分組分解法分解因式

§8．3分組分解法

1．理解分組分解法在因式分解中的重要意義．2．在運用分組分解法分解因式時，會篩選合理的分組方案．3．能綜合運用各種方法完成因式分解．一、學習目標本節(jié)的重點：運用分組分解法分解因式．

本節(jié)的難點：篩選合理的分組方案和綜合

運用各種方法完成因式分解．二、重點難點很多多項式不能直接運用提公因式法或直接運用公式法分解，但是，進行分組后，就可以先在局部上，進而在整體上運用這兩種方法進行分解，使問題迎刃而解．所以，“分組”的作用在于促進了提公因式法和公式法的運用，使多項式從不能分解向能分解轉化．三、引入例1

把多項式分解因式．四．新課【分析】這是一個四項式，它的各項沒有公因式，而且也沒有供四項式作分解的公式可用，所以用這些基本方法都無法直接達到分解的目的．但是，如果分組后在局部分別分解，就可以創(chuàng)造整體分解的機會．

例1

把多項式分解因式．【解法一】＝＝＝＝＝＝【解法二】四．新課(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y(2)mx＋mx2－n－nx

例2

分解因式：【解】a2x＋a2y＋b2x＋b2y＝(a2x＋a2y)＋(b2x＋b2y)＝a2(x＋y)＋b2(x＋y)

＝(x＋y)(a2＋b2)【解】mx＋mx2－n－nx

＝(mx＋mx2)－(n＋nx)

＝mx(1＋x)－n(1＋x)

＝(1＋x)(mx－n)四．新課【點評】(1)把有公因式的各項歸為一組，并使組之間產生新的公因式，這是正確分組的關鍵，因此，設計分組方案是否有效要有預見性；(2)分組的方法不唯一，而合理地選擇分組方案，會使分解過程簡單；(3)分組時要用到添括號法則，注意在添加帶有“－”號的括號時，括號內每項的符號都要改變；

(4)實際上，分組只是為完成分解創(chuàng)造條件，并沒有直接達到分解的目的．(1)a2x＋a2y＋b2x＋b2y(2)mx＋mx2－n－nx

四．新課例2

分解因式：【解】＝＝＝＝例3

把多項式分解因式．【分析】觀察多項式，前兩項有公因式，后三項符合完全平方公式．四．新課【解法一】a3－a2b－ab2＋b3＝(a3－a2b)－(ab2－b3)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)【解法二】a3－a2b－ab2＋b3＝(a3－ab2)－(a2b－b3)＝a(a2－b2)－b(a2－b2)＝(a2－b2)(a－b)＝(a－b)2(a＋b)四．新課例4

分解因式a3－a2b－ab2＋b3．注意，分解的結果中，如果有相同的因式，要寫成乘方的形式．本題的結果不要寫成(a－b)(a－b)(a＋b)．【分析】為了確定p與q的值，可以從分解常數項入手．由于1×91＝91，13×7＝91，所以乘積為－91的兩個數可以有

1×(－91)，(－1)×91，13×(－7)，(－13)×7

四種可能．其中只有(－13)×7一組能使得

(－13)＋7＝－6(一次項的系數)，所以確定的兩個數是－13和7，于是分解結果可以寫為例5

分解二次三項式四．新課例6

分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21

四．新課【分析】本題應該把(a＋2b)2看成二次項，－10(a＋2b)看成一次項，－10看成一次項的系數，21看成常數項，從而可以用十字相乘法．【解】(a＋2b)2－10(a＋2b)＋21a＋2b－3)(a＋2b－7)＝(a＋2b－3

a＋2b－7例7

分解因式(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3．【解】(x2＋2x)2－2(x2＋2x)－3＝(x2＋2x－3)(x2＋2x＋1)＝(x＋3)(x－1)(x＋1)2．四．新課【點評】本題要注意分解到每一個因式都不能再分解為止．1．練習把下列各式分解因式：

2．3．練習把下列各式分解因式：

4．5．6．練習把下列各式分解因式：

8．7．9．2x2－4x－6

2(x＋1)(x－3)練習把下列各式分解因式：

10．11．12．－m2－m＋6

－(m－2)(m＋3)13．14．練習把下列各式分解因式：

15．3x2＋11x＋10

3x2＋11x＋10

練習把下列各式分解因式：

16．17．18．a4－50a2＋625

練習把下列各式分解因式：

(a＋5)2(a－5)2

19．16x4－72x2＋81

(2x＋3)2(2x－3)2

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