學(xué)習(xí)情境1、2-緒論與誤差理論

地質(zhì)與測(cè)繪工程學(xué)院：朱紅俠電話0一三年九月誤差理論與測(cè)量與平差基礎(chǔ)誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)全書共有十二章：

第一章緒論

第二、三章全書的基礎(chǔ)知識(shí)

第四章介紹測(cè)量平差理論

第五、六、七、八章4種平差方法

第九章各種平差方法的總結(jié)

第十章討論點(diǎn)位精度

第十一章統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的知識(shí)

第十二章近代平差概論

根據(jù)教學(xué)大綱的要求，重點(diǎn)講解第一章~第十章的內(nèi)容。第一章緒論第一節(jié)觀測(cè)誤差第二節(jié)測(cè)量平差學(xué)科的研究對(duì)象第三節(jié)測(cè)量平差的簡(jiǎn)史和發(fā)展第四節(jié)本課程的任務(wù)和內(nèi)容授課目的要求:

明確觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因,掌握誤差分類及其處理方法。重點(diǎn)、難點(diǎn):誤差分類及其處理方法。本章中要解決的問題觀測(cè)（測(cè)量）的概念誤差的概念如何發(fā)現(xiàn)觀測(cè)誤差測(cè)量中為什么存在觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差如何分類和如何處理了解測(cè)量平差的發(fā)展測(cè)量平差的任務(wù)是什么

1.

觀測(cè)（測(cè)量）的概念

用一定的測(cè)量工具、儀器和一切的手段、傳感器直接采集或者通過一個(gè)平臺(tái)來采集有關(guān)信息的過程和結(jié)果。

2.

誤差的概念日常生活中經(jīng)常遇見的如量距、量身高、稱體重等，幾次的結(jié)果一定不完全系統(tǒng)，幾次之間就存在誤差。

誤差：表示某物理量、幾何量或參數(shù)實(shí)際測(cè)量值與真值之間的差值。3.

如何發(fā)現(xiàn)觀測(cè)誤差？測(cè)量差異：一量重復(fù)觀測(cè)值之間存在差異;平面三角形內(nèi)角和觀測(cè)值與其理論值之間存在差異；水準(zhǔn)閉合環(huán)觀測(cè)值與其理論值之間存在差異。以上的差異說明觀測(cè)中存在觀測(cè)誤差誤差的表現(xiàn)形式：重復(fù)觀測(cè)值之間存在差異實(shí)際觀測(cè)值不滿足應(yīng)有的理論關(guān)系觀測(cè)條件

觀測(cè)者

儀器

外界環(huán)境

采用一定的

在一定的

中測(cè)取

技術(shù)水平工作態(tài)度

精密度誤差

溫度、濕度風(fēng)力等

觀測(cè)條件對(duì)觀測(cè)成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)生觀測(cè)誤差觀測(cè)條件較好則觀測(cè)質(zhì)量較高,觀測(cè)條件較差則觀測(cè)質(zhì)量較低,觀測(cè)條件相同則觀測(cè)質(zhì)量相同。

4.

測(cè)量中為什么存在觀測(cè)誤差?真誤差

觀測(cè)值的真值

觀測(cè)值

向量形式

其中

觀測(cè)誤差如何計(jì)算？觀測(cè)誤差

粗差

系統(tǒng)誤差

偶然誤差

處理粗差:重復(fù)觀測(cè)嚴(yán)格檢核計(jì)算中發(fā)現(xiàn)

發(fā)現(xiàn)后舍棄或重測(cè)

系統(tǒng)誤差:采用適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法校正儀器計(jì)算加改正系統(tǒng)誤差補(bǔ)償

偶然誤差:采用測(cè)量平差的方法

5.誤差如何分類18世紀(jì)末，在測(cè)量學(xué)、天文測(cè)量學(xué)等實(shí)踐中提出了如何消除由于觀測(cè)誤差引起的觀測(cè)量之間的矛盾問題法國(guó)大地測(cè)量學(xué)家拉普拉斯（Laplace1749-1827）最早提出測(cè)量偶然誤差的概率分布密度函數(shù)1794年德國(guó)大地測(cè)量學(xué)家高斯（Gauss1777-1855）首先提出最小二乘法1806年法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德爾（Legendre1752-1833）在論著《決定衛(wèi)星軌道的新方法》中獨(dú)立提出最小二乘法1809年高斯在他的《天體沿圓錐面繞太陽運(yùn)動(dòng)的理論》著作中，對(duì)勒讓德爾的最小二乘法作了理論上的闡述。6.測(cè)量平差的簡(jiǎn)史與發(fā)展19世紀(jì)初到20世紀(jì)50-60年代，在基于偶然誤差的依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則的平差方法作了許多研究。從法方程系數(shù)矩陣滿秩擴(kuò)展到法方程系數(shù)矩陣虧秩從僅處理靜態(tài)數(shù)據(jù)擴(kuò)展到處理動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)從待估參數(shù)為非隨機(jī)量擴(kuò)展到待估參數(shù)為隨機(jī)量從觀測(cè)值僅含偶然誤差擴(kuò)展到有含有系統(tǒng)誤差和粗差從獨(dú)立觀測(cè)擴(kuò)展到相關(guān)觀測(cè)的平差理論

