機(jī)械振動(dòng)4兩自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第四章1《振動(dòng)力學(xué)》kcm建模方法1：將車、人等全部作為一個(gè)質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對(duì)汽車的上下振動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模例子：汽車行駛在路面上會(huì)產(chǎn)生上下振動(dòng)缺點(diǎn)：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互影響優(yōu)點(diǎn)：模型簡(jiǎn)單（單自由度）分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運(yùn)動(dòng)存在耦合2《振動(dòng)力學(xué)》k2c2m車m人k1c1建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點(diǎn)：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響需兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)3《振動(dòng)力學(xué)》m人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車m輪m輪建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點(diǎn)：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確問(wèn)題：如何描述各個(gè)質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？需多個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)4《振動(dòng)力學(xué)》本章教學(xué)內(nèi)容§4.1自由振動(dòng)§4.2靜力耦合和動(dòng)力耦合§4.3任意初始條件的自由振動(dòng)§4.4簡(jiǎn)諧激勵(lì)的強(qiáng)迫振動(dòng)§4.5動(dòng)力減振器5《振動(dòng)力學(xué)》兩自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程一般由兩個(gè)聯(lián)立的微分方程組成。兩自由度系統(tǒng)以固有頻率進(jìn)行的振動(dòng)，這種相對(duì)固定的位移形態(tài)稱為固有振型，或模態(tài)。解兩個(gè)聯(lián)立的微分方程會(huì)得到兩個(gè)特征根，即兩個(gè)固有頻率。有兩個(gè)相對(duì)固定的位移形態(tài)。§4.1自由振動(dòng)6《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)m1k2(x1-x2)m2k3x2

