信道與隨機(jī)過程

第二章信道與隨機(jī)信號分析2.1信道的數(shù)學(xué)模型2.2信道容量2.3隨機(jī)信號分析2.4信道特性對信號傳輸?shù)挠绊?.5信道中的噪聲2.1信道的數(shù)學(xué)模型信道模型的分類：調(diào)制信道編碼信道編碼信道調(diào)制信道2.1

調(diào)制信道模型式中 －信道輸入端信號電壓； －信道輸出端的信號電壓；

－噪聲電壓。通常假設(shè)：這時上式變?yōu)椋?/p>

－信道數(shù)學(xué)模型f[ei(t)]e0(t)ei(t)n(t)圖2-1調(diào)制信道數(shù)學(xué)模型因k(t)隨t變，故信道稱為時變信道。因k(t)與ei(t)相乘，故稱其為乘性干擾。因k(t)作隨機(jī)變化，故又稱信道為隨參信道。若k(t)變化很慢或很小，則稱信道為恒參信道。乘性干擾特點：當(dāng)沒有信號時，沒有乘性干擾。

調(diào)制信道模型調(diào)制信道的主要特性絕大多數(shù)信道是線性的，即滿足疊加原理信號通過信道需要經(jīng)過一定的延時信道對信號有損耗（固定或時變損耗）即使沒有信號輸入，接收端仍有信號輸出（噪聲），通常稱為加性噪聲。2.1.2調(diào)制信道模型調(diào)制信道的分類恒參信道

k(t)不隨時間變化或變化極為緩慢

衛(wèi)通、微波中繼、有線信道等可看成恒參信道隨參信道

k(t)隨時間t隨機(jī)變化

天波、散射、地面無線信道等為隨參信道編碼信道模型編碼信道包括調(diào)制器、解調(diào)器、媒介在內(nèi)調(diào)制信道使傳輸信號發(fā)生波形變化編碼信道使數(shù)字序列發(fā)生0、1差錯與調(diào)制信道的關(guān)系傳輸波形變化通過解調(diào)產(chǎn)生數(shù)字差錯編碼信道模型采用數(shù)字信號的轉(zhuǎn)移概率來描述

編碼信道模型轉(zhuǎn)移概率編碼信道主要參數(shù)實際信道的轉(zhuǎn)移概率由大量實驗數(shù)據(jù)統(tǒng)計得到編碼信道的分類無記憶編碼信道碼元之間相互獨立有記憶編碼信道碼元之間存在相關(guān)性2.1.2編碼信道模型

二進(jìn)制編碼信道簡單模型－無記憶信道模型P(0/0)和P(1/1)－正確轉(zhuǎn)移概率P(1/0)和P(0/1)－錯誤轉(zhuǎn)移概率P(0/0)=1–P(1/0)P(1/1)=1–P(0/1)

P(1/0)P(0/1)0011P(0/0)P(1/1)圖2-2二進(jìn)制編碼信道模型發(fā)送端接收端四進(jìn)制編碼信道模型01233210接收端發(fā)送端12

2.2.1離散信道容量兩種不同的度量單位：C－每個符號能夠傳輸?shù)钠骄畔⒘孔畲笾礐t

－單位時間（秒）內(nèi)能夠傳輸?shù)钠骄畔⒘孔畲笾祪烧咧g可以互換2.2信道容量

信號必須經(jīng)過信道才能傳輸，單位時間內(nèi)信道上所能傳輸?shù)淖畲笮畔⒘糠Q為信道容量。它可用信道的最大信息傳輸速率(比特率)來表示。

由于信道有數(shù)字(離散)和模擬(連續(xù))之分，因此，信道容量也不相同。13計算離散信道容量的信道模型發(fā)送符號：x1，x2，x3，…，xn接收符號：y1，y2，y3，…，ymP(xi)=發(fā)送符號xi的出現(xiàn)概率，

i＝1，2，…，n；P(yj)=收到y(tǒng)j的概率，

j＝1，2，…，mP(yj/xi)=轉(zhuǎn)移概率，即發(fā)送xi的條件下收到y(tǒng)j的條件概率x1x2x3y3y2y1接收端發(fā)送端xn。。。。。。。。。ym圖2-3信道模型P(xi)P(y1/x1)P(ym/x1)P(ym/xn)P(yj)如果信道是無噪的,當(dāng)信源發(fā)出消息xi后,信宿必能準(zhǔn)確無誤地收到該消息,徹底消除對xi的不確定度,所獲得的信息量就是xi的不確定度I(xi),即xi本身含有的全部信息。一般而言,信道中總是存在著噪聲和干擾,信源發(fā)出消息xi,通過信道后信宿只可能收到由于干擾作用引起的某種變型yj

