隨機(jī)過程第四章和第五章

工程隨機(jī)過程第四章平衡隨機(jī)過程和各態(tài)歷經(jīng)過程在隨機(jī)過程的大家族中，有一類隨機(jī)過程，它的統(tǒng)計(jì)特性或者說統(tǒng)計(jì)變化規(guī)律與所選取的時間起點(diǎn)無關(guān)。或者說，整個隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時間的推移而變化。例如，飛機(jī)在某一水平高度h上飛行時，由于受到氣流的影響，實(shí)際飛行高度H(t)總是在理論設(shè)計(jì)高度h水平上下隨機(jī)波動，此時飛機(jī)的實(shí)際飛行高度H(t)是一個隨機(jī)過程，顯然此過程可看作不隨推移面變化的過程，這個隨機(jī)過程，我們把它看作是平衡的隨機(jī)過程。此外當(dāng)我們知道一個隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程時，它應(yīng)不隨時間的推移而變化。例如當(dāng)我們要測定一個電阻的熱噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，由于它是平穩(wěn)過程，因而我們在任何時間進(jìn)行測試都能得到相同的結(jié)果?！?.1嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程及其數(shù)字特征

定義嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程：對于任意的t，隨機(jī)過程X(t)的任意n維概密度都有

則稱X(t)為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。研究平穩(wěn)過程的意義在于：該過程在任何時刻計(jì)算它的統(tǒng)計(jì)結(jié)果都是相同的。由定義知平穩(wěn)隨機(jī)過程的n維概度密度函數(shù)不隨時間而變化，這一特性具體反映在隨機(jī)過程的一、二維概率密度及數(shù)字特征方面具有如下性質(zhì)：性質(zhì)4.1

若X(t)為平衡過程，則它的一維概率密度與時間無關(guān)。

性質(zhì)4.1

若X(t)為平衡過程，則它的一維概率密度與時間無關(guān)證設(shè)X(t)的一維概率密度函數(shù)為，由于X(t)為平穩(wěn)過程∴令則由此我們可求平穩(wěn)過程X(t)的均值、均方值、方差。顯然是一個數(shù)。這說明平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)。顯然，X(t)的均方值、方差都與時間t無關(guān)。由此知，當(dāng)隨機(jī)過程為平穩(wěn)過程時，該過程的所有樣本函數(shù)總是它們均值——水平直線上下波動，樣本曲線偏離水平直線的幅度正好是。如圖4.1所示，圖中細(xì)實(shí)線表示隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，粗實(shí)線表示隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望，虛線表示隨機(jī)過程對數(shù)學(xué)期望的偏差。性質(zhì)4.2

平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與的時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)。性質(zhì)4.2

平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與的時間間隔有關(guān)，而與時間起點(diǎn)無關(guān)。證：設(shè)X(t)的二維概率密度函數(shù)為由于X(t)為平穩(wěn)過程，所以對任意有若令，則而正是隨機(jī)過程二維概率密度函數(shù)的時間間隔，令，則：此式表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概率密度函數(shù)僅依賴于，而時間的個別值無關(guān)。由此，我們可以進(jìn)一步來討論平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)應(yīng)具有什么樣的表達(dá)形式。又∵

∴

順便指出，由一個隨機(jī)過程的平穩(wěn)性研究可推廣到關(guān)于兩個隨機(jī)過程的平穩(wěn)性研究，可以這樣說，若兩個隨機(jī)過程的聯(lián)合概率密度函數(shù)不隨時間的平移而變化，與時間的起點(diǎn)無關(guān)，則可稱這兩個隨機(jī)過程是聯(lián)合平衡的，或稱平穩(wěn)相依。§4.2寬平穩(wěn)隨機(jī)過程

從上面介紹的嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義知，要判斷一個隨機(jī)過程是否是嚴(yán)平穩(wěn)，需要確定該隨機(jī)過程的任意n維概率密度函數(shù)族，它的變化是否與時間的平穩(wěn)無關(guān)，這本身就是一個十分困難的工作，然而在工程上根據(jù)實(shí)際需要，我們往往只在所謂的相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮隨機(jī)過程的平穩(wěn)性問題，這里所指的相關(guān)理論，就是指隨機(jī)過程的數(shù)字特征，即數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)和今后要介紹的功率普密度等。當(dāng)在相關(guān)理論又可指研究隨機(jī)過程的一、二階矩理論。