寫成矩陣形式：其中：實(shí)例：剛度矩陣質(zhì)量矩陣7《振動(dòng)力學(xué)》找x1與x2同步運(yùn)動(dòng)的解：代入方程得：（4.1-4）要使上式有解，必須：8《振動(dòng)力學(xué)》與單自由度振動(dòng)的方程一樣，要有振動(dòng)，λ必須為正實(shí)數(shù)。代入方程得：（4.1-9）代數(shù)方程，有非零解的條件：特征行列式，（4.1-10）9《振動(dòng)力學(xué)》10《振動(dòng)力學(xué)》11《振動(dòng)力學(xué)》12《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2k3x1x2解：方程其中：例4.1-1：13《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2k3x1x2111-0.514《振動(dòng)力學(xué)》解：方程其中：例4.1-2：15《振動(dòng)力學(xué)》例4.1-2：求扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和固有振型兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的扭轉(zhuǎn)剛度建立方程：16《振動(dòng)力學(xué)》特征方程：特征根：17《振動(dòng)力學(xué)》節(jié)面處始終保持不動(dòng)。118《振動(dòng)力學(xué)》例4.1-3討論汽車簡(jiǎn)化模型，試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。k1k2ABCOal1l2O0xθ設(shè)剛性桿AB的質(zhì)量為m，相對(duì)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，彈簧剛度系數(shù)為k1、k2，以O(shè)點(diǎn)為參考點(diǎn)，O點(diǎn)與質(zhì)心C的距離為a，距離A、B點(diǎn)分別為l1、l2，相對(duì)靜平衡位置O0的位移為x，剛性桿相對(duì)平衡位置的偏角為θ。19《振動(dòng)力學(xué)》解：以x、θ為廣義坐標(biāo)k1k2ABCOal1l2O0xθ系統(tǒng)的動(dòng)能：θ為小量20《振動(dòng)力學(xué)》兩彈簧的伸長(zhǎng)量：k1k2ABCOal1l2O0xθ系統(tǒng)的勢(shì)能：θ為小量21《振動(dòng)力學(xué)》2個(gè)自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：：廣義坐標(biāo)：拉格朗日函數(shù)：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力此處為x和θ。自由振動(dòng)時(shí)，Qi為0。代入拉格朗日方程，得：22《振動(dòng)力學(xué)》代入拉格朗日方程，得：矩陣形式：存在慣性耦合存在彈性耦合2個(gè)自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：23《振動(dòng)力學(xué)》如果O點(diǎn)選在質(zhì)心C：只存在彈性耦合，而不出現(xiàn)慣性耦合：作用在質(zhì)心上的外力合力和合力矩24《振動(dòng)力學(xué)》如果O點(diǎn)選在這樣一個(gè)特殊位置，使得：只存在慣性耦合，而不出現(xiàn)彈性耦合這個(gè)特殊位置稱為系統(tǒng)的剛度中心25《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2m3k3x1x2x3例5.1.2：試建立右圖系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。解1：廣義坐標(biāo)：x1、x2、x3，均以靜平衡位置為原點(diǎn)。系統(tǒng)的勢(shì)能：系統(tǒng)的動(dòng)能：設(shè)某一瞬時(shí)：分別有位移速度為26《振動(dòng)力學(xué)》：對(duì)應(yīng)于非保守廣義力自由振動(dòng)時(shí)，Qi為0。代入拉格朗日方程：得：27《振動(dòng)力學(xué)》寫成矩陣形式：其中：28《振動(dòng)力學(xué)》受力分析：Q1(t)k1x1k2(x1-x2)m1Q2(t)k2(x1-x2)m2k3(x2–x3）解2：用牛頓力學(xué)方法，設(shè)廣義坐標(biāo)：x1、x2、x3，均以靜平衡位置為原點(diǎn)。設(shè)某一瞬時(shí)：分別有位移加速度為m1m2k1k2m3k3x1x2x3Q3(t)k3(x2-x3)m329《振動(dòng)力學(xué)》Q1(t)k1x1k2(x1-x2)m1Q2(t)k2(x1-x2)m2k3(x2–x3）Q3(t)k3(x2-x3)m3寫成矩陣形式：其中：30《振動(dòng)力學(xué)》5.1.3剛度矩陣與柔度矩陣動(dòng)力學(xué)方程組有明確的物理意義。剛度矩陣K的元素kij(i=1,2,…,n)稱為剛度影響系數(shù)。現(xiàn)考慮靜變形的特殊情況，即令方程：中的加速度項(xiàng)為0，那么彈性恢復(fù)力與非保守力平衡：對(duì)任意的i，若只有一個(gè)qj=1，其它q均為0，則kij=Qi31《振動(dòng)力學(xué)》對(duì)任意的i，若只有一個(gè)qj=1，其它q均為0，則kij=Qi剛度影響系數(shù)kij可理解為：使系統(tǒng)僅產(chǎn)生沿qj坐標(biāo)的單位位移時(shí)，必須施加與qi坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。利用這個(gè)意義，我們可以求出剛才例子的各剛度影響系數(shù)。ki1：只有q1=1，其它q均為0，k11=

Q1,k21=

Q2,k31=

Q3。ki2：只有q2=1，其它q均為0，k12=

Q1,k22=

Q2,k32=

Q3。ki3：只有q3=1，其它q均為0，k13=

Q1,k23=

Q2,k33=

Q3。32《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2m3k3x1x2x3令

令令得剛度矩陣：kij可理解為：使系統(tǒng)僅產(chǎn)生沿qj坐標(biāo)的單位位移時(shí)，必須施加與qi坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。33《振動(dòng)力學(xué)》考慮M：√假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移即：q=0則有：有了剛度矩陣，還需要質(zhì)量矩陣，才能寫出作用力方程：若只有qj=1,其它q=034《振動(dòng)力學(xué)》使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列。結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力根據(jù)其物理意義可以直接求出質(zhì)量影響系數(shù)mij和剛度影響系數(shù)kij。然后寫出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法。35《振動(dòng)力學(xué)》m1m2k1k2m3k3x1x2x3令