。信宿收到y(tǒng)j

后推測信源發(fā)出xi的概率p(xi|yj)稱為后驗概率。信源發(fā)出消息xi的概率p(xi)

稱為先驗概率。14互信息15互信息定義為

xi的后驗概率與先驗概率比值的對數(shù)互信息I(xi;yj)表示接收到某消息yj后獲得的關(guān)于事件xi的信息量。例：某地二月份天氣構(gòu)成的信源為：16若得知“今天不是晴天”,把這句話作為收到的消息y1當(dāng)收到y(tǒng)1后,各種天氣發(fā)生的概率變成后驗概率了p(x1|y1)

=0,p(x2|y1)

=1/2,p(x3|y1)

=1/4,p(x4|y1)

=1/4

求得自信息量分別為

表明從y1分別得到了x2x3x4各1比特的信息量。消息y1使x2

x3x4的不確定度各減少1bit。17無條件熵18信源熵條件熵聯(lián)合熵19從信息量的概念得知：發(fā)送xi時收到y(tǒng)j所獲得的信息量等于發(fā)送xi前接收端對xi的不確定程度（即xi的信息量）減去收到y(tǒng)j后接收端對xi的不確定程度。發(fā)送xi時收到y(tǒng)j所獲得的信息量=-log2P(xi)-[-log2P(xi

/yj)]對所有的xi和yj取統(tǒng)計平均值，得出收到一個符號時獲得的平均信息量：平均信息量/符號＝20平均信息量/符號＝式中 －為每個發(fā)送符號xi的平均信息量，稱為信源的熵。 －為接收yj符號已知后，發(fā)送符號xi的平均信息量。

由上式可見，收到一個符號的平均信息量只有[H(x)–H(x/y)]，而發(fā)送符號的信息量原為H(x)，少了的部分H(x/y)就是傳輸錯誤率引起的損失。21容量C的定義：每個符號能夠傳輸?shù)钠骄畔⒘孔畲笾?/p>

(比特/符號)當(dāng)信道中的噪聲極大時，H(x/y)=H(x)。這時C=0，即信道容量為零。容量Ct的定義：

(b/s)

式中r－單位時間內(nèi)信道傳輸?shù)姆枖?shù)單位時間內(nèi)信道上所能傳輸?shù)淖畲笮畔⒘糠Q為信息容量.220011P(0/0)=127/128P(1/1)=127/128P(1/0)=1/128P(0/1)=1/128發(fā)送端圖4-23對稱信道模型接收端【例2.2.1】設(shè)信源由兩種符號“0”和“1”組成，符號傳輸速率為1000符號/秒，且這兩種符號的出現(xiàn)概率相等，均等于1/2。信道為對稱信道，其傳輸?shù)姆栧e誤概率為1/128。試畫出此信道模型，并求此信道的容量C和Ct。

【解】此信道模型畫出如下：23此信源的平均信息量（熵）等于： （比特/符號）而條件信息量可以寫為現(xiàn)在P(x1/y1)=P(x2/y2)=127/128，

P(x1/y2)=P(x2/y1)=1/128，并且考慮到P(y1)+P(y2)=1，所以上式可以改寫為24平均信息量/符號＝H(x)–H(x/y)=1–0.045=0.955 （比特/符號）因傳輸錯誤每個符號損失的信息量為

H(x/y)=0.045（比特/符號）信道的容量C等于：信道容量Ct等于：25

前面討論了離散新到的容量，在此討論有擾模擬(連續(xù))信道的信道容量問題。

信號在信道中傳輸要受到干擾的影響，以致引起信息傳輸錯誤，我們把具有干擾的信道稱為有擾信道。那么，在怎樣的條件下，信道可以無失真(不丟失)地將信息以速率R進(jìn)行傳輸呢？香農(nóng)定理給出了理論答案：