前面已經(jīng)介紹過，對于一個隨機(jī)過程X(t)，我們當(dāng)然希望能建立起它的多維分布函數(shù)，因?yàn)殡S機(jī)過程的多維分函數(shù)能較完整地描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，但是要建立多維分布函數(shù)往往很困難，因此我們一般在相關(guān)理論范圍內(nèi)也就是用數(shù)字特征來描述過程的重要特性，這種用數(shù)字特征來描述過程X(t)統(tǒng)計(jì)特性變化規(guī)律，對很多實(shí)際問題往往已能獲得很好的效果，可以提取到所需的參數(shù)。定義寬平穩(wěn)過程：給定隨機(jī)過程X(t)，如果常數(shù)且則稱X(t)為寬平穩(wěn)過程（廣義平穩(wěn)過程）。顯然由寬平穩(wěn)定義可知，要求就要考慮X(t)的一維概率密度函數(shù)和二維概率密度函數(shù)。下面我們來分析一下嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)之間的關(guān)系。對于一個隨機(jī)過程X(t)，如果它是嚴(yán)平穩(wěn)的，且它的二階矩存在及均方有界，則由嚴(yán)平穩(wěn)雙因嚴(yán)平穩(wěn)的一維概率密度與時間無關(guān)，即∴常數(shù)又因嚴(yán)平穩(wěn)的二維概率密度只與時間間隔有關(guān)，即∴綜上所述，嚴(yán)平穩(wěn)一定是寬平穩(wěn)

反之不一定成立，除非是高斯過程（正態(tài)過程）。類似地，我們還可以給出兩個隨機(jī)過程聯(lián)合寬平穩(wěn)定義。定義聯(lián)合寬平穩(wěn)：對于平穩(wěn)過程若則稱聯(lián)合寬平穩(wěn)。

順便指出，今后凡提到“平穩(wěn)過程”，通常是指寬平穩(wěn)過程。例4.1設(shè)Y是隨機(jī)變量，試分別考慮隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。

順便指出，今后凡提到“平穩(wěn)過程”，通常是指寬平穩(wěn)過程。例4.1設(shè)Y是隨機(jī)變量，試分別考慮隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。解∵Y是隨機(jī)變量，∵這一過程是一個與時間無關(guān)的特殊的過程，它的任何n維概率密度函數(shù)與時間無關(guān)，所以是一個嚴(yán)平穩(wěn)?！呤菄?yán)平穩(wěn),∴只要則X1(t)是寬平穩(wěn)。對于都與時間有關(guān)，所以為非平穩(wěn)。例4.2設(shè)是一周期為T的函數(shù)，是（0,T）上具有均勻分布的隨機(jī)變量，稱為隨機(jī)相位周期過程，試討論它的平穩(wěn)性。解由題設(shè)知的概率密度函數(shù)為要討論X(t)的平穩(wěn)性，由寬平穩(wěn)定義知，需要求。當(dāng)取定為一隨機(jī)變量的函數(shù)，由求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式知∵令，則常數(shù)又∵令§4.3各態(tài)歷經(jīng)過程

1.各態(tài)歷經(jīng)問題的提出

對于一個隨機(jī)過程X(t)，我們當(dāng)然希望知道它們的分布函數(shù)，但很困難，于是我們退而求其次，考慮求它的數(shù)字特征即數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)等。但要求X(t)的數(shù)字特征，首先需要知道它的一、二維概率密度函數(shù)，即這實(shí)際上又很難辦，進(jìn)而為我們求數(shù)字特征又帶來困難。怎么解決這個問題呢？實(shí)際上，在工程中，要求X(t)的數(shù)字特征，我們首先是通過試驗(yàn)來產(chǎn)生一族時間樣本函數(shù)或者是做試驗(yàn)產(chǎn)生一個樣本函數(shù)x(t)，然后再對樣本函數(shù)x(t)取不同時刻，如，得所對應(yīng)的結(jié)果，即此時隨機(jī)過程可表示為。對任意指定時刻的數(shù)學(xué)期望可近似表示為自相關(guān)函數(shù)可近似表示為來計(jì)算，顯然這種用近似計(jì)算的方法來估計(jì)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望及自相關(guān)函數(shù)要求n很大，即樣本函數(shù)xk(t)很多。但這在實(shí)際工程又常常又很難做到，于是人們自然想到能不能夠通過測試一個樣本函數(shù)如用一個樣本函數(shù)xi(t)的均值和相關(guān)函數(shù)來近似隨機(jī)過程的均值和相關(guān)函數(shù)，如果能，這為我們求隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)特征就帶來了很大方便。這里提出一個問題：怎樣表示一個樣本函數(shù)如x1(t)的均值呢？我們以下式來表示顯然x1(t)不同其積分結(jié)果一般不同。