令令得質(zhì)量矩陣：對(duì)右圖求質(zhì)量矩陣。質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力Qi。有了剛度矩陣和質(zhì)量矩陣就可以寫出動(dòng)力學(xué)方程。36《振動(dòng)力學(xué)》柔度矩陣將動(dòng)力學(xué)方程：各項(xiàng)左乘K的逆陣K-1：其中，F(xiàn)=K-1稱為系統(tǒng)的柔度矩陣，其元素fij(i,j=1,2,…,n)稱為柔度影響系數(shù)。D=FM稱為系統(tǒng)的動(dòng)力矩陣。考慮在靜變形時(shí)，各廣義加速度均為0，方程變?yōu)椋哼@又稱為位移方程37《振動(dòng)力學(xué)》因此，柔度影響系數(shù)fij可理解為：對(duì)系統(tǒng)僅施加與qj坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的單位廣義力時(shí)，沿qi坐標(biāo)所產(chǎn)生的位移。柔度矩陣也是對(duì)稱矩陣，它與剛度矩陣互為逆陣，若剛度矩陣正定，柔度矩陣也正定。但動(dòng)力矩陣D=FM通常不是對(duì)稱矩陣。若令Q=0，得到保守系統(tǒng)自由振動(dòng)的另一種形式的動(dòng)力學(xué)方程。38《振動(dòng)力學(xué)》對(duì)3個(gè)自由度的質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)，可以利用柔度影響系數(shù)的物理意義求出柔度矩陣。m1m2k1k2m3k3x1x2x3令：令：39《振動(dòng)力學(xué)》令：得到柔度矩陣：m1m2k1k2m3k3x1x2x340《振動(dòng)力學(xué)》動(dòng)力矩陣：柔度影響系數(shù)更容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出。彈性梁的柔度影響系數(shù)可直接引自材料力學(xué)公式。這個(gè)動(dòng)力矩陣就不是對(duì)稱矩陣。41《振動(dòng)力學(xué)》若上例最左邊一個(gè)彈簧取消，則剛度矩陣變?yōu)椋簁1m1m2k2m3k3x1x2x3令：這時(shí)，即剛度矩陣為奇異陣，其逆矩陣即柔度矩陣不存在。其實(shí)，由于左端的約束取消后，系統(tǒng)處于游離狀態(tài)。對(duì)任一個(gè)物塊施加外力，各靜位移均是不定值，即求不得柔度影響系數(shù)。其彈性位移xi均不能確定。這種系統(tǒng)稱為半正定系統(tǒng)。42《振動(dòng)力學(xué)》各質(zhì)量上作用垂直力為Pi，垂直位移為xi(i=1,2,3)。忽略梁的質(zhì)量，求柔度矩陣。

（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡(jiǎn)化）假設(shè)是常力

以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度。取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)的原點(diǎn)。

再來(lái)看彈性梁?jiǎn)栴}x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll彈性梁跨度為4l，抗彎剛度為EI，均布3個(gè)集中質(zhì)量mi(i=1,2,3),43《振動(dòng)力學(xué)》m1

位移：m2位移：（1）（2）f11f21P1=1f31m3位移：m1

位移：m2位移：m3位移：f12f22P2=1f32（3）利用對(duì)稱性：44《振動(dòng)力學(xué)》得到柔度矩陣：x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll用質(zhì)量影響系數(shù)的物理意義可求出質(zhì)量矩陣。令

令令質(zhì)量矩陣M中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力Qi。45《振動(dòng)力學(xué)》x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll可以寫出動(dòng)力學(xué)方程：46《振動(dòng)力學(xué)》動(dòng)力學(xué)方程可統(tǒng)一表示為：位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣激勵(lì)力向量若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為

n

維質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、柔度矩陣的對(duì)稱性、正定性本節(jié)小結(jié)：47《振動(dòng)力學(xué)》本節(jié)作業(yè)：5.1；5.248《振動(dòng)力學(xué)》例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計(jì)摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)49《振動(dòng)力學(xué)》解：的原點(diǎn)分別取在的靜平衡位置