對于一個給定的有擾信道，如果信息源的信息發(fā)出速率小于或等于信道容量，即R≤C，則理論上存在一種方法可使信息以任意小的差錯概率通過該信道傳輸。反之，若R＞C，則該信道將無法正確傳遞該信息。2.2.2有擾連續(xù)信道容量與香農(nóng)公式26

香農(nóng)公式給出了信道帶寬、信道容量和白色高斯噪聲干擾信號(或信道輸出信噪比)之間的關(guān)系

式中,C為信道容量(單位為bit/s或b/s)，B為信道帶寬(Hz)，S是信號功率，N是噪聲功率。

由于噪聲功率N與信道的頻帶寬度有關(guān)，設(shè)單邊噪聲功率譜密度為n0，則可得到香農(nóng)公式的另一種形式式中，N=n0B。(1.4-5)(1.4-6)27

當(dāng)S

，或n0

0時，Ct

。 但是，當(dāng)B

時，Ct將趨向何值？令：x=S/n0B，上式可以改寫為：利用關(guān)系式上式變?yōu)?8

上式表明，當(dāng)給定S/n0時，若帶寬B趨于無窮大，信道容量不會趨于無限大，而只是S/n0的1.44倍。這是因為當(dāng)帶寬B增大時，噪聲功率也隨之增大。

Ct和帶寬B的關(guān)系曲線：圖4-24信道容量和帶寬關(guān)系S/n0S/n0BCt1.44(S/n0)29上式還可以改寫成如下形式：式中 Eb

－每比特能量；

Tb=1/B

－每比特持續(xù)時間。 上式表明，為了得到給定的信道容量Ct，可以增大帶寬B以換取Eb的減小；另一方面，在接收功率受限的情況下，由于Eb=STb，可以增大Tb以減小S來保持Eb和Ct不變。30

從香農(nóng)公式中我們可得出以下結(jié)論：

(1)一個給定信道的信道容量受B、S、n0“三要素”的約束。信道容量隨“三要素”的確定而確定。

(2)提高信噪比(信號功率與噪聲功率之比)可提高信道容量。

(3)一個給定信道的信道容量既可以通過增加信道帶寬減少信號發(fā)射功率也可通過減少信道帶寬增加信號發(fā)射功率來保證。也就是說，信道容量可通過帶寬與信噪比的互換而保持不變。

比如，若S/N=7，B=4kHz，由香農(nóng)公式可算出C=12×103b/s；同樣的C，還可由S/N=15，B=3kHz來保證。

(4)雖然C與B成正比關(guān)系，但B→∞時，C卻不能隨之趨于無窮大。

31

典型的模擬電話系統(tǒng)信噪比為30dB(S／N=1000)，帶寬B=3000Hz，根據(jù)式(1.4―5)可得它的信道容量約為30kb/s。這個值是理論上限，實際的信息(數(shù)據(jù))傳輸速率都要低于30kb/s。

香農(nóng)定理告訴我們，有擾信道的最大信息傳輸速率(即信道容量)是有限的，信道容量受信道帶寬和信道信噪比的制約，只要給定了信道信噪比和帶寬，則信道的最大信息傳輸速率就確定了，并且該容量與信號取的離散值個數(shù)無關(guān)，無論用什么調(diào)制方式都無法改變。32【例2.2.2】已知黑白電視圖像信號每幀有30萬個像素；每個像素有8個亮度電平；各電平獨立地以等概率出現(xiàn)；圖像每秒發(fā)送25幀。若要求接收圖像信噪比達(dá)到30dB，試求所需傳輸帶寬。

【解】因為每個像素獨立地以等概率取8個亮度電平，故每個像素的信息量為

Ip=-log2(1/8)=3 (b/pix) (4.6-18)并且每幀圖像的信息量為

IF=300,0003=900,000(b/F) (4.6-19)因為每秒傳輸25幀圖像，所以要求傳輸速率為

Rb=900,00025=22,500,000=22.5106(b/s) (4.6-20)信道的容量Ct必須不小于此Rb值。將上述數(shù)值代入式：得到 22.5106=Blog2(1+1000)9.97B最后得出所需帶寬

B=(22.5106)/9.972.26(MHz)2.3.1隨機(jī)過程的基本概念2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程2.3.3高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程2.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2.3.5窄帶隨機(jī)過程2.3.6高斯白噪聲和帶限白噪聲

