剛體轉(zhuǎn)動 - 習題

剛體的轉(zhuǎn)動習題第四章授課教師：張偉Email:zwphys@西南科技大學理學院剛體定軸轉(zhuǎn)動的幾類問題1、

一飛輪直徑為0.30m，質(zhì)量為5.00kg，邊緣繞有繩子，現(xiàn)用恒力拉繩子的一端，使其由靜止均勻地加速，經(jīng)0.50s轉(zhuǎn)速達10r/s。假定飛輪可看作實心圓柱體，求：（1）飛輪的角加速度及在這段時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)；（2）拉力及拉力所作的功；（3）從拉動后經(jīng)t=10s時飛輪的角速度及輪邊緣上一點的速度和加速度。=1.26×102rad/s2

===ωatnπ2t2×3.14×100.51.26×102×(0.5)2=5π21at2==θ21×N=θπ2=2.5rωant==π2(1)解：==aFRJ=5.6×10-2×1.26×102

0.1547N=θA=MFRθ47×0.15×5π=111J=aFMRJ==(2)ωRv==0.15×1.26×103

=1.89×102m/sat=Ra=0.15×1.26×102an2=ωR=0.15×(1.26×103)2

=2.38×105m/s2

=1.26×102×10=1.26×1031/sωat=(3)=18.9m/s2一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩另一端繞在一輪軸的軸上，如圖所示。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為R，整個裝置架在光滑的固定軸承之上，當物體從靜止釋放后，在時間t內(nèi)下降了一段距離s，試求整個輪軸的轉(zhuǎn)動慣量(用m、R、t和s表示)。解：研究系統(tǒng)，物體和輪軸，當物體下降s距離時，物體和滑輪的運動方程為

根據(jù)（3）：兩均質(zhì)皮帶輪的半徑分別為R1和R2，質(zhì)量分別為m1和m2，都可以視為勻質(zhì)圓盤，兩輪以皮帶相連，分別繞兩平行的固定軸O1和O2轉(zhuǎn)動，如果在第一輪上作用一力矩M，在第二輪上作用有負載力矩M’，設(shè)皮帶與輪間無滑動，皮帶質(zhì)量以及兩軸處的磨擦均忽略不計，試求第一皮帶輪的角加速度。o1o2MM’T1T2T1’T2’R1R2o1o2MT1T2T2’R1T1’M’（4）長為l質(zhì)量為m的均勻桿，在光滑桌面上由豎直位置自然倒下，當夾角為θ時（見圖），求：（1）質(zhì)心的速度；（2）桿的角速度。qABl0xc==vcx0ω=vc=sinql2vcyω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc=tddqω解：選質(zhì)心坐標系由機械能守恒：qlcos2=yctdsin==ycdql2tddqvcyqABl123qg2sin+()1qcos()l1ω=ω=vcsinql2123qg2sin+()1qcos()l1=sinql2+m21ωsinql4222()ωml2241=21qcosgm2()l將代入得：vcω1qml2cos121+=gm()2122l()m221vc一根長為、質(zhì)量為M的勻質(zhì)棒自由懸掛于通過其上端的光滑水平軸上。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏轉(zhuǎn)角恰為，則v0的大小為[]5、一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動，棒的質(zhì)量為長度為對軸的轉(zhuǎn)動慣量為，初始時棒靜止，今有一水平運動的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子彈的質(zhì)量速率問（1）棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動時角速度？（2）若棒轉(zhuǎn)動時受到大小為的恒阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過的角度？o（2）轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律：（1）角動量守恒一根質(zhì)量為m、長度為L的勻質(zhì)細直棒，平放在水平桌面上。若它與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，在

時，使該棒繞過其一端的豎直軸在水平桌面上旋轉(zhuǎn)，其初始角速度為0，則棒停止轉(zhuǎn)動所需時間為

。

求：棒從碰撞開始到停止轉(zhuǎn)動所用的時間。

（12）質(zhì)量為m1,長度為l

的均勻細棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞端點O轉(zhuǎn)動。另有一水平運動的質(zhì)量為m2的小滑塊，它與棒的A端相碰撞，碰撞前后的速度分別為及mv1v2。Amvl1v21m2O13=Im1l2+=ωImvl21mvl22=+mv21mvl123()AOmvl1v21m2解：由角動量守恒得ωImvl21=mvl22棒上dx段與桌面間的摩擦力為：gxfmdm1=ld=dMfdx=gxmdm1lxdx段所產(chǎn)生摩擦力力矩為：òM0=gxmdm1lxl12=gmm1l=+mv21mvl122()mt摩擦力力矩為：dM=gxmdm1lx由角動量原理：òM0=ttdMtω013m1l2=)=13m1l2+mv21mvl123(.所用的時間為：*8、一勻質(zhì)的薄圓盤狀飛輪，質(zhì)量為m，半徑為R，繞過盤心且垂直盤面的豎直軸轉(zhuǎn)動，軸的摩擦忽略不計。當它以初角速度ω0轉(zhuǎn)動時，由于上下表面受到空氣的摩擦阻力矩的作用，會慢慢停下來，假設(shè)空氣對盤表面任意點附近單位面積上的摩擦力正比于該點處的線速度大小，比例常數(shù)為k，求它一共能轉(zhuǎn)多少圈？

