連續(xù)信號與系統(tǒng)頻域分析

第3章連續(xù)信號與系統(tǒng)的頻域分析3.0引言3.1信號的正交分解3.2周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)3.3周期信號的頻譜3.4非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換3.5傅里葉變換的性質(zhì)3.6周期信號的傅里葉變換3.7連續(xù)信號的抽樣定理3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析本章要求1、能用傅里葉級數(shù)的定義、性質(zhì)和周期信號的傅里葉變化，求解周期信號的頻譜。理解周期信號分解為正弦信號線性組合的物理含義和周期信號頻譜的特點(diǎn)，并會繪制振幅及相位頻譜圖；2、利用傅里葉變換的定義、性質(zhì)，求解非周期信號的頻譜。利用常見信號的傅里葉變換對和傅里葉變換的性質(zhì)，熟練求解信號的正、反傅里葉變換；3、了解功率信號與功率譜、能量信號與能量譜的概念；4、熟練計(jì)算周期信號和非周期信號激勵下系統(tǒng)的響應(yīng)。理解頻率響應(yīng)H(j)并根據(jù)H(j)對系統(tǒng)進(jìn)行分類。理解無失真?zhèn)鬏?、理想低通濾波器的概念與物理含義，了解各種濾波器的含義，掌握有關(guān)信號濾波的計(jì)算；5、理解信號頻譜搬移的概念，掌握一般信號調(diào)制、解調(diào)和壓縮等的分析計(jì)算；6、理解并掌握抽樣定理，計(jì)算抽樣信號的頻譜。了解信號的抽樣與恢復(fù)過程。3.0引言LTI系統(tǒng)的特性完全可以由其單位沖激響應(yīng)來表征，通過對LTI系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的研究就可分析LTI系統(tǒng)的特性。變換域分析——就是選取完備的正交函數(shù)集來最佳逼近信號，或者說，信號用完備的正交函數(shù)集來展開，其展開系數(shù)就是信號的變換表示。不同的變換域的區(qū)別就在于選取不同的正交完備集。采用變換域分析的目的：主要是簡化分析。這章付里葉變換主要從信號分量的組成情況去考察信號的特性。從而便于研究信號的傳輸和處理問題。3.1信號的正交分解3.1.1矢量的正交分解1.正交矢量

圖3.1-1兩個矢量正交兩矢量V1與V2正交時的夾角為90°。不難得到兩正交矢量的點(diǎn)積為零，即圖3.1-2矢量的近似表示及誤差所以最佳系數(shù)為若V1與V2正交，則θ=90°,cosθ=0，此時由式(3.1-2)得到的最佳系數(shù)c12=0。這表明當(dāng)V1與V2正交時，用c12V2來近似表示V1還不如用0來近似V1。據(jù)此，我們可以把兩個矢量V1與V2正交的概念解釋如下：給定兩個矢量V1和V2，現(xiàn)在要用與V2成比例的矢量c12V2近似地表示V1，要求誤差矢量 的模|Ve|最小(此時的c12稱為最佳)。若最佳的c12=0，則V1與V2正交。由式(3.1-2)可知，當(dāng)兩矢量V1與V2正交時，c12=0，即V1·V2=0。2.矢量的分解圖3.1-3平面矢量的分解式中，V1·V2=0。圖3.1-4三維空間矢量的分解上述矢量分解的概念可以推廣到n維空間。由n個相互正交的矢量組成一個n維的矢量空間，而正交矢量集{V1,V2,…，Vn}為n維空間的完備正交矢量集。n維空間的任一矢量V，可以精確地表示為這n個正交矢量的線性組合，即式中，Vi·Vj=0(i≠j)。第r個分量的系數(shù)3.1.2信號的正交分解1.正交函數(shù)設(shè)f1(t)和f2(t)為定義在(t1,t2)區(qū)間上的兩個函數(shù)，現(xiàn)在要用與f2(t)成比例的一個函數(shù)c12f2(t)近似地代表f1(t)，其誤差函數(shù)為設(shè)f1(t)、f2(t)均為復(fù)函數(shù)，此時，c12也可能為一復(fù)數(shù)系數(shù)。式中，“*”代表取共軛復(fù)數(shù)。將上式右邊展開，得根據(jù)該式，上式中，據(jù)平方誤差的定義知Ee≥0，式中惟一可供選擇的參數(shù)為c12。為使Ee最小，只有選擇c12=B，于是有2.信號的正交展開設(shè)有一函數(shù)集｛g1(t),g2(t)，…，gN(t)｝，它們定義在區(qū)間(t1,t2)上，如果對于所有的i、j(可取1,2,…，N)都有則該函數(shù)集就稱為區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集。如果則稱該函數(shù)集為歸一化正交(復(fù)變)函數(shù)集。