7.測(cè)量平差的任務(wù)與內(nèi)容

測(cè)量平差的定義：依據(jù)某種最優(yōu)化準(zhǔn)則，由一系列帶有觀測(cè)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)，求定未知量的最佳估值及精度的理論和方法。主要任務(wù)：講述測(cè)量平差的基本理論和基本方法；研究對(duì)象：處理帶有偶然誤差的觀測(cè)列；教學(xué)目的：掌握誤差理論和經(jīng)典平差基本原理及各種平差

方法；兩大任務(wù)：參數(shù)估計(jì)精度評(píng)定本章小結(jié)觀測(cè)值中為什么存在觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差如何計(jì)算觀測(cè)誤差如何分類？如何處理測(cè)量平差的任務(wù)是什么第二章誤差分布與精度指標(biāo)全章共分5節(jié)，是本課程的重點(diǎn)內(nèi)容之一。

重點(diǎn)：偶然誤差的規(guī)律性，精度的含義以及衡量精度的指標(biāo)。

難點(diǎn)：精度、準(zhǔn)確度、精確度等概念。

要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然誤差的統(tǒng)計(jì)規(guī)律；牢固掌握衡量精度的幾個(gè)指標(biāo)。第一節(jié)正態(tài)分布1.一維正態(tài)分布

如果在一系列個(gè)別因素引起的誤差項(xiàng)對(duì)誤差的總和的影響都是均勻地小，那么其總和即測(cè)量誤差就是服從正態(tài)分布。隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量X的方差：服從正態(tài)分布的一維隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量X的方差：連續(xù)型離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)變量X的方差：數(shù)學(xué)期望：反映隨機(jī)變量集中位置的數(shù)字特征方差：反映隨機(jī)變量偏離集中位置的離散程度2.n

維正態(tài)分布n維正態(tài)隨機(jī)向量X的聯(lián)合概率密度為：數(shù)學(xué)期望：方差：第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性

定義：在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如誤差出現(xiàn)符號(hào)和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。但具有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。如果真值：數(shù)學(xué)期望：

誤差區(qū)間dΔ

為負(fù)值的Δ

為正值的Δ

個(gè)數(shù)vi

相對(duì)個(gè)數(shù)

vi

/n

個(gè)數(shù)vi相對(duì)個(gè)數(shù)

vi/n0.0"---0.5"0.5-----1.01.0----1.51.5----2.02.0----2.52.5----3.03.0----3.53.5以上

12310475552720100

0.1510.1270.0920.0670.0330.0250.0120

121907851391590

0.1480;1100.0960.0620.0480.0180.0110

和

414

0.507

403

0.493

從表可以看出,該組誤差的分布規(guī)律為:絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差多;絕對(duì)值相等的正誤差個(gè)數(shù)與負(fù)誤差個(gè)數(shù)相近,誤差的絕對(duì)值有一定限制,最大誤差不超過3.5″。

-3.5-2.5-1.5-0.5+0.5+1.5+2.5+3.5-3-2-10+1+2+3誤差分布曲線x=

y誤差分布頻率直方圖縱坐標(biāo)：

特點(diǎn)：（1）具有一定的范圍。（有界性）（2）絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)概率大。（占優(yōu)性）（3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。（對(duì)稱性）（4）數(shù)學(xué)期限望等于零。（抵償性）即：

圖中各長(zhǎng)方條的縱坐標(biāo)為，其面積即為誤差出現(xiàn)在該區(qū)內(nèi)的頻率。如果將這個(gè)結(jié)果提到理論上來討論，則以理論分布取代經(jīng)驗(yàn)分布，此時(shí)，圖中各長(zhǎng)方條的縱坐標(biāo)就是△的密度函數(shù)f（△），而長(zhǎng)方條的面積為f（△）d△，即代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間內(nèi)的概率，即P（△）=f(△)d△

假設(shè)誤差服從正態(tài)分布，可寫出△的概率密度式為偶然誤差△是服從N（0，）分布的隨機(jī)變量。第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)