建立坐標(biāo)：設(shè)某一瞬時(shí)：上分別有位移加速度受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x2m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)50《振動(dòng)力學(xué)》建立方程：矩陣形式：牛頓定理坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)P1(t)k1x1k2(x1-x2)m1P2(t)k2(x1-x2)m2k3x251《振動(dòng)力學(xué)》例2：轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)兩圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的三個(gè)段的扭轉(zhuǎn)剛度試建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程外力矩52《振動(dòng)力學(xué)》解：建立坐標(biāo)：角位移設(shè)某一瞬時(shí)：角加速度受力分析：53《振動(dòng)力學(xué)》建立方程：矩陣形式：坐標(biāo)間的耦合項(xiàng)54《振動(dòng)力學(xué)》多自由度系統(tǒng)的角振動(dòng)與直線振動(dòng)在數(shù)學(xué)描述上相同如同在單自由度系統(tǒng)中做過(guò)的那樣，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)55《振動(dòng)力學(xué)》小結(jié)：可統(tǒng)一表示為：例1：例2：作用力方程位移向量加速度向量質(zhì)量矩陣剛度矩陣激勵(lì)力向量若系統(tǒng)有n個(gè)自由度，則各項(xiàng)皆為

n

維多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程56《振動(dòng)力學(xué)》剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當(dāng)M、K

確定后，系統(tǒng)動(dòng)力方程可完全確定M、K

該如何確定？作用力方程：先討論K加速度為零則：假設(shè)外力是以準(zhǔn)靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程57《振動(dòng)力學(xué)》作用力方程：假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力，它們使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個(gè)坐標(biāo)上不產(chǎn)生位移即：代入，有：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程58《振動(dòng)力學(xué)》所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣K

的第j列（i=1~n）：在第i

個(gè)坐標(biāo)上施加的力結(jié)論：剛度矩陣

K

中的元素kij

是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第

i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程59《振動(dòng)力學(xué)》作用力方程：討論M√假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時(shí)，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移即：X=0則有：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程60《振動(dòng)力學(xué)》使系統(tǒng)只在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標(biāo)上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第j列結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素是使系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第i個(gè)坐標(biāo)上所需施加的力又分別稱為質(zhì)量影響系數(shù)和剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出矩陣M

和K，從而建立作用力方程，這種方法稱為影響系數(shù)方法。多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程61《振動(dòng)力學(xué)》例：寫出M

、K

及運(yùn)動(dòng)微分方程m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：先只考慮靜態(tài)令

令令剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程62《振動(dòng)力學(xué)》只考慮動(dòng)態(tài)令有：令有：令有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程63《振動(dòng)力學(xué)》運(yùn)動(dòng)微分方程：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程64《振動(dòng)力學(xué)》例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量質(zhì)心繞通過(guò)自身質(zhì)心的z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，寫出在x-y平面內(nèi)擺動(dòng)的作用力方程兩剛體質(zhì)量h1C1C2h2lxy多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程65《振動(dòng)力學(xué)》受力分析h1C1C2h2lxyxy多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程66《振動(dòng)力學(xué)》解：先求質(zhì)量影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程67《振動(dòng)力學(xué)》令有：令有：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程68《振動(dòng)力學(xué)》求剛度影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實(shí)際上是求重力影響系數(shù)令有：令有：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程69《振動(dòng)力學(xué)》令有：令有：剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程70《振動(dòng)力學(xué)》運(yùn)動(dòng)微分方程：yh1C1C2h2lx多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程71《振動(dòng)力學(xué)》例：求：以微小轉(zhuǎn)角為坐標(biāo)，寫出微擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程每桿質(zhì)量m桿長(zhǎng)度l水平彈簧剛度k彈簧距離固定端akaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程72《振動(dòng)力學(xué)》解：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：令：則需要在兩桿上施加力矩分別對(duì)兩桿O1、O2

