印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)

3來(lái)自東方的繼承者與傳播者

——印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)

印度的數(shù)學(xué)阿拉伯的數(shù)學(xué)印度的數(shù)學(xué)史前時(shí)期：公元前2300年前哈拉帕文化：前2300-前1750年，印度河流域出現(xiàn)早期國(guó)家早期吠陀時(shí)代：前1500-前900年，雅利安人侵入印度后期吠陀時(shí)代：前900-前600年，雅利安人的國(guó)家形成，婆羅門教形成列國(guó)時(shí)代：前6-前4世紀(jì)，摩揭陀國(guó)在恒河流域中部稱霸，開(kāi)始走上統(tǒng)一北印度的道路，佛教產(chǎn)生帝國(guó)時(shí)代：前4-公元4世紀(jì)，從孔雀王朝到貴霜帝國(guó)古印度簡(jiǎn)況強(qiáng)盛獨(dú)立的王朝[孔雀王朝（前324－前187），笈多王朝（公元320－540）]、外族幾乎不斷的侵?jǐn)_、文化受到宗教的影響婆羅門教起源于公元前2000年的吠陀教，形成于前7世紀(jì)，鼎盛于前6－4世紀(jì)。

4世紀(jì)后，婆羅門教開(kāi)始衰弱。

8、9世紀(jì)，婆羅門教逐漸發(fā)展成為印度教。印度教與婆羅門教沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別，都信奉梵天、毗濕奴、濕婆三大神，主張善惡有報(bào)、人生輪回，只有達(dá)到“梵我同一”方可獲得解脫，修成正果。3.1印度的數(shù)學(xué)婆羅門教、印度教的創(chuàng)造神梵天在這樣復(fù)雜的歷史條件下，科學(xué)的發(fā)展在各時(shí)期不同程度地受到政治動(dòng)亂的抑制，但自古以來(lái)數(shù)學(xué)始終是很受重視的科目．相傳，佛祖悉達(dá)多·喬達(dá)摩(即釋迦牟尼，公元前623—前544)幼時(shí)受傳統(tǒng)的婆羅門教育，用八年時(shí)間專門學(xué)習(xí)語(yǔ)文和數(shù)學(xué)．在印度,數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)聯(lián)系在一起．?dāng)?shù)學(xué)著作大都是天文學(xué)著作中的某些篇章．最早的數(shù)學(xué)著作《繩法經(jīng)》(S．ulvasūtras)出現(xiàn)在吠陀時(shí)代，它包含在古代婆羅門教的經(jīng)典中，專講祭祀禮儀，其中包含畢達(dá)哥拉斯定理等數(shù)學(xué)知識(shí)

3.1印度的數(shù)學(xué)關(guān)外西天取經(jīng)第一人比唐玄奘早209年北燕僧人曇無(wú)竭，于公元420年招集同志沙門25人，從龍城出發(fā)，遠(yuǎn)赴印度，取回《觀世音受記經(jīng)》一部，譯成漢文，收錄在《大藏經(jīng)》內(nèi)，廣為傳誦。據(jù)考證，曇無(wú)竭是繼法顯之后我國(guó)最早西行求法僧人之一，堪稱關(guān)外西天取經(jīng)第一人，比唐僧玄奘西天取經(jīng)還要早209年。有關(guān)曇無(wú)竭是關(guān)外西天取經(jīng)第一人的信息，來(lái)自于南北朝時(shí)期慧皎和尚編寫的一部史書《高僧傳》，書中有關(guān)于曇無(wú)竭西天取經(jīng)的文字記載。曇無(wú)竭，本姓李，朝陽(yáng)人，大概生于后燕時(shí)期，10來(lái)歲就出家到寺廟當(dāng)沙彌，修煉苦行，遵守戒律，念誦佛經(jīng)，受到法師和眾僧的器重。曇無(wú)竭?？畤@佛經(jīng)殘缺不全，聽(tīng)說(shuō)僧人法顯等從古印度取回真經(jīng)，下定決心親赴西天取經(jīng)。公元420年，曇無(wú)竭招集志同道合的和尚僧猛、曇朗等25人，從燕都龍城出發(fā)，向西天行進(jìn)。他們?cè)谥袊?guó)境內(nèi)的西行路線大致為：龍城——今青海湖一帶——今甘肅省河西走廊——今新疆吐魯番東——塔里木盆地北緣，途經(jīng)今新疆喀什一帶，攀登了帕米爾高原和昆侖山等山脈。面對(duì)飛鳥(niǎo)難越的雪山、湍急的河水，以及兩山之間以繩索為橋渡河的險(xiǎn)境，曇無(wú)竭一行25人沒(méi)有停止西行的腳步，他們分3次過(guò)河，又用一整天翻越雪山。過(guò)完雪山，同行25人竟然有12人半途墜崖而死。為取得真經(jīng)，曇無(wú)竭在天竺各地禮拜佛陀圣跡，尋訪名師，學(xué)習(xí)梵文經(jīng)典數(shù)年后，從南天竺搭乘商船，漂印度洋，過(guò)南海，一行5人安全到達(dá)廣州。回國(guó)后，曇無(wú)竭住在江南某寺，弘揚(yáng)佛法，直至去世。公元500年以后，印度數(shù)學(xué)獲得了較大的發(fā)展，印度數(shù)學(xué)的成就在世界數(shù)學(xué)史上占有重要地位．許多數(shù)學(xué)知識(shí)由印度經(jīng)阿拉伯國(guó)家傳入歐洲，促進(jìn)了歐洲中古時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展．