從教材中2-1和2-2可得以下結(jié)果：

結(jié)論：第一組比第二組誤差分布較為集中，或離散度小。

從直方圖看第一組比第二組圖頂峰較高，且各長(zhǎng)方條所構(gòu)成的階梯較陡峭。

在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一組觀測(cè)，它對(duì)應(yīng)著一種確定的誤差分布。如果分布較為密集，即離散度較小時(shí)，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量較好也就是說，這一組觀測(cè)精度較高；反之，如果分布較為離散，即離散度較大時(shí)，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量較差，也就是說，這一組觀測(cè)精度較低。

精度的概念：所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散的程度，也就是指離散程度的大小。

假如兩組觀測(cè)成果的誤差分布相同，便是兩組觀測(cè)成果的精度相同；反之，若誤差分布不同，則精度也就不同。

在相同的觀測(cè)條件下所進(jìn)行的一組觀測(cè)，由于它們對(duì)應(yīng)著同一種誤差分布，因此，對(duì)于這一組中的每一個(gè)觀測(cè)值，都稱為是同精度觀測(cè)值。

方差的概念

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)知，隨機(jī)變量X的方差定義為

一、方差和中誤差誤差的概率密度函數(shù)為：是誤差分布的方差，由方差的定義而偶然誤差的數(shù)學(xué)期望中誤差（恒為正）

不同的將對(duì)應(yīng)著不同形狀的分布曲線。愈小，曲線愈為陡峭，愈大，則曲線愈為平緩?fù)瑫r(shí)還說明了，正態(tài)分布曲線具有兩個(gè)拐點(diǎn)，它們?cè)跈M軸上的坐標(biāo)為義，為變量X的數(shù)學(xué)期望。對(duì)于偶然誤差而言，由于其數(shù)學(xué)期望為，所以拐點(diǎn)在橫軸上的坐標(biāo)應(yīng)為

的大小可以反映精度的高低。常用作為衡量精度的指標(biāo)。

如果在相同的條件下得到了一組獨(dú)立的觀測(cè)誤差，并根據(jù)定積分的定義可以寫出中誤差：方差和分別是和的極限值，即理論上的值。

但測(cè)量中的觀測(cè)值是有限的，那么用有限的觀測(cè)值的真誤差只能求得方差和中誤差的估值。在以后的章節(jié)中將“中誤差的估值”簡(jiǎn)稱為“中誤差”。

例題設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它進(jìn)行門10次觀測(cè)，求得每次觀測(cè)所得的三角形內(nèi)角和的真誤差為：第一組：＋3″，-2″，-4″，＋2″，0″，-4″，-3″+2″，-3″，-1″；第二組：0″，-1″，-7″，+2″，+1″，+1″，-8″，+0″，+3″，-1″。這兩組觀測(cè)值的中誤差的估值

二、平均誤差

平均誤差的概念：在一定的觀測(cè)條件下一組獨(dú)立的偶然誤差的絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望稱為平均誤差。對(duì)于相同條件下的一組獨(dú)立的觀測(cè)誤差，則有的密度函數(shù)式為：所以有所以，可以用平均誤差作為衡量精度的指標(biāo)。

因此，或然誤差也可以作為衡量精度的指標(biāo)將的密度函數(shù)代入并作變換，可得：三、或然誤差或然誤差的概念：誤差出現(xiàn)在之間的概率等于1/2,即是或然誤差。

將在相同觀測(cè)條件下得到的一組誤差。按絕對(duì)值的大小排列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，取位于中間的一個(gè)誤差值作為，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)則取中間兩個(gè)誤差值的平均值作。

或然誤差的幾何意義

因?yàn)闇y(cè)量中的觀測(cè)個(gè)數(shù)是有限的，因此只能得到或然誤差的估值。通常是先求出中誤差的估值，再求出或然誤差的估值。

例題：具體數(shù)據(jù)見教材表2-3

絕對(duì)值大于中誤差的偶然誤差，其出現(xiàn)的概率為31.7％,而絕對(duì)值大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率為4.5％，特別是絕對(duì)值大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率僅有0.3％，這已經(jīng)是概率接近于零的小概率事件或者說這是實(shí)際上的不可能事件。因次通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，并稱為極限誤差。即也有用2倍的中誤差作為極限誤差。四、極限誤差

五、相對(duì)誤差

相對(duì)誤差的概念：中誤差與觀測(cè)值之比稱為相對(duì)誤差。往往，中誤差相等，但精度并不一樣，這時(shí)要用相對(duì)誤差來衡量精度。測(cè)量中往往將相對(duì)誤差的分子化為1，分母用N表示。相對(duì)誤差也有極限誤差。與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、極限誤差等均稱為絕對(duì)誤差。第四節(jié)精度、準(zhǔn)確度與精確度

一、精度精度是指誤差分布的密集或離散的程度。當(dāng)觀測(cè)僅含偶然誤差時(shí)，其數(shù)學(xué)期望就是其真值，精度描述的是觀測(cè)值與真值接近程度，即偶然誤差的大小程度。精度是衡量偶然誤差大小的指標(biāo)。