求矩：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程73《振動(dòng)力學(xué)》剛度矩陣：aO1O2aO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程74《振動(dòng)力學(xué)》令：則需要在兩桿上施加力矩令：則需要在兩桿上施加力矩質(zhì)量矩陣：aO1O2kaO1O2k多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程75《振動(dòng)力學(xué)》運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程76《振動(dòng)力學(xué)》例：兩自由度系統(tǒng)擺長(zhǎng)

l，無(wú)質(zhì)量，微擺動(dòng)求：運(yùn)動(dòng)微分方程xm1k1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程77《振動(dòng)力學(xué)》解：先求解剛度矩陣令：令：m1k1k2m1k1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程78《振動(dòng)力學(xué)》剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程79《振動(dòng)力學(xué)》求解質(zhì)量矩陣令：令：m1k1k2慣性力m1k1k2慣性力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程80《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣：xm1k1k2剛度矩陣：運(yùn)動(dòng)微分方程：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程81《振動(dòng)力學(xué)》位移方程和柔度矩陣對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，有時(shí)通過(guò)柔度矩陣建立位移方程比通過(guò)剛度矩陣建立作用力方程來(lái)得更方便些。柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反以一個(gè)例子說(shuō)明位移方程的建立

x1m1x2m2P1P2無(wú)質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡(jiǎn)化）假設(shè)是常力

以準(zhǔn)靜態(tài)方式作用在梁上梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標(biāo)的原點(diǎn)

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程82《振動(dòng)力學(xué)》m1

位移：m2位移：時(shí)（1）時(shí)（2）m1

位移：m2位移：同時(shí)作用（3）m1

位移：m2位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程83《振動(dòng)力學(xué)》同時(shí)作用時(shí)：矩陣形式：其中：柔度矩陣物理意義：系統(tǒng)僅在第j個(gè)坐標(biāo)受到單位力作用時(shí)相應(yīng)于第i

個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移

柔度影響系數(shù)f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程84《振動(dòng)力學(xué)》當(dāng)是動(dòng)載荷時(shí)集中質(zhì)量上有慣性力存在

位移方程x1m1x2m2P1P2m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程85《振動(dòng)力學(xué)》位移方程：又可：作用力方程：

若K非奇異柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：或：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程86《振動(dòng)力學(xué)》對(duì)于允許剛體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在應(yīng)當(dāng)注意：位移方程不適用于具有剛體自由度的系統(tǒng)m1m2k1k2m3原因：在任意一個(gè)坐標(biāo)上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運(yùn)動(dòng)而無(wú)法計(jì)算各個(gè)坐標(biāo)上的位移剛度矩陣K奇異多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程87《振動(dòng)力學(xué)》例：求圖示兩自由度簡(jiǎn)支梁橫向振動(dòng)的位移方程已知梁的抗彎剛度矩陣為x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程88《振動(dòng)力學(xué)》由材料力學(xué)知，當(dāng)B點(diǎn)作用有單位力時(shí)，A點(diǎn)的撓度為：柔度影響系數(shù)：柔度矩陣：位移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程89《振動(dòng)力學(xué)》例：教材P72例4.1-2，求柔度陣（1）在坐標(biāo)

x1

上對(duì)質(zhì)量m1

作用單位力系統(tǒng)在坐標(biāo)x1、x2、x3

上產(chǎn)生位移為:m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：（2）在坐標(biāo)

x2

上對(duì)質(zhì)量m2

作用單位力（3）在坐標(biāo)

x3

上對(duì)質(zhì)量m3

作用單位力多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程90《振動(dòng)力學(xué)》因此：可以驗(yàn)證，有：m1m2k1k2m3k3x1x2x3多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程91《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立

是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱矩陣A

是半正定的

根據(jù)分析力學(xué)的結(jié)論，對(duì)于定常約束系統(tǒng)：動(dòng)能：勢(shì)能：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程92《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立

是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱矩陣A

是半正定的

動(dòng)能：除非所以，正定即：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程93《振動(dòng)力學(xué)》質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n階方陣A