于是對一個隨機(jī)過程，，其樣本函數(shù)的積數(shù)結(jié)果可能不同。此時顯然用一個樣本函數(shù)的數(shù)字特征如，近似是不正確的。但是如果當(dāng)時間區(qū)間T充分大時，如果X(t)的絕大多數(shù)樣本函數(shù)的均值都有則我們可用其中一個樣本函數(shù)的均值作為[X(t)]的近似，即定義隨機(jī)過程的時間均值和時間相關(guān)函數(shù)：稱為隨機(jī)過程的時間相關(guān)函數(shù)。注意：定義中一般都是隨機(jī)變量（常數(shù)可看作特殊的隨機(jī)變量）。由上述分析可知，是不是任何一個隨機(jī)過程，它的數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)都可用其中的一個樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)來近似呢，顯然不一定，一個自然的問題是X(t)在什么條件下可用一個樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為整個過程X(t)的均值，自相關(guān)函數(shù)的近似呢？2.平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性

要回答上述的問題，我們設(shè)當(dāng)X(t)為平穩(wěn)過程且滿足一定條件時，可用一個樣本函數(shù)的均值和自相關(guān)函數(shù)作為過程X(t)的數(shù)字特征近似，為此我們給出如下定義：定義：設(shè)X(t)是一個平穩(wěn)過程（1）若

以概率1成立，則稱隨機(jī)過程X(t)均值具有各態(tài)歷經(jīng)性這里依概率1成立是指對X(t)的所有樣本函數(shù)即由此知，此時，我們可用一個樣本函數(shù)的均值如的值作為的近似值。反之，若已知X(t)的均值各態(tài)歷程，則可用一個樣本函數(shù)的均值作為過程X(t)的均值。（2）若

以概率1成立，則稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。

這里若X(t)的自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)，就是指我們可用過程X(t)的一個樣本函數(shù)、xn(t)的時間相關(guān)函數(shù)

即作為過程的相關(guān)函數(shù)。（3）若X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱X(t)是寬各態(tài)歷經(jīng)過程，簡稱X(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程。綜上所述，如果X(t)是各態(tài)歷經(jīng)過程，則必為平穩(wěn)過程，此時可用過程的一個樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為過程的數(shù)字特征近似。例4.3設(shè)隨機(jī)過程式中為參數(shù)，是（0.2,）上均勻分布隨機(jī)變量。①求證X(t)是寬平穩(wěn)過程；②該過程是否是各態(tài)歷經(jīng)過程。例4.3設(shè)隨機(jī)過程式中為參數(shù)，是（0.2,）上均勻分布隨機(jī)變量。①求證X(t)是寬平穩(wěn)過程；②該過程是否是各態(tài)歷經(jīng)過程。解①∴X(t)為一寬平穩(wěn)過程。②顯然由①、②結(jié)果再由隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)定義知∴X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過程。如果兩個隨機(jī)過程X(t)，Y(t)，當(dāng)它們各自都是各態(tài)歷經(jīng)時，并且時間互相關(guān)函數(shù)與統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)以概率1相等時，我們有如下定義：定義兩個隨機(jī)過程聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)：設(shè)X(t)，Y(t)各自都各態(tài)歷經(jīng)則稱X(t)，Y(t)為聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)過程。同理當(dāng)X(t)，Y(t)聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)時，可用它們的一對樣本函數(shù)的數(shù)字特征作為X(t)，Y(t)的數(shù)字特征近似。3.