當(dāng)討論兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，要考慮描述它們之間相互關(guān)系的數(shù)字特征——協(xié)方差。觀測(cè)誤差和觀測(cè)值都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，因此，兩個(gè)觀測(cè)值或兩個(gè)觀測(cè)誤差之間的相互關(guān)系，也是用協(xié)方差來描述的。設(shè)有X、Y的函數(shù)則定義g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為隨機(jī)變量X、Y的協(xié)方差，記為Dxy。

當(dāng)X=Y時(shí)，上式既是X或Y的方差。其中：1.協(xié)方差的定義和概念

對(duì)于一組2維觀測(cè)值，設(shè)△xi

是觀測(cè)值xi的真誤差，△yi

是觀測(cè)值yi的真誤差則對(duì)于二維隨機(jī)變量有ρ(X,Y)稱為隨機(jī)變量X，Y的相關(guān)系數(shù)，其反映X，Y的相關(guān)程度，當(dāng)ρ(X,Y)＝0時(shí)，X，Y不相關(guān)，即相互獨(dú)立，此時(shí)。

在測(cè)量工作中，直接觀測(cè)得到的高差、距離、角度和方向等都是獨(dú)立觀測(cè)值；按全組合測(cè)角法觀測(cè)并經(jīng)過測(cè)站平差后的方向值、三角高程測(cè)量求得的高差等，也是獨(dú)立觀測(cè)值。一般來說，獨(dú)立觀測(cè)值的各個(gè)函數(shù)之間是不獨(dú)立的或者說是相關(guān)的，因而它們是相關(guān)觀測(cè)值。2.觀測(cè)向量的精度指標(biāo)－－協(xié)方差陣假定有n個(gè)不同精度的相關(guān)觀測(cè)值Xi（i＝1，2，…，n），它們的數(shù)學(xué)期望和方差為和它們兩兩之間的協(xié)方差為，用矩陣表示為

式中為觀測(cè)值向量，為X的數(shù)學(xué)期望，而DXX為X的方差－協(xié)方差陣?？梢杂梅讲睿瓍f(xié)方差陣作為觀測(cè)向量的精度指標(biāo)。當(dāng)X中各觀測(cè)值之間互相獨(dú)立時(shí)，則所有的協(xié)方差為零，此時(shí)DXX為對(duì)角陣。

3.互協(xié)方差陣對(duì)于兩組觀測(cè)向量和，若記其數(shù)學(xué)期望為其中上式包含四個(gè)分塊矩陣DXY是觀測(cè)向量X關(guān)于Y的互協(xié)方差陣當(dāng)DXY＝0時(shí)，X，Y是相互獨(dú)立的觀測(cè)向量。二、準(zhǔn)確度

準(zhǔn)確度的概念：又名準(zhǔn)度，是指隨機(jī)變量的真值與其數(shù)學(xué)期望之差。準(zhǔn)確度表征了觀測(cè)結(jié)果中系統(tǒng)誤差的大小程度。當(dāng)無系統(tǒng)誤差時(shí)此時(shí)無系統(tǒng)誤差

三、精確度

精確度的概念：是指觀測(cè)結(jié)果與其真值得接近程度，精確度是全面衡量觀測(cè)質(zhì)量的指標(biāo)，當(dāng)不存在系統(tǒng)誤差時(shí)，就是精度。精確度的衡量指標(biāo)為均方誤差，其定義為：

所以

偶然誤差大，沒有明顯的系統(tǒng)誤差；精度低，準(zhǔn)確度高偶然誤差小，有明顯的系統(tǒng)誤差；精度高，準(zhǔn)確度低偶然誤差小，系統(tǒng)誤差??；精度高，準(zhǔn)確度高，即精確度高第五節(jié)測(cè)量不確定度測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性是指一種廣義的誤差，它即包含系統(tǒng)誤差和粗差，也包含數(shù)值和概念上的誤差以及可度量和不可度量的誤差。數(shù)據(jù)誤差的隨機(jī)性和數(shù)據(jù)概念上的不完整性及模糊性，都可以視為不確定性問題。測(cè)量不確定度是與測(cè)量結(jié)果相關(guān)聯(lián)的參數(shù)，用于表征合理地賦予被測(cè)量值的分散性，是不確定性度量指標(biāo)。不確定度是一個(gè)表示測(cè)量結(jié)果中用于說明測(cè)得值所處范圍的一個(gè)參數(shù)。它意味著對(duì)測(cè)量結(jié)果的正確性或準(zhǔn)確度的可疑程度，是用于表達(dá)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量?jī)?yōu)劣的一個(gè)指標(biāo)。由于不確定度是一個(gè)表示范圍的參