正定并且等號(hào)僅在時(shí)才成立

是指對(duì)于任意的

n維列向量y，總有成立如果時(shí)，等號(hào)也成立，那么稱矩陣A

是半正定的

勢(shì)能：對(duì)于僅具有穩(wěn)定平衡位置的系統(tǒng)，勢(shì)能在平衡位置上取極小值V>0當(dāng)各個(gè)位移不全為零時(shí)，

K正定K>0對(duì)于具有隨遇平衡位置的系統(tǒng)，存在剛體位移對(duì)于不全為零的位移存在V

＝0K半正定多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程94《振動(dòng)力學(xué)》振動(dòng)問(wèn)題中主要討論K陣正定的系統(tǒng)及K陣半正定的系統(tǒng)，前者稱為正定振動(dòng)系統(tǒng)，后者稱為半正定振動(dòng)系統(tǒng)

多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程95《振動(dòng)力學(xué)》耦合與坐標(biāo)變換矩陣中非零的非對(duì)角元元素稱為耦合項(xiàng)質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為慣性耦合剛度矩陣或柔度矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為彈性耦合以兩自由度系統(tǒng)為例不存在慣性耦合存在慣性耦合多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程96《振動(dòng)力學(xué)》如果系統(tǒng)僅在第一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生加速度可見，不出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上引起慣性力；而出現(xiàn)慣性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度還會(huì)在別的坐標(biāo)上引起慣性力同樣道理，不出現(xiàn)彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力；而出現(xiàn)彈性耦合時(shí)，一個(gè)坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移還會(huì)在別的坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程97《振動(dòng)力學(xué)》例：研究汽車上下振動(dòng)和俯仰振動(dòng)的力學(xué)模型表示車體的剛性桿AB的質(zhì)量為m，桿繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic懸掛彈簧和前后輪胎的彈性用剛度為k1和k2的兩個(gè)彈簧來(lái)表示寫出車體微振動(dòng)的微分方程選取D點(diǎn)的垂直位移和繞D點(diǎn)的角位移為坐標(biāo)ABCDa1a2el1l2lk1k2多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程98《振動(dòng)力學(xué)》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2簡(jiǎn)化形式多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程99《振動(dòng)力學(xué)》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD車體所受外力可以向D點(diǎn)簡(jiǎn)化為合力PD

和合力矩MD由于微振動(dòng)，桿質(zhì)心的垂直位移、桿繞質(zhì)心的角位移：首先采用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程系統(tǒng)的動(dòng)能：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程100《振動(dòng)力學(xué)》ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCD系統(tǒng)的動(dòng)能：系統(tǒng)的勢(shì)能：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程101《振動(dòng)力學(xué)》n

自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：：廣義坐標(biāo)：拉格朗日函數(shù)：對(duì)應(yīng)于有勢(shì)力以外的其它非有勢(shì)力的廣義力計(jì)算廣義力Q1

和Q2設(shè)在坐標(biāo)xD上有虛位移非有勢(shì)力做功因此非有勢(shì)力做功因此設(shè)在坐標(biāo)上有虛位移ABCD多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程102《振動(dòng)力學(xué)》代入拉格朗日方程，得：矩陣形式：存在慣性耦合存在彈性耦合多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程103《振動(dòng)力學(xué)》采用振動(dòng)力學(xué)方法求解首先求剛度矩陣令：對(duì)D點(diǎn)取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程104《振動(dòng)力學(xué)》令：對(duì)D點(diǎn)取矩：力平衡：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD剛度矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程105《振動(dòng)力學(xué)》求質(zhì)量矩陣令：ABCDa1a2el1l2lk1k2CD慣性力質(zhì)心C所受的慣性力：力平衡：力矩平衡：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)/多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程106《振動(dòng)力學(xué)》令：ABCDa1a2el1l2lk1k2質(zhì)心C所受的慣性力矩：力平衡：對(duì)D點(diǎn)取矩：CD慣性力矩慣性力質(zhì)心C所受的慣性力：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動(dòng)