隨機(jī)過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程的判定

從前面的分析知，如果一個隨機(jī)過程能成為一個平衡過程，這對我們研究各態(tài)歷經(jīng)非常方便。各態(tài)歷經(jīng)則該過程一定是平衡過程，反之則不一定成立，于是很自然提出這樣一個問題，能不能給出一些判定定理，使其可以很方便地判定一個平穩(wěn)過程成為各態(tài)歷經(jīng)過程。通過對平穩(wěn)過程的分析研究，我們給出如下的幾個判定定理。

性質(zhì)4.3平穩(wěn)過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是

式中：為平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)；為平穩(wěn)過程的數(shù)學(xué)期望。例4.4已知隨機(jī)電報(bào)信號X(t)，它的，，問X(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。例4.4已知隨機(jī)電報(bào)信號X(t)，它的，，問X(t)是否均值各態(tài)歷經(jīng)。解∵∴X(t)是均值各態(tài)歷經(jīng)的。性質(zhì)4.4平衡過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具備各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是式中平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)具有聯(lián)合各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件（4.7）式相似，只是將（4.7）式中相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)改為互相關(guān)函數(shù)即可。性質(zhì)4.5對于高斯平穩(wěn)過程，如果它的均值為零，自相關(guān)函數(shù)連續(xù)，則該過程各態(tài)歷經(jīng)的一個充分條件是

綜上所述，對一個平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)通過性質(zhì)1、2判定以后，如果X(t)各態(tài)歷經(jīng)了，則對于該過程的數(shù)字特征，即求，我們可用也就是當(dāng)X(t)各態(tài)歷經(jīng)時，我們可用一個樣本函數(shù)的時間均值和時間自相關(guān)函數(shù)作為過程X(t)的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)的近似。最后順便說明，對于許多實(shí)際問題，如果要從理論上判定一個過程是否為各態(tài)歷經(jīng)過程，往往是比較困難。因此工程上經(jīng)常都是憑經(jīng)驗(yàn)把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設(shè)，然后根據(jù)實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)這個假設(shè)是否合理。在實(shí)際應(yīng)用中一般不可能給出隨機(jī)過程X(t)的樣本函數(shù)x(t)的表達(dá)式，因此，確定各態(tài)歷經(jīng)過程的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)，有兩種方法：第一種方法用模擬自相關(guān)分析儀，自動畫出自相關(guān)曲線。這種儀器的功能是當(dāng)輸入樣本函數(shù)時，X-Y記錄儀自動描繪出自相關(guān)函數(shù)的曲線。它的方框圖如圖4.2所示。圖4.2圖4.3

第二種方法用數(shù)字處理方法（即近似計(jì)算方法）。如圖4.3把[0，T]等分為N個長為的小區(qū)間，再在時刻，取樣，得N個函數(shù)值。于是再把積分表達(dá)式表示為基本區(qū)間上的和，就有數(shù)字估計(jì)式（4.8）。類似可以寫出在時的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)式（4.9）式，由這個估計(jì)式可算出自相關(guān)函數(shù)的一系列近似值，從而可作出自相關(guān)函數(shù)的近似圖形，見圖4.4。圖4.4最后指出，工程上遇到的很多平穩(wěn)過程，我們一般都把它看成各態(tài)歷經(jīng)過程，然后用各態(tài)歷經(jīng)的方法來確定過程X(t)的統(tǒng)計(jì)特性，看處理出來的結(jié)果是否與實(shí)際相符合，如果不相符合，再對過程的假設(shè)作修改。

4.平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)對于一個隨機(jī)過程，它的基本數(shù)字特征是數(shù)學(xué)期望和相關(guān)函數(shù)，但是當(dāng)隨機(jī)過程為平穩(wěn)過程時，它的數(shù)學(xué)期望是一個常數(shù)，經(jīng)中心化后可以變?yōu)榱悖援?dāng)過程X(t)平穩(wěn)后其基本數(shù)字特征實(shí)際上就是相關(guān)函數(shù)。此外，相關(guān)函數(shù)不僅可向我們提供隨機(jī)過程各狀態(tài)間的關(guān)聯(lián)特性的信息，而且也是求取隨機(jī)過程的功率譜密度以及從噪聲中提取有用信息工具。為此下面我們專門研究一下平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)。性質(zhì)4.6證∵當(dāng)，即平穩(wěn)過程的均方值可自由相關(guān)函數(shù)得到。性質(zhì)4.7，即平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)。同理證∵性質(zhì)4.8平穩(wěn)過程X(t)自相關(guān)函數(shù)的最大點(diǎn)在處，即