解此題的關(guān)鍵是求出摩擦阻力矩。為此首先要明確摩擦阻力矩有什么特點？因為單位面積受到的摩擦阻力，正比于該點處的線速度，所以飛輪轉(zhuǎn)動時，距轉(zhuǎn)軸距離相等的各點處，單位面積的摩擦力大小一樣，方向不同，但它們產(chǎn)生的力矩方向相同。轉(zhuǎn)動過程中，由于角速度ω不斷變化，所以同一點處摩擦力的大小也要隨時間變化，是一個變力矩的問題。方法：一種是應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律，一種是應(yīng)用角動量定理。方法一：應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律單位面積元所受的摩擦力為：圓環(huán)上所有面元的力矩方向相同，即均向里，由轉(zhuǎn)動定律方法二、角動量定理因為力矩和角動量方向在同一直線上，

（5）

在自由旋轉(zhuǎn)的水平圓盤邊上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤的半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為J，角速度為ω。如果這人由盤邊走到盤心，求角速度的變化及此系統(tǒng)動能的變化。ωω′+=J2RmωJEkΔ=Ek′Ek′=Δωω=ωω2RmJ21=J+J()2Rm2J2ω2=21J+J2Rm2()2Rm解：系統(tǒng)角動量守恒ω′+=J()2RmωJ(1)21=+J()2Rm2Jω2(2)21=Jω2Ek′′ω

（6）

在半徑為R1、質(zhì)量為m的靜止水平圓盤上，站一質(zhì)量為m的人。圓盤可無摩擦地繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動。當這人開始沿著與圓盤同心，半徑為R2（＜R1）的圓周勻速地走動時，設(shè)他相對于圓盤的速度為

v，問圓盤將以多大的角速度旋轉(zhuǎn)？ωR1R2′=R2vω人對盤的角速度盤對地的角速度ω由角動量守恒得：ω0+″=R22mJω′ω+==ω″ωR2+ωv人對地的角速度RJ1221=m解：0=ωR1221m+R22mR2+ωv()=ωR1221m+R2mvR22m=R122+R2vR222ωR1R2（7）在一半徑為R、質(zhì)量為m的水平圓盤的邊上，站著一個質(zhì)量為m′的人。這圓盤可繞通過中心的豎直軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸與軸承之間的摩擦阻力可忽略不計。當人沿盤的邊緣走一周回到盤上原有位置時，這圓盤將轉(zhuǎn)過多大的角度？ωRm′m盤對地的角速度ω由角動量守恒得：′ω0+″=R2mJωRJ221=m解：′=Rvω人對盤的角速度r0=ωR221m+R2mR+ωv()′r′ω+==ω″ωR+ωv人對地的角速度r=ωR221m+RmvR2m′r′ωRm′m=′R21m+mvmr′()tΔ由題意在時間內(nèi)，人相對盤轉(zhuǎn)過的角度為：′r=′R2m+mvm()Rrvπ2′=′2m+mm()π4′rωqtΔ==′R+mvm()tΔ2mtΔ在時間內(nèi)，盤相對地轉(zhuǎn)過的角度為：R=rvtΔπ2∴R′==ωtΔrvtΔπ2q=′（8）如圖所示，轉(zhuǎn)臺繞中心豎直軸以角速度ω作勻速轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)臺對該軸的轉(zhuǎn)動慣量J=5×1O-5kg.m。現(xiàn)有砂粒以1g/s的速度落到轉(zhuǎn)臺，并粘在臺面形成一半徑r=0.1m的圓。試求砂粒落到轉(zhuǎn)臺，使轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)棣?/2所花的時間。ω0ωJ2′21+==()ω0J′Jmrω0==mdtdtm2Jrmdtd==5×10-51×10-30.12()×5sω0ω0=221Jm21r=J5×10-5kg.m21m-3d×=td10kg/s已知：解：由角動量守恒2=Jmrω0r

（9）

飛輪的質(zhì)量為60kg，直徑為0.50m，轉(zhuǎn)速為1000r／min，現(xiàn)要求在5s內(nèi)使其制動，求制動力F,假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)μ=0.4，飛輪的質(zhì)量全部分布在輪的外周上。尺寸如圖所示。Fωd閘瓦0.5m0.75m=3.75kg.m20t=100060n×==π2ω0π2=104.7r/s5t==ω0fNFNfl1l2RJm2==60×(0.25)2

解：ω104.720.9r/s250at===ω0l1+=()Fl2Nl10=RJfma=NRl1=Fl1+l2mRJa=314Nm=NRJa

（10）如圖，滑輪的轉(zhuǎn)動慣量J=0.5kg·m2，半徑r=30cm，彈簧的勁度系數(shù)為k=20N/m，重物的質(zhì)量m=2.0kg。當此滑輪一重物系統(tǒng)從靜止開始啟動，開始時彈簧沒有伸長。如摩擦可忽略，問物體能沿斜面滑下多遠？37Jmrk0b+ωgmk