2.3隨機(jī)信號分析

2.3.1隨機(jī)過程的基本概念和統(tǒng)計特性2.3.1.1隨機(jī)過程的基本概念其變化過程可以用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述。其變化過程不可能用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述。

通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號和噪聲總帶有隨機(jī)性，從統(tǒng)計數(shù)學(xué)的觀點看，隨機(jī)信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機(jī)過程。確定性過程：隨機(jī)過程：

2.3.1.1隨機(jī)過程的概念

前面所討論的隨機(jī)變量是與試驗結(jié)果有關(guān)的某一個隨機(jī)取值的量。例如，在給定的某一瞬間測量接收機(jī)輸出端上的噪聲，所測得的輸出噪聲的瞬時值就是一個隨機(jī)變量。2.3.1隨機(jī)過程的一般表述顯然，如果連續(xù)不斷地進(jìn)行試驗，那么在任一瞬間都有一個與之相應(yīng)的隨機(jī)變量，于是這時的試驗結(jié)果就不僅是一個隨機(jī)變量，而是一個在時間上不斷變化的隨機(jī)變量的集合。我們定義隨時間變化的無數(shù)個隨機(jī)變量的集合為隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的基本特征是：它是時間t的函數(shù)，但在任一確定時刻上的取值是不確定的，是一個隨機(jī)變量；或者，可將它看成是一個事件的全部可能實現(xiàn)構(gòu)成的總體，其中每個實現(xiàn)都是一個確定的時間函數(shù)，而隨機(jī)性就體現(xiàn)在出現(xiàn)哪一個實現(xiàn)是不確定的。通信過程中的隨機(jī)信號和噪聲均可歸納為依賴于時間t的隨機(jī)過程。

由此從數(shù)學(xué)的角度，我們給出隨機(jī)過程這樣的定義：設(shè)(k=1,2,…)是隨機(jī)試驗，每一次試驗都有一個時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體就構(gòu)成一隨機(jī)過程，記作。簡言之無窮多個樣本函數(shù)的總體稱為隨機(jī)過程，如圖3-1所示。

圖3-1隨機(jī)過程波形2.3.1.1隨機(jī)過程的基本概念什么是隨機(jī)過程？隨機(jī)過程是一類隨時間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度看：角度1：對應(yīng)不同隨機(jī)試驗結(jié)果的時間過程的集合?！纠縩臺示波器同時觀測并記錄這n臺接收機(jī)的輸出噪聲波形樣本函數(shù)i(t)：隨機(jī)過程的一次實現(xiàn)，是確定的時間函數(shù)。隨機(jī)過程：

(t)={1(t),2(t),…,n(t)}是全部樣本函數(shù)的集合。角度2：隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。在任一給定時刻t1上，每一個樣本函數(shù)i(t)都是一個確定的數(shù)值i(t1)，但是每個i(t1)都是不可預(yù)知的。在一個固定時刻t1上，不同樣本的取值{i(t1),i=1,2,…,n}是一個隨機(jī)變量，記為

(t1)。換句話說，隨機(jī)過程在任意時刻的值是一個隨機(jī)變量。因此，我們又可以把隨機(jī)過程看作是在時間進(jìn)程中處于不同時刻的隨機(jī)變量的集合。這個角度更適合對隨機(jī)過程理論進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)描述。隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性是通過其概率分布函數(shù)或數(shù)字特征來表述的。一、隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度2.3.1.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計特征設(shè)表示一個隨機(jī)過程，在任意給定的時刻其取值是一個隨機(jī)變量。顯然，這個隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)來描述，

為隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)。如果對的偏導(dǎo)數(shù)存在，即有則稱為的一維概率密度函數(shù)。（2.3.2）（2.3.1）

我們稱顯然，隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)或一維概率密度函數(shù)僅僅描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的統(tǒng)計特性，而沒有說明隨機(jī)過程在不同時刻取值之間的內(nèi)在聯(lián)系，為此需要在足夠多的時間上考慮隨機(jī)過程的多維分布函數(shù)。任意給定，則的n維分布函數(shù)被定義為如果存在以下關(guān)系：（2.3.3）

（2.3.4）

則稱為的n維概率密度函數(shù)。顯然，n越大，對隨機(jī)過程統(tǒng)計特性的描述就越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。在一般實際問題中，引用二維概率密度函數(shù)即可解決問題。二、隨機(jī)過程的數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)雖然能夠較全面地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性,但在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，而用隨機(jī)過程的數(shù)字特征來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。1、數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計平均值）隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望定義為并記為。隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是時間t的函數(shù)。（2.3.5）

