

Q因子

共振時系統(tǒng)最大動能或位能與系統(tǒng)每循環(huán)耗散能量之比的倍稱為Q因子。共振時粘性阻尼每循環(huán)耗能：固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定共振時最大動能與最大勢能相等

對粘性阻尼對結構阻尼通過測試手段獲得每周期耗能及共振振幅固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定2、半功率帶寬法

當激勵頻率變化時，可得到曲線

為曲線的最大值，曲線上的點1、2

半功率帶寬

幅頻響應曲線半功率點與1、2點對應的頻率為和，頻率差固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定1.對具有粘性阻尼的系統(tǒng)

由半功率點的定義

固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日當時，可略去，，由冪級數(shù)展開公式()：5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日2.對結構阻尼系統(tǒng)

由半功率點的定義或5.1單自由度系統(tǒng)阻尼比和固有頻率的確定固有頻率的確定第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡

振動微分方程

設廣義坐標為機器的位移x，向上為正，坐標原點在機器靜平衡時轉子的旋轉中心o。

旋轉失衡力學模型轉子質心位移為加速度為對結構阻尼整理第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡

設解對結構阻尼第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡幅頻和相頻響應曲線討論：相位角同簡諧激勵下的響應，而無量綱振幅隨無量綱頻率的變化如下表。粘性阻尼結構阻尼旋轉失衡諧激勵最大值位置01

0

0

0

1

1

旋轉失衡

諧激勵第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡

例2

偏心激振器兩軸反向旋轉，每個偏心輪旋轉失衡為4.5kg-cm，用它測量結構的動力特性。設結構質量為160kg，激振器質量為20kg。當偏心輪轉速為900rpm，偏心質量在正上方時，結構向上通過靜平衡位置，振幅為2.5cm。

求1)整個系統(tǒng)的固有圓頻率；

2)結構的固有圓頻率和阻尼比（或損耗因子）；

3)偏心輪轉速為1200rpm時結構的振幅及結構向上通過平衡位置時，偏心質量與水平面的夾角。

偏心激振器模型第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡解：方程

M=20+160=180kg，me=4.5kg-cm穩(wěn)態(tài)響應為

偏心質量在正上方，即，結構向上通過靜平衡位置，則有，，。

（系統(tǒng)），

粘性阻尼：第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡結構阻尼：

2)

，，

粘性阻尼：

結構阻尼：

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡3)當轉速為1200rpm時：

粘性阻尼:

結構阻尼：

粘性阻尼:第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.2旋轉失衡結構阻尼：

結構通過平衡位置：粘性阻尼:

結構阻尼:第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉軸的臨界轉速質心位移為：微分方程為：

直立單盤轉子

設特解為

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉軸的臨界轉速，

設距離為

導前的相位角當時，R接近最大值，把與旋轉軸橫向振動固有圓頻率相當?shù)霓D速稱為旋轉軸的臨界轉速。第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉軸的臨界轉速

軸在不同轉速下的相位：

圓盤質心G與幾何中心的相對位置軸以角速度繞過點的軸心線旋轉，而過點的軸心線又以角速度繞過點的支承點連線轉動，方向相同，這稱為旋轉軸同步正回旋。在臨界轉速時，軸上的應力不發(fā)生變化，這與不轉的軸系在簡諧激勵下的共振有本質的區(qū)別（軸應力交變）。在臨界轉速時軸心偏離平衡位置的距離達到最大值，也稱為共振。阻尼又較小時，接近，因此與重合，稱為自動定心。

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉軸的臨界轉速例3

某試驗臺轉子質量M為100kg，軸直徑=100mm

，彈性模量E

=2.1×1011N/m2，密度。求轉軸的臨界轉速。(實質是求轉子橫向振動的固有圓頻率，然后轉換成轉速。)解：(1)求等效系統(tǒng)：

1)用定義求ke：在軸中央加一個力F

，位移為x，單盤轉子

2)：

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉軸的臨界轉速設軸振動時振型與靜撓度曲線相同，處的位移為，軸作彎曲振動時沿軸上各點的位移可用表示：系統(tǒng)等效前后的動能分別為：第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.3旋轉軸的臨界轉速(2)軸系橫向振動的固有圓頻率：(3)臨界轉速：