希臘人和印度人發(fā)展數(shù)學(xué)的道路在許多方面都不相同．希臘數(shù)學(xué)遵循著嚴(yán)格的邏輯敘述，所以幾何學(xué)獲得了重大的發(fā)展．印度人則相反，不去求得嚴(yán)格的證明，而主要是發(fā)展實(shí)用的數(shù)學(xué)，因此算術(shù)、代數(shù)和三角具有優(yōu)勢(shì)．

在5至16世紀(jì)，印度出現(xiàn)了許多著名的天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家和一批杰出的著作．這些著作都是用印度的宗教和官方語(yǔ)言梵文寫的，就象伊斯蘭國(guó)家中的阿拉伯語(yǔ)和中世紀(jì)西歐的拉丁語(yǔ)一樣．印度數(shù)學(xué)著作的最大特點(diǎn)是敘述得過(guò)于簡(jiǎn)練，命題或定理的證明常被省略．運(yùn)算法則的表述也極簡(jiǎn)短，又常常以詩(shī)歌形式出現(xiàn)，再加上濃厚的宗教色彩，致使這些著作更加晦澀難讀．

3.1.1印度的算術(shù)十進(jìn)位值制記數(shù)法的使用和印度-阿拉伯?dāng)?shù)碼的出現(xiàn)，不僅在數(shù)學(xué)史上，而且在全人類文化史上都具有十分重要的意義．

在十進(jìn)位制記數(shù)系統(tǒng)產(chǎn)生以前，在印度出現(xiàn)過(guò)各種不同的數(shù)字和記數(shù)法，有些地區(qū)使用的數(shù)字保持到很晚，現(xiàn)在很難研究出它們之間的承襲關(guān)系．從公元前4世紀(jì)到公元3世紀(jì)，在現(xiàn)今的東阿富汗地區(qū)和旁遮普北部風(fēng)行所謂的音節(jié)數(shù)字與當(dāng)時(shí)的古印度音節(jié)文字有關(guān)．這可能是一種十進(jìn)位值制系統(tǒng)．?dāng)?shù)字1，4，10，20和100用特殊記號(hào)表示，其它數(shù)由加性原則寫出，數(shù)字從右往左書寫．在印度的各種數(shù)字系統(tǒng)中，至少?gòu)墓?世紀(jì)起，數(shù)字1，2，…，9就存在單獨(dú)的符號(hào)，這些特殊符號(hào)的存在是產(chǎn)生十進(jìn)位值制記數(shù)法的基礎(chǔ)．單位1出現(xiàn)在表示單數(shù)事物如“太陽(yáng)”、“月亮”的詞語(yǔ)中；而數(shù)字2出現(xiàn)在“雙生子”，“眼睛”，“手”這類詞語(yǔ)中；數(shù)字5出現(xiàn)在“感官”(即五官)，“手掌”中等等．?dāng)?shù)字的書寫是從低位向高位，古印度歷數(shù)書中的天文表就這樣表示數(shù)字，缺位時(shí)用特殊符號(hào)標(biāo)出阿耶波多Ⅰ的著作中用音節(jié)表示數(shù)字，完全沒(méi)有位值制的特點(diǎn)．每一個(gè)數(shù)k·10n(k＝1，2，…，9；n＝0，1，2，…)都被特殊音節(jié)所代替，豐富的梵文字母能夠給充分大的數(shù)字命名．但是，他的學(xué)生——婆什迦羅Ⅰ(BhāskaraⅠ，629)卻改進(jìn)了這種記數(shù)法，使數(shù)字的音節(jié)具有位值性，他還引進(jìn)了表示空位的音節(jié)．大約在6世紀(jì)上半葉改變了數(shù)字中數(shù)位的書寫順序，開(kāi)始從高位向低位書寫，這可能是受希臘人的影響．位值制記數(shù)原則包含這樣三個(gè)因素：1．每一位數(shù)都由該數(shù)位單位乘以相應(yīng)的數(shù)字；2．省略每個(gè)數(shù)位單位的符號(hào)；3．用確定的符號(hào)(零號(hào))表示任何數(shù)位上的空缺．所有這些因素在印度首先是局部地、口頭地應(yīng)用，然后過(guò)渡到廣泛地、文字上的普及．不晚于6世紀(jì)，在印度產(chǎn)生了新的、整數(shù)的十進(jìn)位值制記數(shù)法，即用九個(gè)數(shù)字和表示零的小圓圈可以寫出任何數(shù)字，每個(gè)位置上的數(shù)字有明確意義，同一個(gè)數(shù)字在不同位置上則代表不同數(shù)值．7世紀(jì)中葉，印度的記數(shù)法開(kāi)始向西方傳播．8世紀(jì)末，這種記數(shù)法傳入巴格達(dá)哈利發(fā)的宮廷中，印度數(shù)字經(jīng)阿拉伯人的改進(jìn)傳入歐洲后就被稱為印度—阿拉伯?dāng)?shù)字了．