1、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望（簡稱均值）是用來描述隨機(jī)變量X的統(tǒng)計平均值，它反映隨機(jī)變量取值的集中位置。對于離散隨機(jī)變量X，設(shè)是其取的概率，則其數(shù)學(xué)期望定義為（2.3.6）

對于連續(xù)隨機(jī)變量X，其數(shù)學(xué)期望定義為式中，為隨機(jī)變量X的概率密度。（2.3.7）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)如下：（1）若C為一常數(shù)，則常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于常數(shù)，即（2）若有兩個隨機(jī)變量X和Y，它們的數(shù)學(xué)期望和存在，則也存在，且有（2.3.8）

（2.3.9）

我們把上式（2.3.9）推廣到多個隨機(jī)變量的情況。若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都存在，則也存在，且有

（2.3.10）

（3）若隨機(jī)變量X和Y相互獨立，且和存在，則也存在，且有(2.3.11）

方差常記為2(t)。這里也把任意時刻t1直接寫成了t

。 因為

所以，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時刻t對于均值a(t)的偏離程度。均方值均值平方2、方差對于離散隨機(jī)變量，上式方差的定義可表示為式中，是隨機(jī)變量X取值為的概率。對于連續(xù)隨機(jī)變量，方差的定義可表示為（2.3.14）

（2.3.15）

2、隨機(jī)變量的方差方差反映隨機(jī)變量的取值偏離均值的程度。方差定義為隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的數(shù)學(xué)期望。即（2.3.13）

方差的性質(zhì)如下：（1）常數(shù)的方差等于0，即（2）設(shè)D(X)存在，C為常數(shù)，則

（2.3.16）

（2.3.17）

（2.3.18）

（3）設(shè)和都存在，且X和Y相互獨立，則對于多個獨立的隨機(jī)變量不難證明有：（2.3.19）

（2.3.20）

3、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)衡量同一隨機(jī)過程在任意兩個時刻上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計相關(guān)特性時，常用自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)來表示。自協(xié)方差函數(shù)定義為（2.3.21）式中，與是任取的兩個時刻；與為在及時刻得到的數(shù)學(xué)期望；為二維概率密度函數(shù)自相關(guān)函數(shù)定義為若，并令，則可表示為（2.3.22）

可見，相關(guān)函數(shù)是和τ的函數(shù)。顯然，由式（2.3.21）和（2.3.22）可得自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系式（2.3.23）4、互協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)也可引入到兩個或更多個隨機(jī)過程中去，從而得到互協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。設(shè)和分別表示兩個隨機(jī)過程，則互協(xié)方差函數(shù)定義為互相關(guān)函數(shù)定義為（2.3.24）

（2.3.25）若對于任意,有則稱和不相關(guān)。不難證明，相互獨立的和必定不相關(guān)；反之，不一定。但對于高斯隨機(jī)過程，不相關(guān)和統(tǒng)計獨立是等價的。[例2.3.1]設(shè)隨機(jī)過程可表示成，式中是一個離散隨機(jī)變量，且，試求及。解：在t=1時，的數(shù)學(xué)期望在，時的自相關(guān)函數(shù)[例2.3.2]設(shè)隨機(jī)過程其中A為高斯隨機(jī)變量，b為常數(shù)，且A的一維概率密度函數(shù)求X(t)的均值和方差。解：由得出隨機(jī)變量A的均值為1，方差為1，即E(A)=1，D(A)=1。因為，所以同理，2.3.2.1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程是指它的任意n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)。也就是說，對于任何正整數(shù)n和任何實數(shù)以及，隨機(jī)過程的n維概率密度函數(shù)滿足2.3.2平穩(wěn)隨機(jī)過程則稱為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，或稱狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。（2.3.26）

若隨機(jī)過程的均值為常數(shù)，與時間t無關(guān)，而自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱其為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程或廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。按此定義得知，對于寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，有

