【課件】橢圓及其標準方程+課件高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2023/2/51雙曲線拋物線圓橢圓3.1.1橢圓及其標準方程——“傳說中的”飛碟幾何代數(shù)圓:平面內到定點距離等于定長的動點的軌跡.橢圓是滿足什么幾何條件的點的軌跡呢？數(shù)學實驗觀察并思考下面兩個問題：(1)動點運動出的軌跡是什么？(2)動點滿足怎樣的幾何條件？（1）在平面內（2）到兩定點F1，F(xiàn)2的距離等于定長(線總長2a，∣MF1∣+∣MF2∣=2a)F1F2M（3）定長2a

>|F1F2|結合實驗以及“圓的定義”,思考討論應該如何定義橢圓？它應該包含幾個要素？※當∣MF1∣+∣MF2∣=∣F1F2∣，動點M軌跡為線段※當∣MF1∣+∣MF2∣<∣F1F2∣，動點M軌跡不存在說明：※當∣MF1∣+∣MF2∣＞∣F1F2∣，動點M軌跡為橢圓

平面內到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(2a，大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．F1F2M1.橢圓的定義※這兩個定點F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點※兩焦點的距離（∣F1F2∣=2c）叫做焦距OXYF1F2M步驟一：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?設動點坐標步驟二：找關系式，列方程步驟三：化簡方程求曲線方程的步驟:2.橢圓方程的建立由橢圓的定義,可知：|MF1|+|MF2|=2a3.方程的推導由兩點間的距離公式，可知：xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)因2a>2c，即a>c，故a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式,可得：兩邊同時除以a2(a2-c2)

得：xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)方程叫做橢圓的標準方程4．橢圓標準方程分析※焦點在x軸上※焦點坐標是F1(-c，0)、F2(c，0)※b2=a2－c2．xyOF2(c,0)F1(-c,0)M(x,y)思考2023/2/5如果橢圓的焦點在y軸上，焦點是F1(0,-c)、F2(0,c)．方程是怎樣呢？xy這個也是橢圓的標準方程

由兩點間的距離公式，可知：xy設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)，又由橢圓的定義可得：

|MF1|+|MF2|=2aOxyMF1(-c,0)F2(c,0)yxOF1F2M(0,-c)(0,c)橢圓的標準方程的再認識：（1）形式（2）三個參數(shù)滿足a2=b2+c2（3）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上1.判定下列橢圓的焦點在哪個軸，并指明a2、b2，寫出焦點坐標答：在x

軸.（-3，0）和（3，0）答：在y軸.（0，-5）和（0，5）答：在y

軸.（0，-1）和（0，1）小試牛刀焦點在分母大的那個軸上從橢圓標準方程判斷焦點位置：哪個分母大，焦點就在哪個軸上圖形焦點坐標定義a、b、c關系焦點位置判斷xyF1F2POxyF1F2PO標準方程平面內到兩個定點的距離之和為常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡是橢圓.問題：根據(jù)表格比較兩種標準方程結構之間的異同？課本練習例1

已知橢圓的兩個焦點坐標分別是(-2,0),(2,0),并且經(jīng)過點.求它的標準方程.解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設它的標準方程為由橢圓的定義知所以又因為,所以因此,所求橢圓的標準方程為定義法另解:因為橢圓的焦點在x軸上,所以設它的標準方程為:①②聯(lián)立①②,因此,所求橢圓的標準方程為:又∵焦點的坐標為待定系數(shù)法2023/2/522(3)(方法一)①當橢圓的焦點在x軸上時,優(yōu)化設計86頁例12023/2/523②當橢圓的焦點在y軸上時,2023/2/524利用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程:當焦點位置不確定時,可設橢圓方程為mx2+ny2=1(m≠n,m>0,n>0).因為它包括焦點在x軸上(m<n)或焦點在y軸上(m>n)兩類情況,所以可以避免分類討論,從而簡化了運算.【變式訓練1】

求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)中心在原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過兩點(2,0)和(0,1);(方法二)設橢圓的方程為Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).解:(1)設橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).因為橢圓過(2,0)和(0,1)兩點,【變式訓練1】

求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)中心在原點,焦點在坐標軸上,且經(jīng)過兩點(2,0)和(0,1);(2)(方法一)因為橢圓的焦點在y軸上,探究二橢圓的定義及其應用在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①由橢圓的定義得10=|PF1|+|PF2|,即100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②②-①,得3|PF1|·|PF2|=75,∴|PF1|·|PF2|=25,在本例中,把“∠F1PF2=60°”改為“∠F1PF2=90°”,其余條件不變,試求△PF1F2的面積.解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,∴25=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|,由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=10,

例2

如圖，在圓上任取一點P，過點P作x軸的垂線段PD，D為垂足.當點P在圓上運動時，線段PD的中點M的軌跡是什么？為什么？解：設點M的坐標為（x,y）,點P的坐標為（x0,y0）,則因為點P（x0,y0）在圓①把點ｘ0=x，y0=2y代入方程①，得即所以點M的軌跡是一個橢圓.例3

如圖，設點A，B的坐標分別是(-5，0)和(5，0),直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之積是,求點M的軌跡方程.yAxMBO解：設點M的坐標（x,y）,因為點A的坐標是（-5,0）,所以,直線AM的斜率為同理，直線BM的斜率由已知有化簡，得點M的軌跡方程為優(yōu)化設計88頁解析:設Q(x,y),P(x0,y0),由點Q是線段OP的中點知x0=2x,y0=2y.反思感悟

利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

【易錯辨析】

忽略橢圓方程中的條件a>b而致誤以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯誤的原因是沒有注意橢圓的標準方程中a>b這個條件,當a=b時,方程并不表示橢圓.隨堂練習A.4 B.5 C.8 D.10解析:|PF1|+|PF2|=2a=10.答案:DA.(±4,0) B.(0,±4)C.(±3,0) D.(0,±3)解析:橢圓的焦點在y軸上,且c=3,故焦點坐標為(0,±3).答案:D3.已知橢圓的焦點在y軸上,其上任意一點到兩焦點的距離之和為8,焦距為2,則此橢圓的標準方程為

.

答案:a>0,且a≠15.已知B,C是兩個定點,|BC|=8,且△ABC的周長為18,求這個三角形頂點A的軌跡方程.解:以過B,C兩點的直線為x軸,線段BC的中點為原點,建立平面直角坐標系.由|BC|=8,可知點B(-4,0),C(4,0).由|AB|+|BC|+|AC|=18,得|AB|+|AC|=10>|BC|=8.因此,點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,這個橢圓上的點與兩個焦點的距離之和為2a=10,即a=5,且點A不能在x軸上.由a=5,c=4,得b2=9.

圖形方程焦點F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之間的關系c2=