帶有數(shù)字0的運(yùn)算是位值制系統(tǒng)計(jì)算的重要內(nèi)容．印度人不僅僅把0看作是“一無(wú)所有”或空位，而且把0看成是一個(gè)數(shù)．這是印度算術(shù)的一大貢獻(xiàn)．這種看法在3世紀(jì)時(shí)已經(jīng)出現(xiàn)．在天文學(xué)家瓦拉哈米希拉的著作中．瓦拉哈米希拉(Varāha－Mihira)是6世紀(jì)著名學(xué)者．他通曉哲學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)，是《五大歷數(shù)全書匯編》的作者．此書是希臘、埃及、羅馬和印度天文學(xué)的一部提要，最重要的一部分是《太陽(yáng)的知識(shí)》．(SūryaSiddhānta)．其內(nèi)容并不是有關(guān)太陽(yáng)的知識(shí)，而是由太陽(yáng)神傳授的知識(shí)，具有神話色彩．另外還包括四部歷數(shù)書．這部著作的計(jì)算圖表是以希臘算法和亞歷山大算法為基礎(chǔ)推算的一個(gè)多世紀(jì)以后，婆羅門笈多在他的著作中有比較完整的敘述：“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)，正數(shù)減去零是正數(shù)，零減去零還是零；零乘正數(shù)、負(fù)數(shù)或零都是零．……零除以零空無(wú)一物，正數(shù)或負(fù)數(shù)除以零是一個(gè)以零為分母的數(shù)．”最后一種情形沒(méi)有進(jìn)一步說(shuō)明．婆什迦羅Ⅱ把a(bǔ)÷0稱為Khahara，與無(wú)窮大有相似的含義．分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算在印度算術(shù)中，分?jǐn)?shù)也有較完整的理論．分?jǐn)?shù)的寫法與中國(guó)古代算籌分?jǐn)?shù)記法一樣，分子在上，分母在下，沒(méi)有分?jǐn)?shù)線．若是帶分?jǐn)?shù)，則整數(shù)部分又寫在分子之上．例如

最早的印度數(shù)學(xué)家：阿耶波多（476－約550年）

499年《阿耶波多歷數(shù)書》(圣使天文書)“阿耶波多號(hào)”人造衛(wèi)星（印度，1975）“悉檀多”時(shí)代：以計(jì)算為中心的實(shí)用數(shù)學(xué)

建立了丟番圖方程求解的“庫(kù)塔卡”法3.1.2印度的代數(shù)

零的運(yùn)算法則

婆什迦羅Ⅱ（1114－1188年）

古印度數(shù)學(xué)最高成就《天文系統(tǒng)之冠》（1150年）“婆什迦羅號(hào)”人造衛(wèi)星（1979）

《莉拉沃蒂》、《算法本源》

帶著微笑眼睛的美麗少女，請(qǐng)你告訴我，按照你理解的正確反演法，什么數(shù)乘以3，加上這個(gè)乘積的3/4，然后除以7，減去此商的1/3，自乘，減去52，取平方根，加上8，除以10，得2？

3.1.2印度的代數(shù)印度人對(duì)代數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn).他們用縮寫文字和一些記號(hào)來(lái)描述運(yùn)算.加法不用記號(hào)，被減數(shù)上面加個(gè)點(diǎn)表示減法.已知的整數(shù)，前面冠以rū(來(lái)自絕對(duì)數(shù)rūpa一詞)；未知數(shù)稱為yāvattāvat，用音節(jié)yā來(lái)表示.如果遇到幾個(gè)未知數(shù)，那么用各種顏色來(lái)區(qū)別：kā(kālaka，黑色的)、nī(nīlaka,藍(lán)色的)、pī(pītaka，黃色的)、lo(lohitaka，紅色的)等等.未知數(shù)的二次冪用varga一詞的va這個(gè)音節(jié)來(lái)表示；三次冪用ghata的音節(jié)gha來(lái)表示．并且借助va和gha兩個(gè)符號(hào)表示未知數(shù)的更高次冪：vava表示四次冪；vaghaghata表示五次冪；vagha表示六次冪；vavaghaghata表示七次冪；vavava表示八次冪；這套符號(hào)雖然不多，但足夠使印度代數(shù)幾乎稱得上是符號(hào)代數(shù)，并且符號(hào)比丟番圖的縮寫代數(shù)用得多．

雖然印度學(xué)者創(chuàng)立的符號(hào)很笨拙，符號(hào)本身即梵文字母的形狀很復(fù)雜，但是，他們的工作預(yù)示了新數(shù)學(xué)的發(fā)展方向．他們的后繼者——阿拉伯國(guó)家的學(xué)者不僅沒(méi)有前進(jìn)一步，而且?guī)装倌陙?lái)都是用“詞語(yǔ)書寫”來(lái)表示代數(shù)式及其運(yùn)算．

3.1.2印度的代數(shù)對(duì)于乘法，各因子并列著寫．一組數(shù)用線框起來(lái)相當(dāng)于加括號(hào)的意義．例如印度代數(shù)的較大成就是引進(jìn)了負(fù)數(shù)，當(dāng)問(wèn)題涉及到債務(wù)或反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，印度人使用了負(fù)數(shù)，他們像運(yùn)用正數(shù)一樣運(yùn)用負(fù)數(shù)．但是在有關(guān)一次方程的問(wèn)題中沒(méi)有見(jiàn)到負(fù)數(shù)解．印度學(xué)者解二次方程的方法比丟番圖優(yōu)越．在《阿耶波提亞》中就有關(guān)于求解完全二次方程的問(wèn)題

《吠陀》印度雅利安人的作品，婆羅門教的經(jīng)典《繩法經(jīng)》（前8－前2世紀(jì)）：廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量，包含幾何、代數(shù)知識(shí)，如畢達(dá)哥拉斯定理等印度數(shù)學(xué)吠陀時(shí)期(公元前10-前3世紀(jì))