=常數(shù)（2.3.27）（2.3.28）2.3.5.2寬平穩(wěn)隨機(jī)過程由于均值和自相關(guān)函數(shù)只是統(tǒng)計特性的一部分，所以嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程一定也是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。反之，寬平穩(wěn)隨機(jī)過程就不一定是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。但對于高斯隨機(jī)過程兩者是等價的。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。以后討論的隨機(jī)過程除特殊說明外，均假設(shè)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡稱平穩(wěn)隨機(jī)過程。[例2.3.3]已知x(t)與y(t)是統(tǒng)計獨立的平穩(wěn)隨機(jī)過程，且它們的自相關(guān)函數(shù)分別為。求乘積的自相關(guān)函數(shù)。解：根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義有一個平穩(wěn)隨機(jī)過程若按定義求其均值和自相關(guān)函數(shù)，則需要對其所有的實現(xiàn)計算統(tǒng)計平均值。實際上，這是做不到的。然而，若一個隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它的統(tǒng)計平均值可以由任一實現(xiàn)的時間平均值來代替。2.3.2.3各態(tài)歷經(jīng)性顧名思義，各態(tài)歷經(jīng)性表示一個平穩(wěn)隨機(jī)過程的任一個實現(xiàn)能夠經(jīng)歷此過程的所有狀態(tài)。若一個平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它的統(tǒng)計平均值就等于其時間的平均值。也就是說假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程的任意一個實現(xiàn)，若滿足：則稱此隨機(jī)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程?？梢姡哂懈鲬B(tài)歷經(jīng)性的隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性可以用時間平均來代替，對于這種隨機(jī)過程無需（實際中也不可能）考察無限多個實現(xiàn)，

（2.3.29）

而只考察一個實現(xiàn)就可獲得隨機(jī)過程的數(shù)字特征，因而可使計算大大簡化。需要注意的是，一個隨機(jī)過程若具有各態(tài)歷經(jīng)性，則它必定是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程，但嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機(jī)信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)性。

[例3-4]

設(shè)一個隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0,2π)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

【解】(1)先求(t)的統(tǒng)計平均值： 數(shù)學(xué)期望自相關(guān)函數(shù)令t2–t1=，得到可見，(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，只與時間間隔有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。(2)求(t)的時間平均值 比較統(tǒng)計平均與時間平均，有 因此，隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。對于平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的自相關(guān)函數(shù)是特別重要的一個函數(shù)。其一，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性，如數(shù)字特征等，可通過自相關(guān)函數(shù)來描述；其二，平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間存在傅里葉變換的關(guān)系。因此，我們有必要了解平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。2.3.2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)

和功率譜密度一、平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)設(shè)為一平穩(wěn)隨機(jī)過程,則其自相關(guān)函數(shù)有如下性質(zhì)：1、上式表明，隨機(jī)過程的總能量是無窮的，但其平均功率是有限的。（2.3.30）

2、（2.3.31）3、（2.3.32）4、（2.3.33）5、（2.3.34）由上述性質(zhì)可知，用自相關(guān)函數(shù)幾乎可以表述的主要特征，因而上述性質(zhì)有明顯的實用價值。[例2.3.5]設(shè)一平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為，求其均值和方差。解：由自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可得：

所以均值為：方差為：二、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度隨機(jī)過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。由第二章，對于任意的確定功率信號f(t)其功率譜密度為

（2.3.31）

式中，是f(t)的截短函數(shù)的頻譜函數(shù)。f(t)和的波形如圖3-6所示。

圖3-6功率信號及其截短函數(shù)對功率型的平穩(wěn)隨機(jī)過程而言，它的每一實現(xiàn)的功率譜也可以由上式確定。但是，隨機(jī)信號的每一個實現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。隨機(jī)過程的功率譜密度應(yīng)看作每一可能實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均。設(shè)的功率譜密度為，的某一實現(xiàn)的截短函數(shù)為 ,且于是有：

的平均功率S可以表示為

（2.3.32）

（2.3.33）三、平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系（維納—辛欽定理）平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間互為傅里葉變換的關(guān)系，即

（2.3.34）非周期的功率型確知信號的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對傅里葉變換。這種關(guān)系對平穩(wěn)隨機(jī)過程同樣成立。它是聯(lián)系頻域和時域兩種分析方法的基本關(guān)系式。下面結(jié)合自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，歸納功率譜的性質(zhì)如下：1、（非負(fù)性）2、3、（偶函數(shù)）[例2.3.]已知平穩(wěn)隨機(jī)過程n(t)的功率譜為，試求的功率譜。解：先求自相關(guān)函數(shù)由維納—辛欽定理可得，相應(yīng)的功率譜為[例3-6]