用一個在區(qū)間(t1,t2)上的正交函數(shù)集｛gi(t)｝中各函數(shù)的線性組合就可逼近定義在(t1,t2)區(qū)間上的信號f(t)，即這種近似表示所產(chǎn)生的平方誤差為同樣可以導(dǎo)出，欲使平方誤差最小，其第r個函數(shù)gr(t)的加權(quán)系數(shù)cr應(yīng)按下式選?。捍藭r的平方誤差為(3.1-12)(3.1-13)用一正交矢量集中各分量的線性組合去表示任一矢量，這個矢量集必須是一完備的正交矢量集。同樣，用一正交函數(shù)集中各函數(shù)的線形組合去代表任一信號，這個函數(shù)集也必須是一個完備的正交函數(shù)集。如果對某一類函數(shù)f(t)

，所選擇的正交函數(shù)集｛gi(t)｝能使上式中的Ee等于零，則稱正交函數(shù)集｛gi(t)｝對于f(t)這一類函數(shù)是完備的正交函數(shù)集?？梢宰C明，如果｛gi(t)｝是完備的正交函數(shù)集，則再也找不到另外一個非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個函數(shù)都正交。一個完備的正交函數(shù)集通常包括無窮多個函數(shù)。定理3.1-1設(shè)｛gi(t)｝在(t1,t2)區(qū)間上是關(guān)于某一類信號f(t)的完備的正交函數(shù)集，則這一類信號中的任何一個信號f(t)都可以精確地表示為｛gi(t)｝的線性組合，即式中，ci為加權(quán)系數(shù)，且有式(3.1-14)稱為正交展開式，有時也稱為廣義傅里葉級數(shù)，ci稱為傅里葉系數(shù)。(3.1-14)(3.1-15)定理3.1-2在式(3.1-14)條件下，平方誤差Ee=0，由(3.1-13)式有式(3.1-16)可以理解為：f(t)的能量等于各個分量的能量之和，即反映能量守恒。定理3.1-2有時也稱為帕塞瓦爾定理。(3.1-16)例1已知余弦函數(shù)集{cost,cos2t,…,cosnt}(n為整數(shù))(1)證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2π)內(nèi)為正交函數(shù)集；(2)該函數(shù)集在區(qū)間(0，2π)內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎?(3)該函數(shù)集在區(qū)間(0，)內(nèi)是正交函數(shù)集嗎?由上例可以看到，一個函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)間有關(guān)，在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。另外，在判斷函數(shù)集正交時，是指函數(shù)集中所有函數(shù)應(yīng)兩兩正交，不能從一個函數(shù)集中的某n個函數(shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集。常見的完備正交函數(shù)集(1)三角函數(shù)集

在區(qū)間內(nèi)，有

式中，(2)虛指數(shù)函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)，對于周期為的一類周期信號來說，也是一個完備的正交函數(shù)集。(3)函數(shù)集在區(qū)間(-∞，∞)內(nèi)，對于有限帶寬信號類來說是一個完備的正交函數(shù)集。這里稱為抽樣函數(shù)。(4)沃爾什函數(shù)集Wal(k,t)在區(qū)間(0,1)內(nèi)，對于周期為1的一類信號來說是一個完備的正交函數(shù)集。下圖示出了前6個沃爾什函數(shù)波形。(5)勒讓德多項(xiàng)式在區(qū)間(-1,+1)內(nèi)構(gòu)成一個完備正交函數(shù)集，即

此外，還有一些多項(xiàng)式也可構(gòu)成正交函數(shù)集，例如雅可比多項(xiàng)式、切貝雪夫多項(xiàng)式等。3.2周期信號的連續(xù)時間傅里葉級數(shù)3.2.1三角形式的傅里葉級數(shù)三角函數(shù)集｛cosnΩt,sinmΩt|n=0,1,2,…｝是一個正交函數(shù)集，正交區(qū)間為(t0,t0+T)。這里T=2π/Ω是各個函數(shù)cosnΩt，sinmΩt的周期。三角函數(shù)集正交性的證明可利用如下公式：上述正交三角函數(shù)集中，當(dāng)n=0時，cos0°=1,sin0°=0，而0不應(yīng)計(jì)在此正交函數(shù)集中，故一正交三角函數(shù)集可具體寫為式中，Ω=2π/T稱為基波角頻率，a0/2，an和bn為加權(quán)系數(shù)。式(3.2-5)就是周期信號f(t)在(t0,t0+T)區(qū)間的三角傅里葉級數(shù)展開式。由于f(t)為周期信號，且其周期T與三角函數(shù)集中各函數(shù)的周期T相同，故上述展開式在(-∞,∞)區(qū)間也是成立的。三角形式一可得加權(quán)系數(shù)：例如，可取t0=0，t0=-T/2等等。顯然，an為nΩ的偶函數(shù)，bn為nΩ的奇函數(shù)，即三角形式二振幅相位余弦型傅里葉級數(shù)展開式三角型傅里葉級數(shù)展開式信號波形的對稱性與傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系奇函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)積分為零。偶函數(shù)在對稱區(qū)間內(nèi)積分為半?yún)^(qū)間積分的兩倍。則只含正弦項(xiàng)，奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱。0......（半波平移半周期兩半周期波形重合）......（半波平移半周期關(guān)于橫軸對稱）根據(jù)周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系，可使求解傅里葉系數(shù)的計(jì)算量大大減少；也可以確定信號所含的頻率分量的類別；對繪波形圖也有作用。說明1：