悉檀多時(shí)期(公元5-12世紀(jì))《吠陀》手稿（毛里求斯，1980）3.1.3印度的幾何與三角

π的近似值3.1416

印度學(xué)者在幾何學(xué)方面的貢獻(xiàn)明顯地遜色于他們?cè)谒阈g(shù)和代數(shù)方面的成就．在很多情形下，他們的幾何知識(shí)并不比亞歷山大幾何學(xué)家有多少進(jìn)步．例如，婆羅門笈多與亞歷山大的塞翁（希帕蒂婭的父親）(TheonofAlexandria)的著作中的幾何部分就有許多相似之處．

婆羅門笈多著作中的幾何部分有這樣的特點(diǎn)：在某些計(jì)算問(wèn)題中，除給出精確的公式(當(dāng)然有些問(wèn)題得不到精確公式)外，還給出在實(shí)際中便于應(yīng)用的近似法則

3.1.3印度的幾何與三角關(guān)于圓的面積，婆羅摩笈多給出：粗糙計(jì)算時(shí)取π＝3

計(jì)算了圓內(nèi)接正6，12，24，48，96，192，384邊形的邊長(zhǎng)，從而得到π的值

為計(jì)算三角形的面積，除了通常的方法外，婆羅摩笈多導(dǎo)出了所謂海倫公式，并把這個(gè)公式推廣到圓內(nèi)接四邊形的面積

用這些畢達(dá)哥拉斯數(shù)來(lái)構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形在印度的幾何學(xué)中很少見(jiàn)到命題的證明，偶爾見(jiàn)到的證明也十分簡(jiǎn)短，多數(shù)情形是把證明壓縮為圖形和指示語(yǔ)“請(qǐng)看！”有時(shí)在圖形旁邊略加說(shuō)明

婆羅摩笈多（598－約665年）印度的數(shù)學(xué)

628年《婆羅摩修正體系》(宇宙的開(kāi)端)烏賈因天文臺(tái)

早期的三角學(xué)，是伴隨著天文學(xué)而產(chǎn)生的．在希臘化國(guó)家中，由于天文學(xué)的發(fā)展，越來(lái)越多地利用三角關(guān)系作為輔助的計(jì)算工具．例如，托勒密的著作中曾論述制作日晷的原理，并保留有世界上最早的三角函數(shù)表，即從0°到90°每隔半度的弦表．

希臘的天文學(xué)影響了印度天文學(xué)的發(fā)展，這無(wú)疑也推動(dòng)了三角學(xué)的進(jìn)步．許多從希臘人那里繼承的計(jì)算法則發(fā)生了系統(tǒng)的變化．首先是用正弦，即半弦代替全弦，它們之間的關(guān)系是chord2α=2sinα．正弦和余弦的表示

在《阿耶波提亞》和一些歷數(shù)書中已經(jīng)出現(xiàn)正弦、余弦和正矢函數(shù)(即半徑與余弦之差，關(guān)系為versα＝1－cosα，現(xiàn)已不用)．阿耶波多Ⅰ稱正弦為jva，是獵人的弓弦的意思．后來(lái)傳到阿拉伯國(guó)家，譯為dschba．由于阿拉伯文書寫中只保留輔音和長(zhǎng)元音，這個(gè)詞就寫成dschaib，意為“胸膛”．12世紀(jì)，歐洲人譯為拉丁文的“胸膛”(Sinus)，最后演變成Sine．印度人稱余弦為kotijva，即余角的正弦，或簡(jiǎn)寫為koti．譯為阿拉伯文為dschaibaltamam．12世紀(jì)，由克雷莫那的杰拉德(GerardofCermona)譯為拉丁文Sinusresidui．15世紀(jì)的數(shù)學(xué)家開(kāi)始使用Sinuscomplementi，即余角的正弦．1620年第一次出現(xiàn)縮寫符號(hào)co·sinus表示余弦．

阿育王(在位年代約為公元前268-前232年)是印度第一個(gè)信奉佛教的君主阿育王石柱記錄了現(xiàn)在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的最早形態(tài)巴克沙利手稿（前2－3世紀(jì)）瓜廖爾石碑（公元876年）印度的數(shù)學(xué)阿育王石柱（尼泊爾，1996）12世紀(jì)的婆什迦羅還使用了兩角和與差的正弦法則．當(dāng)半徑不等于1時(shí)，印度學(xué)者則用文字來(lái)描述這些命題．在天文學(xué)中應(yīng)用三角學(xué)自然要制造三角函數(shù)表．印度最早的正弦和正矢表出現(xiàn)在《太陽(yáng)的知識(shí)》和《阿耶波提亞》中

15011502年間，尼拉坎塔著有《科學(xué)文集》，書中研究出一整套包含在微積分和級(jí)數(shù)論萌芽中的方法．尼拉坎塔和東方的某些學(xué)者一樣，確信圓周長(zhǎng)與直徑之比是無(wú)理數(shù)．他在對(duì)《阿耶波提亞》的注釋中說(shuō)“如果直徑用某個(gè)單位來(lái)測(cè)量，那么周長(zhǎng)就不能準(zhǔn)確地用這個(gè)單位來(lái)測(cè)量；而如果對(duì)某個(gè)單位而言，周長(zhǎng)能夠測(cè)量時(shí)，直徑就不能準(zhǔn)確測(cè)量．”為了更準(zhǔn)確地計(jì)算π的值，他采用了級(jí)數(shù)求和方法計(jì)算π的10位準(zhǔn)確數(shù)字．這是計(jì)算數(shù)學(xué)的卓越成就，雖然在15世紀(jì)初阿拉伯學(xué)者卡西已經(jīng)得到更精確的近似值．尼拉坎塔的貢獻(xiàn)在于他擺脫了初等數(shù)學(xué)的束縛，他的方法比他的結(jié)果更重要．在此基礎(chǔ)上利用無(wú)窮小分析的思想，尼拉坎塔還得到了反正切級(jí)數(shù)的展開(kāi)式.

