垂直于弦的直徑1

垂直于弦的直徑

———（垂徑定理）實(shí)踐探究把一個(gè)圓沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．●O如圖，AB是⊙O的一條弦，做直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E．（1）這個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和??？為什么？·OABCDE思考（1）是軸對(duì)稱(chēng)圖形．直徑CD所在的直線是它的對(duì)稱(chēng)軸（2）線段：AE=BE⌒⌒?。海粒茫剑拢?，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒直徑ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒CD為⊙O的直徑CD⊥AB條件結(jié)論⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BDCAEBO.D想一想：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦對(duì)的兩條弧。結(jié)論⌒⌒⌒⌒AE=BEAC=BCAD=BDCD為⊙O的直徑CD⊥AB條件垂徑定理三種語(yǔ)言定理垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.●OABCDM└CD⊥AB,如圖∵CD是直徑,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.條件CD為直徑CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB結(jié)論·OABCDE垂徑定理

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。}設(shè)結(jié)論（1）直徑（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)?。?）平分弦所對(duì)的劣弧①CD是直徑②CD⊥AB可推得③AE=BE,⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．垂徑定理的幾個(gè)基本圖形判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？注意：定理中的兩個(gè)條件（直徑，垂直于弦）缺一不可！

EOABDCEABCDEOABDCEOABCEOCDAB

練習(xí)1OBAED在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧.O8cm1．半徑為4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圓心O到弦AB的距離是

。2．⊙O的直徑為10cm，圓心O到弦AB的距離為3cm，則弦AB的長(zhǎng)是

。3．半徑為2cm的圓中，過(guò)半徑中點(diǎn)且垂直于這條半徑的弦長(zhǎng)是

。

練習(xí)2ABOEABOEOABE方法歸納:解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常連接半徑；過(guò)圓心作一條與弦垂直的線段等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件。垂徑定理經(jīng)常和勾股定理結(jié)合使用。E.ACDBO.ABOE例1如圖，已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑。講解AB.O垂徑定理的應(yīng)用2．如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形.作業(yè)評(píng)講如圖，在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB、OM的長(zhǎng)。解：連接OA在⊙O中，直徑CD⊥弦AB∴AB=2AM△OMA是Rt△∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM=10–4=6在Rt

△OMA中，AO=10，OM=6根據(jù)勾股定理，得：∴∴AB=2AM=2x8=16弦心距：過(guò)一個(gè)圓的圓心作弦的垂線,圓心與垂足之間的距離叫做弦心距如圖：圓O中，AB是圓O中的一條弦，其中OC⊥AB圓心到弦的距離用d表示，半徑用r表示，弦長(zhǎng)用a表示，則d，r，a之間滿足什么樣的關(guān)系呢？1.在半徑為30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，則O到AB的距離是=

。OABP練一練24mm已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？證明：過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE?！郃E－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE練一練注意：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，過(guò)圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，也是一種常用輔助線的添法．∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d線段加減圓弧加減1、如圖，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.

求證：AC=BD。

⌒⌒FE解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E在⊙O中，OF⊥弦ABG交⊙O于點(diǎn)G交AB于點(diǎn)F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒2、如圖4，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C、D是直線AB上兩點(diǎn)，且AC＝BD求證：△OCD為等腰三角形。E4、如圖為一圓弧形拱橋，半徑OA=10m，拱高為4m，求拱橋跨度AB的長(zhǎng)。

2、如圖，P為⊙O的弦BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半徑。關(guān)于弦的問(wèn)題，常常需要過(guò)圓心作弦心距，這是一條非常重要的輔助線。弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形，便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。MAPBOA再逛趙州石拱橋如圖，用表示橋拱，所在圓的圓心為O，半徑為Rm，經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與相交于點(diǎn)C.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)知在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.RD37.47.2R-7.218.71300多年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)是弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒Gabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d線段加減圓弧加減1、如圖，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD.