求隨機(jī)相位余弦波(t)=Acos(ct+)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

【解】在[例3-4]中，我們已經(jīng)考察隨機(jī)相位余弦波是一個平穩(wěn)過程，并且求出其相關(guān)函數(shù)為 因為平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即有 以及由于有 所以，功率譜密度為 平均功率為高斯隨機(jī)過程又稱正態(tài)隨機(jī)過程，是通信領(lǐng)域中普遍存在的隨機(jī)過程。在實踐中觀察到的大多數(shù)噪聲都是高斯過程，例如通信信道中的噪聲通常是一種高斯過程。2.3.3高斯隨機(jī)過程2.3.3.1高斯過程的定義若高斯過程的任意n維（n=1，2，…）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。其n維正態(tài)概率密度函數(shù)可表示為（2.3.51）

式中，：歸一化協(xié)方差矩陣的行列式；

:行列式中元素的代數(shù)余因子

：歸一化協(xié)方差函數(shù)。由式（2.3.92）可見，正態(tài)隨機(jī)過程的維分布僅由各隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。(2.3.52)1、若高斯過程是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它也是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。也就是說，對于高斯過程來說，寬平穩(wěn)和嚴(yán)平穩(wěn)是等價的。2、若高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計獨立的；2.3.3.2高斯過程的性質(zhì)3、高斯過程的線性組合仍是高斯過程；4、高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后的過程仍是高斯過程。一、一維概率密度函數(shù)高斯過程的一維概率密度表示式為式中，a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；為方差。f(x)的曲線如圖3-7所示。2.3.3一維高斯分布

（3.94）

圖3-7一維概率密度函數(shù)由式（2.3.52）和圖3-7可知f(x)具有如下特性：1、f(x)對稱于x=a的直線。2、

且有

（2.3.53）

（2.3.54）

3、a表示分布中心，表示集中程度，f(x)圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)a=0，時，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。

二、正態(tài)分布函數(shù)正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即

（2.3.55）

式中，稱為概率積分函數(shù)，其定義為式（2.3.56）積分不易計算，常引入誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)表示正態(tài)分布

（2.3.56）

三、誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)誤差函數(shù)的定義式：互補(bǔ)誤差函數(shù)的定義式：

（2.3.57）

（2.3.58）

誤差函數(shù)、互補(bǔ)誤差函數(shù)和概率積分函數(shù)之間的關(guān)系如下:

（2.3.60）

（2.3.61）

引入誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)后，不難求得

（2.3.62）

其好處是：借助于一般數(shù)學(xué)手冊所提供的誤差函數(shù)表，可方便查出不同值時誤差函數(shù)的近似值（參見附錄B），避免了復(fù)雜積分運算。此外，誤差函數(shù)的簡明特性特別有助于通信系統(tǒng)的抗噪性能分析。

信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即雙邊功率譜為

單邊功率譜為

2.3.3.4高斯白噪聲和帶限白噪聲

（2.3.70）

（2.3.71）

這種噪聲被稱為白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機(jī)過程。式中n0為一常數(shù)，單位是瓦/赫茲。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助下式求得：

（2.3.72）

這說明，白噪聲只有在τ=k/2f0(k=1,2,3,…)時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的。圖3-8畫出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。

圖3-8白噪聲的雙邊帶功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)(a)如果白噪聲被限制在（-fo,fo）之內(nèi)，即在該頻率區(qū)間上有Pξ(ω)=n0/2,而在該區(qū)間外Pξ(ω)=0，這樣的噪聲被稱為帶限白噪聲。自相關(guān)函數(shù)為：

圖3-8白噪聲的雙邊帶功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)(b)（2.3.73）其中帶限白噪聲只有在上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。若對帶限白噪聲按抽樣定理抽樣的話，則個抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。

如果白噪聲又是高斯分布的，我們就稱之為高斯白噪聲。由式（2.3.73）可以看出，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。應(yīng)當(dāng)指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在實際中是不存在的。但是，如果噪聲的功率譜均勻分布的頻率范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于通信系統(tǒng)的工作頻帶，我們就可以把它視為白噪聲。2.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的分析我們知道，隨機(jī)過程是以某一概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)的集合。因此，我們可以將隨機(jī)過程加到線性系統(tǒng)的輸入端理解為是隨機(jī)過程的某一可能的樣本函數(shù)出現(xiàn)在線性系統(tǒng)的輸入端。所以，我們可以認(rèn)為確知信號通過線性系統(tǒng)的分析方法仍然適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)的情況。線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)等于輸入信號與沖激響應(yīng)的卷積，即