一個周期為T的周期信號f(t)，若滿足狄里赫勒條件，可展開為三角型傅里葉級數(shù)。狄里赫勒條件：（實(shí)際遇到的信號都滿足）1.一個周期內(nèi)只有有限個不連續(xù)點(diǎn)；2.一個周期內(nèi)只有有限個極大值、極小值；3.一個周期內(nèi)絕對可積，即說明2：

一般要單獨(dú)計(jì)算；表示的物理意義是周期信號的直流分量。若，則只可能在它的倍頻上，如上才可能有頻率分量。

、是n的函數(shù)，它一定不含有t。(對于一個確定的n來說,它是個常數(shù)不是t的函數(shù))不必計(jì)算。例3.2-1求圖示信號的傅里葉級數(shù)展開式。圖3.2-1例3.2-1圖解據(jù)式(3.2-6)，在本題中我們?nèi)0=0，則有這表明信號f(t)的直流分量為a0/2=E/2?？紤]到上式中Ω=2π/T，則an=0。同樣可得據(jù)式(3.2-10)有在式(3.2-6)中，若取t0=-T/2，則有周期信號f(t)的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是______。(A)余弦項(xiàng)的奇次諧波，無直流(B)正弦項(xiàng)的奇次諧波，無直流(C)余弦項(xiàng)的偶次諧波，直流(D)正弦項(xiàng)的偶次諧波，直流。例1：偶函數(shù)：只含余弦項(xiàng)；半周重疊：只含偶次諧波和直流C例2：周期信號f(t)的傅立葉級數(shù)中所含有的頻率分量是______。(A)余弦項(xiàng)的奇次諧波，無直流(B)正弦項(xiàng)的奇次諧波，無直流(C)余弦項(xiàng)的偶次諧波，直流(D)正弦項(xiàng)的偶次諧波，直流。奇函數(shù)：只含正弦項(xiàng)；半周鏡象對稱：只含奇次諧波B例3：已知周期信號f(t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。

f(t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只有偶次諧波；解：波形縱軸對稱；半周重疊。已知周期信號f(t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。

f(t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)只有奇次諧波；解：波形縱軸對稱；半周鏡象重疊。已知周期信號f(t)前四分之一周期的波形如圖所示，按下列條件繪出整個周期內(nèi)的信號波形。

f(t)是t的偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)同時有奇次諧波與偶次諧波；解：波形縱軸對稱。3.2.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)式中，T=2π/Ω為指數(shù)函數(shù)公共周期，m、n為整數(shù)。任意函數(shù)f(t)可在區(qū)間(t0,t0+T)內(nèi)用此函數(shù)集表示為式中，相關(guān)系數(shù)Fn

指數(shù)傅里葉級數(shù)還可以從三角傅里葉級數(shù)直接導(dǎo)出。一般來說Fn亦為一復(fù)數(shù)，即一般情況下，是關(guān)于變量的復(fù)函數(shù)，常稱為傅氏級數(shù)的復(fù)系數(shù)。記為（時域）