求證：AC=BD。

⌒⌒FE解：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD，交CD于點(diǎn)E在⊙O中，OF⊥弦ABG交⊙O于點(diǎn)G交AB于點(diǎn)F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒練一練在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.ED┌

600變形題在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示.若油面寬AB=600mm，求油的最大深度.BAO600?650DC如圖：在直徑是20cm的兩條半徑的夾角是中，，那么弦AB=

，點(diǎn)O到弦AB的距離OD=

。如圖：在直徑是20cm的兩條半徑的夾角是中，，那么弦AB=

，點(diǎn)O到弦AB的距離OD=

。練習(xí):如圖，CD為圓O的直徑，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的長(zhǎng)。H方法規(guī)律

想一想已知：如圖，直徑CD⊥AB，垂足為E.⑴若半徑R=2，AB=,求OE、DE的長(zhǎng).⑵若半徑R=2，OE=1，求AB、DE的長(zhǎng).⑶由⑴、⑵兩題的啟發(fā)，你能總結(jié)出什么規(guī)律嗎？解這個(gè)方程，得R=545.例1。如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓?。磮D中弧CD,點(diǎn)0是弧CD的圓心），其中CD=600m，E為弧CD上的一點(diǎn)，且OE垂直于CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑。EODCF解：連接OC，設(shè)彎路的半徑為Rm,則OF=(R-90)m?！逴E┴CD∴CF=CD=x600=300(m).根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2.所以，這段彎路的半徑為545m11.矩形ABCD與圓O交A,B,E,FDE=1cm,EF=3cm,則AB=___ABFECDO5cm挑戰(zhàn)自我畫(huà)一畫(huà)4.如圖,圓O與矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的長(zhǎng).·ABCD0EFGH2.如圖,AB是⊙O的直徑,CD為弦,DC⊥AB于E,則下列結(jié)論不一定正確的是()A.∠COE=∠DOEB.CE=DEC.OE=BED.BD=BC3.已知⊙O半徑為2cm,弦AB長(zhǎng)為cm,則這條弦的中點(diǎn)到這條弦所對(duì)的劣弧中點(diǎn)的距離為()A.1cmB.2cmC.cmD.cmCA探索垂徑定理的逆定理1.想一想：如下圖示，AB是⊙O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M．同學(xué)們利用圓紙片動(dòng)手做一做，然后回答：（1）此圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是，其對(duì)稱(chēng)軸是什么?（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由。駛向勝利的彼岸由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,⌒⌒⑤AD=BD.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。ABCDMCD⊥AB,由CD是直徑AM=BM⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.可推得推論：垂徑定理及推論直徑(過(guò)圓心的線)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣??；(5)平分優(yōu)弧.知二得三注意:“直徑平分弦則垂直弦.”這句話對(duì)嗎?()錯(cuò)●OABCDM└垂徑定理及逆定理想一想P919●OABCDM└條件結(jié)論命題①②③④⑤①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧.垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦和所對(duì)的另一條弧.平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線經(jīng)過(guò)圓心,并且垂直平分弦.試一試P9312駛向勝利的彼岸挑戰(zhàn)自我填一填1、判斷：⑴垂直于弦的直線平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.（）⑵平分弦所對(duì)的一條弧的直徑一定平分這條弦所對(duì)的另一條弧.（）⑶經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直徑一定垂直于弦.（ ）⑷圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行.（）⑸弦的垂直平分線一定平分這條弦所對(duì)的弧.（）√√一、判斷是非：（1）平分弦的直徑，平分這條弦所對(duì)的弧。（2）平分弦的直線，必定過(guò)圓心。（3）一條直線平分弦（這條弦不是直徑），那么這條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5）平分弧的直線，平分這條弧所對(duì)的弦。（6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。C(4)ABOABCDO(5)ABCDO(6)E判斷下列說(shuō)法的正誤①平分弧的直徑必平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直線必垂直弦③垂直于弦的直徑平分這條弦④平分弦的直徑垂直于這條弦