（2.3.115）

若，，則有若線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則或

（2.3.117）

（2.3.116）

如果把看作是輸入隨機(jī)過程的一個實現(xiàn)，則可看作是輸出隨機(jī)過程的一個實現(xiàn)。因此，只要輸入有界且系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則當(dāng)輸入是隨機(jī)過程時，便有一個輸出隨機(jī)過程，且有

（2.3.118）

圖3-9平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1、輸出隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望

（2.3.119）

上式中利用了平穩(wěn)性（常數(shù)）又因為求得所以

（2.3.120）

由此可見，輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與H(0)的乘積。并且與t無關(guān)。2、輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)平穩(wěn)性有

（2.3.121）

可見，自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而與時間起點無關(guān)。從數(shù)學(xué)期望與自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)可見，這時的輸出過程是一個寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。3、的功率譜密度利用公式，有令，則有

（2.3.122）

可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度與的乘積。4、輸出過程的概率分布在已知輸入隨機(jī)過程的概率分布情況下，通過（2.3.118）式，即：可以求出輸出隨機(jī)過程的概率分布。如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯過程，則系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程也是高斯過程。因為按積分的定義，式（2.3.116）可以表示為一個和式的極限，即

（2.3.121）

由于已假定輸入過程是高斯的，因此在任一個時刻上的每一項都是一個服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。所以在任一時刻上得到的輸出隨機(jī)變量，將是無限多個正態(tài)隨機(jī)變量之和，且這“和”也是正態(tài)隨機(jī)變量。這就證明，高斯隨機(jī)過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后其輸出過程仍為高斯過程。但要注意的是，由于線性系統(tǒng)的介入，與輸入高斯過程相比，輸出過程的數(shù)字特征已經(jīng)改變了。[例2.3.7]均值為0，自相關(guān)函數(shù)為的高斯噪聲X(t)，通過傳輸特性為（A、B為常數(shù)）的網(wǎng)絡(luò)，試求：（1）高斯過程X(t)的一維概率密度函數(shù)；（2）隨機(jī)過程Y(t)的一維概率密度函數(shù)；（3）隨機(jī)過程Y(t)噪聲功率；解：（1）輸入過程X(t)均值為0，所以是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，它的總平均功率，即方差，所以可以直接寫出輸入噪聲的一維概率密度函數(shù)為:（2.3.122）

（2）經(jīng)過的線性網(wǎng)絡(luò)，由于高斯過程通過線性系統(tǒng)后的過程仍然是高斯過程。則

其中，均值

方差（2.3.123）

這樣

（3）輸出功率為

[例2.3.8]隨機(jī)過程，這里是均值為a、方差為的高斯隨機(jī)變量，試求：（1）及的兩個一維概率密度；（2）X(t)是否寬平穩(wěn)；（3）X(t)的功率譜；（4）X(t)的平均功率。解：（1），由題意知，是均值為a、方差為的高斯隨機(jī)變量，則同理，則（2）由（1）的結(jié)果表明，X(t)在t=0和t=1時均值不同，所以，其均值與t有關(guān)，不是常數(shù)。下面再求的X(t)自相關(guān)函數(shù)，即可見，X(t)的自相關(guān)函數(shù)是t和τ的函數(shù)。綜合（1）和（2）的結(jié)果知，X(t)不是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。（3）為求X(t)的功率譜，先對由（2）求出的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行時間平均，即

然后對上結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換，求出X(t)的功率譜為

（4）X(t)的平均功率為2.4信道特性對信號傳輸?shù)挠绊懞銋⑿诺赖挠绊懞銋⑿诺琅e例：各種有線信道、衛(wèi)星信道…恒參信道非時變線性網(wǎng)絡(luò)信號通過線性系統(tǒng)的分析方法。線性系統(tǒng)中無失真條件：振幅～頻率特性：為水平直線時無失真

左圖為典型電話信道特性

用插入損耗便于測量(a)插入損耗～頻率特性相位～頻率特性：要求其為通過原點的直線， 即群時延為常數(shù)時無失真 群時延定義：