（頻域）已知求稱為正變換：反之，稱為反變換：是一對變換對。n的取值范圍與三角形傅氏級數(shù)不同說明：1、仍為直流分量，一般仍要單獨(dú)計(jì)算；2、當(dāng)為實(shí)函數(shù)時，，即與為一對共軛復(fù)數(shù)。有3、負(fù)頻率的出現(xiàn)無物理意義，只是數(shù)學(xué)表達(dá)，同一值正負(fù)頻率分量總是共軛出現(xiàn)，其和才是一個頻率分量的值，有4、當(dāng)是實(shí)偶函數(shù)時，則是實(shí)偶函數(shù)；當(dāng)是實(shí)奇函數(shù)時，則是虛奇函數(shù)。強(qiáng)調(diào)：指數(shù)型和三角形兩種傅氏級數(shù)的n，取值范圍是不同的。3.3周期信號的頻譜或3.3.1周期信號的頻譜周期信號的復(fù)振幅 一般為nΩ的復(fù)函數(shù)，因而描述其特點(diǎn)的頻譜圖一般要畫兩個，一個稱為振幅頻譜，另一個稱為相位頻譜。所謂振幅頻譜為以ω為橫坐標(biāo)，以振幅為縱坐標(biāo)所畫出的譜線圖；而相位頻譜則為以ω為橫坐標(biāo)，以相位為縱坐標(biāo)所得到的譜線圖。在信號的復(fù)振幅 為nΩ的實(shí)函數(shù)的特殊情況下，其復(fù)振幅與變量(nΩ)的關(guān)系也可以用一個圖繪出。例3.3-1試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。解f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達(dá)式可視為f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù)可知，其基波頻率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2s，ω=2π、3π、6π分別為二、三、六次諧波頻率。且有其余圖3.3-1例3.3-1信號的頻譜振幅譜；(b)相位譜圖3.3-2例3.3-1信號的雙邊頻譜(a)振幅譜圖3.3-2例3.3-1信號的雙邊頻譜(b)相位譜3.3.2周期信號頻譜的特點(diǎn)圖3.3-3周期矩形脈沖信號為得到該信號的頻譜，先求其傅里葉級數(shù)的復(fù)振幅。取樣函數(shù)定義為這是一個偶函數(shù)，且x→0時，Sa(x)=1；當(dāng)x=kπ時，Sa(kπ)=0。據(jù)此，可將周期矩形脈沖信號的復(fù)振幅寫成取樣函數(shù)的形式，即圖3.3-4Sa(x)函數(shù)的波形圖3.3-5周期矩形脈沖信號的頻譜譜線間隔由圖3.3-5可以看出，此周期信號頻譜具有以下幾個特點(diǎn)：第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率Ω的整數(shù)倍頻率上，即含有Ω的各次諧波分量，而決不含有非Ω的諧波分量。第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨nΩ的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著nΩ的增大而逐漸減小。當(dāng)nΩ→∞時，|Fn|→0。圖3.3-6不同τ值時周期矩形信號的頻譜(a)τ=T/5;(b)τ=T/10脈沖寬度縮小一半譜線間隔不變第一個過零點(diǎn)增加一倍幅值減小一倍圖3.3-7不同T值時周期矩形信號的頻譜(a)T=5τ;(b)T=10τ