⑤弦的垂直平分線是圓的直徑⑥平分弦所對(duì)的一條弧的直徑必垂直這條弦

⑦在圓中，如果一條直線經(jīng)過(guò)圓心且平分弦，必平分此弦所對(duì)的弧辨別是非挑戰(zhàn)自我垂徑定理的推論

如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?老師提示:這兩條弦在圓中位置有兩種情況:●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)垂徑定理的推論圓的兩條平行弦所夾的弧相等.例２．已知:如圖,ＡＢ是⊙Ｏ直徑,AB=10,弦AC=8,D是弧AC中點(diǎn),求CD的長(zhǎng).E5432解：（1）AC=CB，OC是半徑（已知）OCAB(如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑垂直這條弧所對(duì)的弦）ADO=90OAB+AOC=90OAB=90-35=55例一、如圖所示，C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D，AOC=35,AD=16cm求（1）OAB的度數(shù)（2）AB的長(zhǎng)ABCDO(如果圓的直徑平分弧，那么這條直徑平分這條弧所對(duì)的弦)解：（2）AC=CB，CD經(jīng)過(guò)圓心O（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cm例一、如圖所示，C是AB的中點(diǎn)，OC交AB于點(diǎn)D，AOC=35,AD=16cm求（1）OAB的度數(shù)（2）AB的長(zhǎng)ABCDO變式提高OABC（1）已知⊙O的半徑為4.5，它的內(nèi)接ΔABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,AD+AB=10,求AD的長(zhǎng)。（2）若D是BC的中點(diǎn)，AD⊥BC,BC=24,AD=9,求⊙O的半徑。DBACDO(1)解：連結(jié)OB,延長(zhǎng)AD，則必過(guò)圓心O。若設(shè)AD=x，則OD=4.5-x,AB=10-x在RtΔABD和RtΔOBD中，BD2=AB2－AD2=OB2－OD2即（10－x）2－x2=4.52－（4.5－x）2解得x=4即AD=4已知P為內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝2cm，如果的半徑是，那么過(guò)P點(diǎn)的最短的弦等于

.2.P為⊙O內(nèi)一點(diǎn),且OP=2cm,若⊙O的半徑為3cm,則過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)等于()A.1cmB.2cmC.CmD.D垂徑定理的應(yīng)用解法訓(xùn)練:二、請(qǐng)你選擇正確的答案1.同心圓中,大圓的弦AB交小圓于C,D,已知AB=4,CD=2,AB的弦心距為1,則兩個(gè)同心圓的半徑之比為()A.3:2B.:C.:2D.5:42.已知:AB是⊙O的直徑,OA=10,弦CD=16,則A,B兩點(diǎn)到CD的距離之和等于()A.24B.12C.16D.6BB垂徑定理的應(yīng)用解法訓(xùn)練:二、請(qǐng)你選擇正確的答案ABEFCD.O.OABCDEF已知：如圖，AB是的直徑，CD是弦,AE⊥CD,垂足為E.BF⊥CD垂足為F.求證：EC=DF已知：如圖，AB是的直徑，CD是弦,CE⊥CD,DF⊥CD求證：AE=BFGG一題多變達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、填空1、已知AB、CD是⊙O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的兩部分，則弦和圓心的距離為——cm.2、已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,則弦MN和EF之間的距離為——.3、已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為——4、在半徑為25cm的⊙O中，弦AB=40cm，則此弦和弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)的距離是——5、⊙O的直徑AB=20cm,∠BAC=30°則弦AC=——14cm或2cm25cm10cm和40cm103cm4.如圖,在⊙O中,AB,AC是互相垂直的兩條弦,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,且AB=8cm,AC=6cm,那么⊙O的半徑為()A.4cmB.5cmC6cmD8cm5.在半徑為2cm的圓中,垂直平分半徑的弦長(zhǎng)為

.6.如圖,⊙O直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,已知AE=6cm,BE=2cm,∠CEA=30°,則CD長(zhǎng)為

.BF8.已知:如圖,AB,CD是⊙O直徑,D是AC中點(diǎn),AE與CD交于F,OF=3,則BE=

.9.如圖,DE⊙O的直徑,弦AB⊥DE,垂足為C,若AB=6,CE=1,則CD=

,OC=

.10.已知⊙O的直徑為10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16,則弦AB與CD的距離為

.6942cm或14cm

3.為改善市區(qū)人民生活環(huán)境，市建設(shè)污水管網(wǎng)工程，某圓柱型水管的直徑為100cm，截面如圖，若管內(nèi)污水的面寬AB=60cm，則污水的最大深度為

cm；

能力提升：若遇下雨天，管內(nèi)污水水面上升了70cm，則污水的水面寬AB=

cm；