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

隔振：在振源和機器或結構等物體之間用彈性或阻尼裝置連接，以減小振源對其它物體的影響。主動隔振：減小振動系統(tǒng)對外界的影響。被動隔振：減小外界振源對設備的影響。力傳遞率(主動隔振)設機器的位移x為廣義坐標，向下為正，靜平衡時位移為零。方程為：

通過彈簧和阻尼器傳遞的力

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

通過彈簧與阻尼器傳給地面的動態(tài)力幅為彈簧力和阻尼力的矢量和。定義：力傳遞率S

對粘性阻尼：

傳遞率隨無量綱頻率的變化第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

對結構阻尼：

當阻尼可忽略時：討論：

結論：

1)當時，，無隔振效果，振動可能放大；2)當時，，有隔振效果；3)，，即當時，同樣的頻率比，系統(tǒng)的阻尼比越小隔振效果越好。

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理例4

轉速為3000rpm、旋轉失衡為0.1kg-m、質量為68kg的電機，安裝在1200kg的隔振機座上。系統(tǒng)的固有頻率為26.67Hz，阻尼比為ζ＝0.1。求：1)隔振機座的振幅；

2)通過隔振機座傳遞到地面的力幅。解：

機座的振幅為：

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理討論：

思考：若系統(tǒng)阻尼增加，如何變化？

，，，。

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

位移傳遞率(被動隔振)基礎激勵

設底座位移為y，質量為m的設備位移為廣義坐標x。底座不動，系統(tǒng)靜平衡時設備的位置為廣義坐標的原點，方向如圖.

粘性阻尼:振動微分方程為：結構阻尼:

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理設底座位移為，系統(tǒng)質量的位移為粘性阻尼結構阻尼粘性阻尼第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

結構阻尼定義：位移傳遞率S粘性阻尼第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理結構阻尼定義：隔振效率

隔振模型例5

精密儀器-橡膠隔振系統(tǒng)中，，，地面簡諧運動規(guī)律為，，

=0.1256mm/s。求：精密儀器位移的最大值和隔振效率。第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理解：隔振效率第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理

測振儀測振儀利用了基礎激勵下相對運動與原運動的關系系統(tǒng)振動微分方程為：

設，則相對位移，

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.4隔振原理1、位移測量：

時，，2、速度測量：利用電路輸出電壓：3、加速度測量：第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動力吸振器無阻尼動力吸振器無阻尼動力吸振器穩(wěn)態(tài)響應第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動力吸振器當

時，，

第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日

5.5動力吸振器這時傳給的力為

作用于上的激勵力與由彈簧傳給的力恰好抵消，因而。設第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動力吸振器設：，，令可得到，（二自由度的固有頻率）。第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動力吸振器無量綱響應隨無量綱頻率變化的曲線曲線μ1-η和曲線μ2-η當η=1，即ω=ω1=ω2時才能使μ1=0，從而X2=0。當η稍偏離1.0，|X1|就很快增，因而當動力吸振器設計好后，只要激勵頻率略有偏離，原系統(tǒng)的響應就會增加。因此，只有當單自由度系統(tǒng)受單一頻率激勵力作用時，才能設計一個無阻尼動力吸振器來抑制系統(tǒng)的響應。第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動力吸振器阻尼動力吸振器η、υ、μ和同(5-35)設阻尼動力吸振器第5章線性離散系統(tǒng)振動理論的應用第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日5.5動力吸振器阻尼動力吸振器主系統(tǒng)幅頻響應曲線設式(5-39)

中的參數(shù)=1.0，=0.05，分別取為0.32、0.1和0，曲線從圖中看，盡管取不同的阻尼比時不同，但這些曲線