譜線間隔減小一倍第一個過零點(diǎn)不變幅值減小一倍

周期T擴(kuò)展一倍周期矩形脈沖信號含有無窮多條譜線，也就是說，周期矩形脈沖信號可表示為無窮多個正弦分量之和。在信號的傳輸過程中，要求一個傳輸系統(tǒng)能將這無窮多個正弦分量不失真地傳輸顯然是不可能的。實(shí)際工作中，應(yīng)要求傳輸系統(tǒng)能將信號中的主要頻率分量傳輸過去，以滿足失真度方面的基本要求。周期矩形脈沖信號的主要能量集中在第一個零點(diǎn)之內(nèi)，因而，常常將ω=0~ 這段頻率范圍稱為矩形脈沖信號的頻帶寬度。記為或3.3.3周期信號的功率周期信號的能量是無限的，而其平均功率是有界的，因而周期信號是功率信號。為了方便，往往將周期信號在1Ω電阻上消耗的平均功率定義為周期信號的功率。顯然，對于周期信號f(t)，無論它是電壓信號還是電流信號，其平均功率均為因此，據(jù)函數(shù)正交分解中的帕塞瓦爾定理(式(3.1-16))，有01231-1-3功率譜0.2501231-1-3功率譜僅與幅度譜有關(guān)，與相位譜無關(guān)。例：試計(jì)算圖示信號在頻譜第一個零點(diǎn)以內(nèi)各分量的功率所占總功率的百分比。1解：先在時域中求信號的功率：將f(t)展開為指數(shù)型傅里葉級數(shù)在頻譜第一個零點(diǎn)以內(nèi)的各分量的功率和為頻譜第一個零點(diǎn)以內(nèi)各分量的功率占總功率的90.3%3.4非周期信號的連續(xù)時間傅里葉變換3.4.1傅里葉變換對于非周期信號，重復(fù)周期T趨于無限大，譜線間隔趨于無窮小量dω，而離散頻率nΩ變成連續(xù)頻率ω。在這種極限情況下，F(xiàn)n趨于無窮小量，但 可望趨于有限值，且為一個連續(xù)函數(shù)，通常記為F(jω)，即非周期信號的傅里葉變換可簡記為一般來說，傅里葉變換存在的充分條件為f(t)應(yīng)滿足絕對可積，即要求形象地說，周期信號與頻譜之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，即1T1/4時域：連續(xù)、周期頻域：離散、非周期而非周期信號與頻譜F(j)之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系：11/4時域：連續(xù)、非周期頻域：連續(xù)、非周期傅里葉級數(shù)的物理意義：周期信號表述為無限多頻率分量的離散和傅里葉變換的物理意義：非周期信號表述為無限多頻率分量的連續(xù)和3.4.2非周期信號的頻譜函數(shù)由非周期信號的傅里葉變換可知:頻譜函數(shù)F(jω)一般是復(fù)函數(shù)，可記為習(xí)慣上將F(ω)~ω的關(guān)系曲線稱為非周期信號的幅度頻譜(F(ω)并不是幅度!)，而將φ(ω)~ω曲線稱為相位頻譜，它們都是ω的連續(xù)函數(shù)。f(t)為實(shí)函數(shù)時，根據(jù)頻譜函數(shù)的定義式不難導(dǎo)出:式中：與周期信號的傅里葉級數(shù)相類似，F(xiàn)(ω)、φ(ω)與R(ω)、X(ω)相互之間存在下列關(guān)系：在f(t)是實(shí)函數(shù)時：(1)若f(t)為t的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的實(shí)函數(shù)，且為ω的偶函數(shù)。(2)若f(t)為t的奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)為ω的虛函數(shù)，且為ω的奇函數(shù)。與周期信號類似，也可將非周期信號的傅里葉變換表示式改寫成三角函數(shù)的形式，即3.4.3典型信號的傅里葉變換例3.4-1圖3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度為τ，高度為1，通常用符號gτ(t)來表示。試求其頻譜函數(shù)。解門函數(shù)gτ(t)可表示為圖3.4-1門函數(shù)及其頻譜(a)門函數(shù)；(b)門函數(shù)的頻譜；(c)幅度譜；(d)相位譜例3.4-2求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-2單邊指數(shù)函數(shù)e-αt及其頻譜(a)單邊指數(shù)函數(shù)e-αt;(b)e-αt的幅度譜其振幅頻譜及相位頻譜分別為解例3.4-3求圖3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。圖3.4-3雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜(a)雙邊指數(shù)函數(shù)；(b)頻譜例3.4-4求圖3.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-4例3.4-4圖(a)信號f(t);(b)頻譜(a>0)解圖示信號f(t)可表示為例3.4-5求單位沖激函數(shù)δ(t)的頻譜函數(shù)。圖3.4-5信號δ(t)及其頻譜(a)單位沖激信號δ(t);(b)δ(t)的頻譜解可見，沖激函數(shù)δ(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說，δ(t)中包含了所有的頻率分量，而各頻率分量的頻譜密度都相等。顯然，信號δ(t)實(shí)際上是無法實(shí)現(xiàn)的。根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于δ(t)的定義，有例3.4-6求直流信號1的頻譜函數(shù)。圖3.4-6直流信號f(t)及其頻譜(a)直流信號f(t);(b)頻譜解直流信號1可表示為例3.4-7求符號函數(shù)Sgn(t)的頻譜函數(shù)。考察例3.4-4所示信號f(t)當(dāng)α→0時，其極限為符號函數(shù)Sgn(t)。因而可以用求f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)當(dāng)α→0的極限的方法來求得Sgn(t)的頻譜函數(shù)。例3.4-4所示信號的頻譜函數(shù)為 ，從而有圖3.4-7符號函數(shù)Sgn(t)及其頻譜(a)Sgn(t)的波形；(b)頻譜例3.4-8求階躍函數(shù)ε(t)的頻譜函數(shù)。由階躍函數(shù)ε(t)的波形容易得到解從而就可更為方便地求出ε(t)的頻譜函數(shù)，即圖3.4-8階躍函數(shù)及其頻譜(a)ε(t)的波形；(b)頻譜求傅里葉變換的思路四個基本信號的傅里葉變換二十一個常用信號的傅里葉變換所有信號的傅里葉變換利用傅里葉變換的性質(zhì)利用已知信號推廣求信號的傅里葉變換是一個難點(diǎn),也是進(jìn)入變換域分析的第一個積分變換!表3.1常用傅里葉變換對續(xù)表3.5傅里葉變換的性質(zhì)根據(jù)傅里葉變換的概念，一個非周期信號可以表述為指數(shù)函數(shù)的積分，即1.線性若且設(shè)a1,a2為常數(shù)，則有2.時移性若f(t)←→F(jω)，且t0為實(shí)常數(shù)(可正可負(fù))，則有此性質(zhì)可證明如下。例3.5-1求圖3.5-1(a)所示信號的頻譜函數(shù)。圖3.5-1例3.5-1的圖(a)f(t)的波形；(b)相位譜解3.頻移性頻譜搬移的原理是將信號f(t)乘以載頻信號cosω0t或sinω0t,從而得到f(t)cosω0t或f(t)sinω0t的信號。因?yàn)檎{(diào)幅信號都可看成乘積信號矩形調(diào)幅指數(shù)衰減振蕩三角調(diào)幅