遺憾的是，這些數(shù)學(xué)思想不僅在印度本國(guó)沒(méi)有得到發(fā)展，而且也沒(méi)能及時(shí)傳播到其它國(guó)家去．但是，印度學(xué)者的其它貢獻(xiàn)——十進(jìn)位值制記數(shù)系統(tǒng)，一系列代數(shù)和數(shù)論方法，三角學(xué)的開(kāi)端，從13世紀(jì)末開(kāi)始傳到阿拉伯國(guó)家，并對(duì)后世東西方科學(xué)的進(jìn)步產(chǎn)生了強(qiáng)有力的影響．

中東地區(qū)地圖3.2阿拉伯的數(shù)學(xué)阿拉伯帝國(guó)簡(jiǎn)況先知穆罕默德（570－632）：610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年，一個(gè)以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統(tǒng)一的阿拉伯國(guó)家出現(xiàn)于阿拉伯半島。四大哈里發(fā)時(shí)期（632－661）：以“圣戰(zhàn)”為名進(jìn)行大規(guī)模的武力擴(kuò)張，為阿拉伯帝國(guó)的建立奠定了基礎(chǔ)。

倭馬亞王朝時(shí)期（661－750）：定都大馬士革，發(fā)動(dòng)大規(guī)模的對(duì)外戰(zhàn)爭(zhēng)，版圖東起印度西部，西至西班牙，北抵中亞，南達(dá)北非，成為地跨亞、非、歐三大洲的龐大帝國(guó)。阿拔斯王朝時(shí)期（750－1258）：遷都巴格達(dá)，750－842年是帝國(guó)的極盛時(shí)代，巴格達(dá)成為國(guó)際貿(mào)易與文化中心之一，創(chuàng)造出光輝燦爛的阿拉伯文化。阿拉伯帝國(guó)

在阿拉伯帝國(guó)的統(tǒng)治下，被征服的民族很快轉(zhuǎn)向伊斯蘭教．同時(shí)，阿拉伯語(yǔ)很快成為各國(guó)通行的語(yǔ)言，在知識(shí)界成為學(xué)術(shù)交流的工具．這和中世紀(jì)西方各國(guó)把拉丁語(yǔ)作為通用語(yǔ)言一樣．阿拉伯人和其它民族的人民共同創(chuàng)造了新的、別具一格的文化．當(dāng)時(shí)歐洲正處在漫長(zhǎng)的黑暗時(shí)期，阿拉伯世界的科學(xué)文化卻后來(lái)居上，成為當(dāng)時(shí)的人類科學(xué)文化中心之一．伊斯蘭教第一圣寺麥加城大清真寺哈利發(fā)馬蒙在巴格達(dá)創(chuàng)辦了著名的“智慧館”(Baytal－Hikmah)．這是自公元前3世紀(jì)亞歷山大博物館之后最重要的學(xué)術(shù)機(jī)關(guān)，除用作翻譯館外，還起到科學(xué)院和公共圖書館的作用，它還附設(shè)一座天文臺(tái)．在這里，大量的波斯、希臘和印度的古典著作被系統(tǒng)地譯為阿拉伯文．哈利發(fā)還組織力量對(duì)這些著作進(jìn)行廣泛而深入的研究．就這樣，東西方的文華精華被融合在一起，出現(xiàn)了一個(gè)學(xué)術(shù)繁榮時(shí)期．阿拉伯的數(shù)學(xué)研究就從這里開(kāi)始．

從8世紀(jì)起，大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期．由于阿拉伯人能夠控制或取得被占領(lǐng)帝國(guó)、埃及、敘利亞、波斯及印度諸國(guó)的人才和文化，所以他們得以接觸幾乎所有的古代重要著作．

當(dāng)古希臘的原著失傳之后，這些阿拉伯文譯本就成為后來(lái)歐洲人了解古希臘數(shù)學(xué)的主要來(lái)源，而許多古希臘時(shí)期的著作也正是通過(guò)它們的阿拉伯文譯本才得以流傳下來(lái)．漫長(zhǎng)而有效的翻譯時(shí)期之后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)出現(xiàn)了一個(gè)創(chuàng)造性的活躍時(shí)期．阿拉伯人不僅繼承了古典科學(xué)遺產(chǎn)，而且使之適合自己的特殊需要和思想方法．他們吸取和保存了希臘和印度數(shù)學(xué)的精華，加上他們自己的創(chuàng)造性勞動(dòng)，建立起獨(dú)具風(fēng)格的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．他們的貢獻(xiàn)為世界數(shù)學(xué)寶庫(kù)增添了光彩．