例3.5-2求高頻脈沖信號f(t)(圖3.5-2(a))的頻譜。圖3.5-2高頻脈沖信號及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)頻譜解圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號f(t)可以表述為門函數(shù)gτ(t)與cosω0t相乘，即將頻譜左右各移04.尺度變換當(dāng)a>0時：

圖3.5-3信號的尺度變換0.1-0.1圖3.5-3(a)所示的信號f1(t),可寫成寬度τ等于1的門函數(shù)，即

尺度變換性質(zhì)表明，信號的持續(xù)時間與其頻帶寬度成反比。在通信系統(tǒng)中，為了快速傳輸信號，對信號進(jìn)行時域壓縮，將以擴(kuò)展頻帶為代價，故在實(shí)際應(yīng)用中要權(quán)衡考慮。在尺度變換性質(zhì)中，當(dāng)a=-1時，有也稱為時間倒置定理。解此題可用不同的方法來求解。(2)先利用尺度變換性質(zhì)，有5.對稱性10000若f(t)為偶函數(shù)，則時域和頻域完全對稱

直流和沖激函數(shù)的頻譜的對稱性是一例子我們知道圖3.5-4取樣函數(shù)及其頻譜6.時域卷積在信號與系統(tǒng)分析中卷積性質(zhì)占有重要地位，它將系統(tǒng)分析中的時域方法與頻域方法緊密聯(lián)系在一起。在時域分析中，求某線性系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)時，若已知外加信號f(t)及系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t),則有在頻域分析中，若知道F(jω)=F［f(t)］，H(jω)=F［h(t)］，則據(jù)卷積性質(zhì)可知7.頻域卷積應(yīng)用頻移性質(zhì)，可知8.時域微分例如，我們知道 ,利用時域微分性質(zhì)顯然有此性質(zhì)表明，在時域中對信號f(t)求導(dǎo)數(shù)，對應(yīng)于頻域中用jω乘f(t)的頻譜函數(shù)。如果應(yīng)用此性質(zhì)對微分方程兩端求傅里葉變換，即可將微分方程變換成代數(shù)方程。從理論上講，這就為微分方程的求解找到了一種新的方法。此性質(zhì)還可推廣到f(t)的n階導(dǎo)數(shù)，即9.時域積分時域積分性質(zhì)多用于F(0)=0的情況，而F(0)=0表明f(t)的頻譜函數(shù)中直流分量的頻譜密度為零。=0例3.5-4求圖3.5-5(a)所示梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)。解若直接按定義求圖示信號的頻譜，會遇到形如te-jωt的繁復(fù)積分求解問題。而利用時域積分性質(zhì)，則很容易求解。將f(t)求導(dǎo)，得到圖3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)，得到圖3.5-5(c)所示的f2(t)，顯然有圖3.5-5梯形信號及其求導(dǎo)的波形據(jù)時移性質(zhì)有圖3.5-6另一種梯形信號12.帕塞瓦爾定理設(shè),則在周期信號碼傅里葉級數(shù)計(jì)論中，我們曾得到周期信號的帕塞瓦爾定理，即一般來說，非周期信號不是功率信號，其平均功率為零，但其能量為有限量，因而是一個能量信號。非周期信號的總能量W為非周期信號的帕塞瓦爾定理表明，對非周期信號，在時域中求得的信號能量與頻域中求得的信號能量相等。由于是的偶函數(shù)，因而（35-19）還可寫為非周期信號是由無限多個振幅為無窮小的頻率分量組成的，各頻率分量的能量也為無窮小量。為了表明信號能量在頻率分量上的分布情況，與頻譜密度函數(shù)相似，引入一個能量密度頻譜函數(shù)，簡稱為能量譜。能量譜G（）為各頻率點(diǎn)上單位頻帶中的信號能量，所以信號在整個頻率范圍的全部能量為與式（3.5-20）對照，顯然有表3.2傅里葉變換的性質(zhì)求信號的傅里葉變換。解：求信號的傅里葉變換。解：已知f(t)F(j)，求下列信號的傅里葉變換。解：3.6周期信號的傅里葉變換設(shè)f(t)為周期信號，其周期為T，依據(jù)周期信號的傅里葉級數(shù)分析，可將其表示為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。即例3.6-1求圖3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(jω)。圖3.6-1周期矩形脈沖信號及其頻譜(a)f(t)的波形；(b)復(fù)振幅Fn;(c)頻譜函數(shù)F(jω)解周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為例3.6-2圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列δT(t)，其周期為T，δT(t)可表示為