13世紀(jì)初，成吉思汗率蒙古部隊(duì)西征．13世紀(jì)中葉，成吉思汗之孫旭烈兀再次率兵西征，占領(lǐng)了原來(lái)阿拉伯哈利發(fā)在亞洲的所有領(lǐng)土，創(chuàng)立了伊兒汗國(guó)．蒙古人征服了這些伊斯蘭國(guó)家后不久，他們自己也都皈依了伊斯蘭教．到了14、15世紀(jì)，在中亞又出現(xiàn)了另一個(gè)蒙古帝國(guó)——帖木耳國(guó)．12世紀(jì)末，西班牙人推翻最后一個(gè)摩爾人的統(tǒng)治，阿拉伯人失去了他們?cè)跉W洲的立足點(diǎn)．阿拉伯帝國(guó)解體，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)走向衰落阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)是指7世紀(jì)伊斯蘭教興起后，崛起于阿拉伯半島，建立在橫跨亞、非、歐三洲的阿拉伯帝國(guó)統(tǒng)治下各民族所開(kāi)創(chuàng)的數(shù)學(xué)．通常所謂伊斯蘭國(guó)家的數(shù)學(xué)或中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)也是指阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．在伊斯蘭國(guó)家里，科學(xué)文化的發(fā)展是許多民族的學(xué)者共同勞動(dòng)的結(jié)果，數(shù)學(xué)也不例外．他們是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希臘人、敘利亞人、摩爾人、猶太人和阿拉伯人，等等．他們大都是伊斯蘭教徒．講到這一時(shí)期這一地區(qū)的數(shù)學(xué)，沒(méi)有很恰當(dāng)?shù)脑~語(yǔ)來(lái)表述，由于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)著作都是用阿拉伯文撰寫的，一般就統(tǒng)稱為阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)．上述各民族的學(xué)者有時(shí)也統(tǒng)稱為阿拉伯人．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)976年的西班牙數(shù)碼阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)伊斯坦布爾的天文學(xué)家

（1971）

消化希臘數(shù)學(xué),吸收印度數(shù)學(xué)

文化中心:巴格達(dá)

9-15世紀(jì)繁榮600年

對(duì)文藝復(fù)興后歐洲數(shù)學(xué)的進(jìn)步有深刻影響阿拉伯科學(xué)(突尼斯,1980)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)希臘(公元前6世紀(jì)-公元6世紀(jì))印度(公元5-12世紀(jì))波斯(公元前6世紀(jì)-前3世紀(jì))阿拉伯科學(xué)(公元9-15世紀(jì))阿爾·花拉子米（烏茲別克,783－850）（蘇聯(lián),1983）早期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué):8世紀(jì)中葉－9世紀(jì)

代數(shù)教科書的鼻祖：《代數(shù)學(xué)》(820)(復(fù)原與對(duì)消)1140年被羅伯特(英)譯成拉丁文

歐洲延用幾個(gè)世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)學(xué)教科書3.2.1阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的分期與杰出的數(shù)學(xué)家

《印度計(jì)算法》

創(chuàng)辦翻譯學(xué)?；ɡ用?MohammedibnMsal－Khowrizm，約780—約850)是一個(gè)拜火教徒的后裔，早年在家鄉(xiāng)花拉子米城接受初等教育后到中亞細(xì)亞古城默夫繼續(xù)深造．當(dāng)時(shí)阿拔斯王朝哈利發(fā)哈倫·賴世德的兒子馬蒙任東部地區(qū)的總督，住在默夫，他在那里召見(jiàn)過(guò)已經(jīng)遠(yuǎn)近聞名的花拉子米．813年，馬蒙成為阿拔斯王朝的哈利發(fā)后，花拉子米作為杰出的科學(xué)家被聘請(qǐng)去首都巴格達(dá)工作（馬蒙的司書官），并成為智慧館學(xué)術(shù)工作的主要領(lǐng)導(dǎo)人之一．在此期間，花拉子米創(chuàng)作了許多重要的、舉世聞名的科學(xué)著作，包括數(shù)學(xué)、天文學(xué)、地理和歷史等許多領(lǐng)域

花拉子米的算術(shù)著作只有譯本流傳下來(lái)．現(xiàn)在唯一能夠見(jiàn)到的，是14世紀(jì)中葉翻譯的拉丁文手稿，現(xiàn)保存在劍橋大學(xué)圖書館．譯文沒(méi)有標(biāo)題，以“DixitAlgoritmi…”開(kāi)頭，中斷在一個(gè)乘法例題之中．后來(lái)，這部譯本就定名為“Algoritmidenumeroindorum”，其中Algoritmi本來(lái)是花拉子米的拉丁文譯名，可是被人們理解為印度的讀數(shù)法，后來(lái)它竟演變成表示任何系統(tǒng)或計(jì)算程序的“算法”的專業(yè)術(shù)語(yǔ)algorithm．

820年

《代數(shù)學(xué)》由三部分組成：第一部分講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù)，第二部分論及各種實(shí)用算術(shù)問(wèn)題，最后一部分(也是最大的一部分)列舉了大量的關(guān)于繼承遺產(chǎn)的各種問(wèn)題．

花拉子米的

《代數(shù)學(xué)》

《代數(shù)學(xué)》．它的阿拉伯文書名是《ilmaljabrwa’lmuqabalah》．比較流行的一種說(shuō)法認(rèn)為現(xiàn)在西文中代數(shù)學(xué)一詞algebra由此書名中的aljabr脫胎而來(lái)．

aljabr原意是“還原”，根據(jù)上下文的意思，是指把負(fù)項(xiàng)移到方程另一端變成正項(xiàng)，方程才能平衡．muqabalah意即“化簡(jiǎn)”或“對(duì)消”，是指方程兩端可以消去相同的項(xiàng)或合并同類項(xiàng)．書名直譯應(yīng)為《還原與對(duì)消的科學(xué)》．

aljabr譯成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra則逐漸成為代數(shù)學(xué)這門科學(xué)的名稱．這一名稱的起源完全符合代數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)．代數(shù)的基礎(chǔ)就是脫離具體數(shù)字以一般的形式來(lái)考慮算術(shù)運(yùn)算，它的課題首先是提出解方程的變形規(guī)則．花拉子米正是以某種變形規(guī)則的名稱來(lái)為自己的書命名，從而體現(xiàn)了代數(shù)學(xué)的真髓