m為整數(shù)圖3.6-2周期沖激序列及其頻譜解先求δT(t)的復(fù)振幅Fn：設(shè)一周期信號fT(t)，其周期為T，fT(t)中位于第一個周期的信號若為fa(t)，則不難得到已經(jīng)知道周期信號的頻譜是離散的，它集中在基頻和它所有諧波頻率上。也可以說明，傅里葉級數(shù)是傅里葉變換的一種特例。傅里葉級數(shù)頻譜圖中每根譜線為有限值，大小代表指數(shù)分量的振幅傅里葉變換頻譜圖中譜線為沖擊函數(shù)，代表的是頻譜密度函數(shù)。無論是根據(jù)傅里葉系數(shù)畫出的幅度譜、相位譜，還是根據(jù)傅里葉變換畫出的頻譜圖，都同樣表明了信號具有哪些頻率分量，每個頻率分量振幅的大小和初相位?，F(xiàn)實(shí)中存在的大多都是連續(xù)信號(如速度、溫度、壓力等)，而計(jì)算機(jī)處理的則是離散信號。對連續(xù)信號進(jìn)行抽樣就可得到離散信號。在什么條件下抽樣信號能夠保留原連續(xù)信號中的信息量而不受損失。這由抽樣定理來保證。3.7連續(xù)信號的抽樣定理電影是連續(xù)畫面的抽樣：

電影是由一組按時序的單個畫面所組成，其中每一幅畫面代表著連續(xù)變化景象的一個瞬時畫面（時間樣本），當(dāng)以足夠快的速度來看這些時序樣本時，就會感覺到是原來連續(xù)活動景象的重現(xiàn)。印刷照片是連續(xù)圖象的采樣：

印刷照片是由很多很細(xì)小的網(wǎng)點(diǎn)所組成，其中每一點(diǎn)就是一連續(xù)圖象的采樣點(diǎn)（位置樣本），當(dāng)這些采樣點(diǎn)足夠近的話，這幅印刷照片看起來就是連續(xù)的。抽樣的意義：3.7.1信號的時域抽樣定理圖3.7-1信號的抽樣圖3.7-1所示的抽樣原理從理論上分析可表述為f(t)與抽樣脈沖序列PTs(t)的乘積，即式中的抽樣脈沖序列PTs如圖3.7-2所示。它實(shí)際上就是例3.6-1所討論過的周期矩形脈沖函數(shù)，可表示為圖3.7-2抽樣脈沖序列PTs(t)圖3.7-3理想抽樣的過程及其有關(guān)波形1、理想抽樣：根據(jù)頻域卷積定理：從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率s2m，m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，s<2m，抽樣信號的頻譜會出現(xiàn)混疊。2、矩形脈沖抽樣：根據(jù)頻域卷積定理：從頻譜圖可以看出：要使各頻移不重疊，抽樣頻率s2m，m為f(t)的頻譜F(j)的最高頻率。否則，s<2m，抽樣信號的頻譜會出現(xiàn)混疊。時域抽樣演示：頻譜演示：1.抽樣定理連續(xù)時間信號f(t)的時域抽樣定理可表述為：在頻率fmHz以上沒有頻譜分量的帶限信號，由它在均勻間隔上的抽樣值惟一地決定，只要其抽樣間隔Ts小于或等于 。由抽樣定理可知，要求被抽樣的信號f(t)為帶限信號，即頻帶有限的信號。其最高頻率為fm，最高角頻率ωm=2πfm，即當(dāng)|ω|＞ωm時，F(xiàn)(jω)=0。圖3.7-4帶限信號及其頻譜帶限信號的概念示于圖3.7-4。設(shè)信號f(t)為帶限信號，其最高頻率分量為fm，最高角頻率為ωm=2πfm，即當(dāng)|ω|＞ωm時，F(xiàn)(jω)=0。帶限信號f(t)的波形及頻譜示于圖3.7-5(a)中。圖3.7-5信號的抽樣及其頻譜例1：若電視信號占有的頻帶為０～６ＭＨz，電視臺每秒發(fā)送25幅圖像，每幅圖象又分為625條水平掃描線，則每條水平線至少要有______個抽樣點(diǎn)。(Ａ)625(Ｂ)768(Ｃ)1250(Ｄ)15625B例2：對帶寬為20kHz的信號f

(t)進(jìn)行抽樣，其奈奎斯特間隔Ts=______s；信號f

(2t)的帶寬為_______kHz，其奈奎斯特頻率f

s=______kHz。對f

(2t)：f

m=220=40kHz,f

s=2f

m=80kHz,信號在時域壓縮，在頻域則擴(kuò)展。254080對f

(t)：f

m=20kHz,f

s=2f

m=40kHz,例3：信號頻譜所占帶寬(包括負(fù)頻率)為______1/s，若將它進(jìn)行沖激抽樣，為使抽樣信號頻譜不產(chǎn)生混疊，最低抽樣頻率fs=______Hz，奈奎斯特間隔Ts=______s。200100//100根據(jù)對稱性：令=200有：2.f(t)的恢復(fù)由圖3.7-5(c)所示樣值函數(shù)fs(t)及其頻譜Fs(jω)圖形可知，樣值函數(shù)fs(t)經(jīng)過一個截止頻率為ωm的理想低通濾波器，就可從Fs(jω)中取出F(jω)，從時域來說，這樣就恢復(fù)了連續(xù)時間信號f(t)。即式中，H(jω)為理想低通濾波器的頻率特性。H(jω)的特性為(3.7-7)由式(3.7-7)可知:據(jù)傅里葉變換的時域卷積性質(zhì)，得式中，fs(t)為Fs(jω)的傅里葉反變換。圖3.7-6f(t)的恢復(fù)原理由式(3.7-8)所表示的理想低通濾波器的頻率特性可表示為ω的門函數(shù)的形式，如式(3.7-10)所示：應(yīng)用傅里葉變換的對稱性，得到當(dāng)抽樣間隔時，上式可寫為f(t)的恢復(fù)式圖3.7-7f(t)的恢復(fù)例1：如圖(a)所示系統(tǒng)。已知，系統(tǒng)的頻率特性如圖(b)所示。為一個理想低通濾波器。(1)畫出的頻譜圖。(2)若使包含的全部信息，的最大間隔應(yīng)為多少?(3)分別畫出在奈奎斯特頻率及時的抽樣信號的頻譜圖；(4)在情況下，若，則理想低通濾波器截止頻率應(yīng)為多少?幅頻特性應(yīng)具有何種形式?23.7.2周期脈沖抽樣由于fs(t)=f(t)·PTs(t)，同樣，根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)，可得圖3.7-8矩形脈沖抽樣f(t)的波形及其頻譜；(b)PTs的波形及其頻譜；(c)

fs(t)的波形及其頻譜3.7.3頻域抽樣頻域抽樣定理的內(nèi)容是：一個在時間區(qū)間(-tm,tm)以外為零的時間有限信號f(t)，其頻譜函數(shù)F(jω)可以由其在均勻頻率間隔fs上的樣點(diǎn)值Fs(jnωs)惟一地確定，只要其頻率間隔fs小于或等于下面從物理概念上對此作一簡單說明。在頻域?qū)(jω)進(jìn)行抽樣，相當(dāng)于用F(jω)乘沖激函數(shù)序列δωs(ω)，而δωs(ω)所對應(yīng)的時間信號也為一個沖激函數(shù)序列 。根據(jù)傅里葉變換的卷積性質(zhì)可知，頻域樣值函數(shù)Fs(jnωs)對應(yīng)的時間信號fs(t)為f(t)在時域的周期性重復(fù)，其周期為Ts。只要抽樣間隔fs不大于，則在時域中波形不會發(fā)生混疊，我們用矩形脈沖作選通信號就可無失真地恢復(fù)出原信號f(t)。類似于式(3.7-13),當(dāng) 時，存在下列關(guān)系式：圖3.7-9頻域抽樣3.8連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.8.1基本信號ejωt激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，根據(jù)時域分析公式(3.8-1)，系統(tǒng)對基本信號ejωt的零狀態(tài)響應(yīng)為3.8.2一般信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)其推導(dǎo)過程如下：由此可得用頻域分析法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的步驟為：關(guān)鍵：的求取1.從微分方程直接求解；(方程兩邊取傅氏變換)2.從系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；3.設(shè)激勵為求其響應(yīng)；4.由電路模型求得注意！系統(tǒng)函數(shù)的定義是:

響應(yīng)傅氏變換與激勵傅氏變換之比例3.8-1已知激勵信號f(t)=(3e-2t-2)ε(t)，試求圖3.8-1所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。圖3.8-1例3.8-1的圖注意到δ(ω)的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(jω)的逆變換，將UCf(jω)按如下形式整理:解：先