編制了中世紀(jì)最精密的歷法：哲拉里歷

研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求根的理論奧馬·海雅姆（伊朗，1048－1131年）（阿爾巴尼亞，1997）

中期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué):10－12世紀(jì)

《還原與對(duì)消問(wèn)題的論證》(1070)3.2.1阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的分期與杰出的數(shù)學(xué)家?jiàn)W馬·海雅姆陵墓（伊朗，1934年修建）阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)

阿拉伯的三角學(xué)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)對(duì)希臘三角學(xué)系統(tǒng)化，對(duì)中世紀(jì)歐洲影響最大的天文學(xué)家

《天文論著》（星的科學(xué)），發(fā)現(xiàn)地球軌道是一個(gè)經(jīng)常變動(dòng)的橢圓,創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)阿爾·巴塔尼（850－929年）三角學(xué)理論的貢獻(xiàn)利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表證明了三角公式：正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式提出地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn),太陽(yáng)是宇宙中心的思想阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)阿爾·比魯尼（973－1048年）（巴基斯坦，1973）

《論完全四邊形》：脫離天文學(xué)系統(tǒng)的三角學(xué)專著阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)納西爾丁·圖西（1201－1274年）（伊朗，1956）

后期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué):13－15世紀(jì)

對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起重要的作用阿爾·卡西（烏茲別克,1380－1429）（伊朗，1979）百科全書:《算術(shù)之鈅》(1427)

π的17位精確值(1424)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)

后期阿拉伯?dāng)?shù)學(xué):13－15世紀(jì)卡西計(jì)算了圓內(nèi)接3×2n邊形的周長(zhǎng)．他制造了28個(gè)大型表格，依次計(jì)算出n=1，2，…，28時(shí)圓內(nèi)接正3×2n邊形的周長(zhǎng)．若取r＝1，則可算得內(nèi)接正3×228邊形的周長(zhǎng)又計(jì)算出圓外切正3×228邊形的周長(zhǎng)．然后把它們的算術(shù)平均值

6.2831853071795865，除以2即得

π=3.1415926535897932．17位數(shù)字全部是準(zhǔn)確數(shù)字！

卡西的計(jì)算結(jié)果打破了中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之保持了一千多年的紀(jì)錄．

卡西在《算術(shù)之鑰》里，詳細(xì)地?cái)⑹隽耸M(jìn)制分?jǐn)?shù)的理論，并指出把六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)化為十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的方法．他的著作比較通俗，很易于理解．他自己寫道，用十進(jìn)制分?jǐn)?shù)表示圓的周長(zhǎng)與直徑之比，目的是為了使“不懂得天文學(xué)家用六十進(jìn)制分?jǐn)?shù)計(jì)算的人能夠掌握十進(jìn)制分?jǐn)?shù)．”卡西在引進(jìn)十進(jìn)制分?jǐn)?shù)之后，十分注意用四舍五入的方法簡(jiǎn)化計(jì)算，略去計(jì)算中沒(méi)有意義的數(shù)位．印度——阿拉伯?dāng)?shù)字印度－阿拉伯?dāng)?shù)字9世紀(jì)的印度數(shù)碼15世紀(jì)在歐洲使用的印度數(shù)碼阿拉伯人原來(lái)只有數(shù)詞，沒(méi)有數(shù)字．在征服埃及、敘利亞等國(guó)后不久，阿拉伯人就使用了希臘字母記數(shù)法．9世紀(jì)初，開(kāi)始出現(xiàn)阿拉伯字母記數(shù)法．公元773年(另一說(shuō)771年)，一位印度學(xué)者把印度天文學(xué)名著《悉檀多》(Siddhānta)帶到阿拔斯王朝哈利發(fā)曼蘇爾的宮廷中．不久，這部著作被譯成阿拉伯文．印度數(shù)字、位值記數(shù)法和算術(shù)運(yùn)算就這樣傳到阿拉伯國(guó)家．3.2.2阿拉伯的算術(shù)與代數(shù)花拉子米在他的著作中講述了印度人利用九個(gè)數(shù)字和零號(hào)的記數(shù)法，闡明了十進(jìn)位值制的原理，引進(jìn)了零的記號(hào)——形似字母“O”的小圓圈．13世紀(jì)的歐洲普遍用“小圓圈”或稱“暗碼”(ciffra)表示零號(hào)．“暗碼”這一術(shù)語(yǔ)一直使用到18世紀(jì)末．在15至16世紀(jì)，單詞ciffra開(kāi)始有表示數(shù)字0，1，2，…，9的符號(hào)的涵義，它來(lái)源于阿拉伯文as－sifr，后者是梵文中零的名稱Snya即“空的”的譯文．在歐洲中世紀(jì)，拉丁語(yǔ)單詞nulle—“一無(wú)所有的”、“空的”——在一些歐洲語(yǔ)言中以不同形式表示零．十進(jìn)位值制記數(shù)法在阿拉伯國(guó)家的普及經(jīng)歷了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)期．在整個(gè)中世紀(jì)這種記數(shù)法也沒(méi)有完全代替其它形式的記數(shù)法．許多人仍然使用“詞句記數(shù)法”．花拉子米系統(tǒng)地論述了六種類型的一次和二次方程的解法．這些方程由下列三種量構(gòu)成：根、平方、數(shù)．根相當(dāng)于現(xiàn)在的未知數(shù)x，平方就是x2，數(shù)是常數(shù)項(xiàng)．《代數(shù)學(xué)》完全用文字?jǐn)⑹?，沒(méi)有出現(xiàn)任何字母和縮寫符號(hào)．為了表達(dá)方便起見(jiàn)，我們同時(shí)用現(xiàn)代的符號(hào)來(lái)表示這六種方程：

1．平方等于根ax^2=bx

2．平方等于數(shù)ax^2＝c

3．根等于數(shù)ax=c

4．平方和根等于數(shù)ax^2＋bx=c

5．平方和數(shù)等于根ax^2＋c＝bx

6．根和數(shù)等于平方bx＋c＝ax^2

例如“一個(gè)平方數(shù)及其根的十倍等于三十九”即方程x^2＋10x＝39對(duì)于方程x^2＋10x＝39的兩種解法第一種方法是在邊長(zhǎng)為x的正方形的四個(gè)邊上向外作邊長(zhǎng)為x和5/2的矩形，再在這個(gè)圖形的四角作邊長(zhǎng)為5/2的四個(gè)小正方形，然后把圖形補(bǔ)充為邊長(zhǎng)為(x＋5)的大正方形(圖6.2)．第二種方法是在邊長(zhǎng)為x的兩個(gè)鄰邊上向外作邊長(zhǎng)為x和5的矩形，然后把圖形補(bǔ)充為邊長(zhǎng)為(x＋5)的大正方形(圖6.3)．花拉子米都利用已知方程x^2＋10x＝39求出大正方形的面積為64，然后開(kāi)方，再求出x來(lái)．11世紀(jì)，阿拉伯學(xué)者已經(jīng)熟悉了丟番圖的《算術(shù)》書．凱拉吉在《發(fā)赫里》中大量地引用《算術(shù)》書的內(nèi)容，他不僅把先輩們關(guān)于二次方程的理論網(wǎng)羅殆盡，而且無(wú)論在理論還是應(yīng)用方面都出現(xiàn)了一系列新內(nèi)容．他引進(jìn)的代數(shù)運(yùn)算比艾布卡米爾的更豐富、更系統(tǒng)，他所選用的習(xí)題比花拉子米甚至丟番圖的更多樣化．給出了下面關(guān)于三次根式運(yùn)算的關(guān)系式：提出了求兩個(gè)二次根式的和與差的一般運(yùn)算法則：奧馬海雅姆的代數(shù)著作中共列出14種典型的三次方程．對(duì)每種方程，他都適當(dāng)?shù)剡x擇兩種圓錐曲線，用類似上述的方法求出方程的幾何解．深入研究他的方法，人們發(fā)現(xiàn)海亞姆所選擇的曲線還遵循著一定的規(guī)律，這也正是他的方法的巧妙之處．一些科學(xué)史家認(rèn)為，奧馬海雅姆解三次方程的幾何方法是笛卡兒解析幾何學(xué)的先驅(qū)性工作．如果把奧馬海雅姆的工作與笛卡兒的《幾何學(xué)》進(jìn)行比較，不難發(fā)現(xiàn)，奧馬海雅姆的具有一般性的方法與解析幾何學(xué)的思想是同源的．他的工作預(yù)示了新數(shù)學(xué)的發(fā)展方向．阿拉伯代數(shù)學(xué)也有很大的局限性．首先，阿拉伯人沒(méi)有引進(jìn)負(fù)數(shù)(艾布瓦法的著作中出現(xiàn)了唯一的例外)．為了避免負(fù)數(shù)，他們對(duì)方程進(jìn)行了細(xì)致的分類．解方程過(guò)程中，放棄了負(fù)根和零根．其次，阿拉伯人沒(méi)有使用字母或縮寫符號(hào)，他們的代數(shù)著作完全用文字?jǐn)⑹觯@兩方面都比印度人倒退了一步．3.2.2阿拉伯的算術(shù)與代數(shù)阿拉伯幾何學(xué)主要受歐幾里得、阿基米德和希羅(Heron)的影響

艾布瓦法在他的《幾何作圖法》(Kjtābfīmāyahtaji-layhal-snij‘minal-a‘malal-handasiyya)中，研究了用直尺和固定角規(guī)作圖的問(wèn)題，給出拋物線作法及各種圓內(nèi)接正多邊形的作法，還研究了某些等積問(wèn)題

奧馬海雅姆也曾為《幾何原本》中某些公設(shè)作出注釋，他的著作《對(duì)歐幾里得幾何原本中困難公設(shè)的注釋》

納西爾丁為證明歐幾里得第五公設(shè)作出了嘗試．沃利斯在17世紀(jì)把他的證明譯成拉丁文，并稱之為“現(xiàn)有論證中最機(jī)智的論證”．納西爾丁工作是非歐幾何最重要的先驅(qū)性工作．

3.2.3阿拉伯的幾何與三角納西爾丁還證明了以下與第五公設(shè)等價(jià)的命題：

(1)垂線與斜線必然相交．

(2)自角內(nèi)的一點(diǎn)永遠(yuǎn)可以引一直線與該角的兩個(gè)邊相交卡西在他的代表作《圓周論》中給出關(guān)于π的異常精采的計(jì)算10—11世紀(jì)伊拉克學(xué)者伊本海塞姆(al－Hasanibnal-Haytham，約965—1039)曾計(jì)算拋物弓形分別繞弦、頂點(diǎn)切線或任意直徑旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體之體