性質(zhì)4.8平穩(wěn)過程X(t)自相關(guān)函數(shù)的最大點(diǎn)在處，即證∵任何非負(fù)函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，的平方均值，即∴∴∴又∵X(t)平穩(wěn)，∴∴∵平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維率密度函數(shù)不隨時間的平緩而變化，即∴∴∴同理對于

性質(zhì)4.9周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)是周期函數(shù)，且與周期平穩(wěn)地程的周期相同，即證設(shè)∵性質(zhì)4.10非周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)滿足例4.6非周期平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)。求。解∵∴∴為了方便表征隨機(jī)過程在兩個不同時刻狀態(tài)之間的線性關(guān)聯(lián)程度，我們給出自相關(guān)系數(shù)定義：定義自相關(guān)系數(shù)：

特別取，一般有顯然，自相關(guān)系數(shù)越接近1，狀態(tài)之間的關(guān)聯(lián)程度越高。也可以說，當(dāng)狀態(tài)與狀態(tài)之間的時間間隔越小，狀態(tài)之間的關(guān)系越高。因此相關(guān)系數(shù)可直觀地說明隨機(jī)過程不同兩個狀態(tài)的自相關(guān)程度的強(qiáng)弱或隨機(jī)過程起伏的快慢。相關(guān)時間是另一個表示隨機(jī)過程相關(guān)程度的量，它是利用相關(guān)系數(shù)來定義的。一般相關(guān)時間的定義有兩種，一種是把滿足時的作為相關(guān)時間。其物理意義為：若隨機(jī)過程X(t)的相關(guān)時間為，則認(rèn)為隨機(jī)過程的時間間隔大于的兩個時刻的取值不相關(guān)。另一種定義相關(guān)時間間隔大于的兩相時刻的取值不相關(guān)。另一種定義相關(guān)時間方法是將曲線在之間的面積等效成的矩形，如圖4.3所示。因此有圖4.3自相關(guān)系數(shù)5.設(shè)隨機(jī)過程互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)設(shè)為兩個平穩(wěn)過程。性質(zhì)4.11一般情況下，互相關(guān)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，同理，互協(xié)方差函數(shù)也是非奇非偶函數(shù)。性質(zhì)4.12互相關(guān)函數(shù)的幅度平方滿足同理，互協(xié)方差函數(shù)滿足性質(zhì)4.13互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)的幅度滿足同理性質(zhì)4.14互相關(guān)系數(shù)為了研究兩個平穩(wěn)過程的相互關(guān)聯(lián)程度，我們引入互相關(guān)系定義定義互相關(guān)系數(shù)：可以證明，且當(dāng)時互不相關(guān)。習(xí)題四1.考慮一個具有隨機(jī)相位的余弦波，它由如下定義的隨機(jī)過程描述：，其中是常數(shù)，服從上的均勻分布，證明X(t)是寬平穩(wěn)過程。2.考慮一個具有隨機(jī)振幅的正弦波，它由如下定義的隨機(jī)過程描述其中，A、B為兩個隨機(jī)變量，且滿足，，度X(t)為寬平穩(wěn)過程。3.設(shè)隨機(jī)過程是方差不為零的隨機(jī)變量，試討論其各態(tài)歷經(jīng)性。4.設(shè)X(t)是雷達(dá)的發(fā)射信號，遇到目標(biāo)后返回接收機(jī)的微弱信號是是信號返回時間，由于接收到的信號總是伴有噪聲，記噪聲為，于是接收機(jī)收到的全信號。①若X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)，求互相關(guān)函數(shù)。②在①的條件下，假如N(t)的均值為零，且X(t)是相互獨(dú)立，求（這是利用互相關(guān)函數(shù)從全信號中檢測小信號的接收法）。5.設(shè)有隨機(jī)過程，其中A是具有瑞利分布的隨機(jī)變量，其概率密度為是在（0,2）上具有均勻分布且與A相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，是一個常數(shù)，問X(t)是否是寬平穩(wěn)過程。第五章隨機(jī)過程的功率譜密度

當(dāng)我們在時間域內(nèi)研究某一函數(shù)的特性時，如果確定起來不方便，在數(shù)學(xué)上我們可以考慮將此函數(shù)通過某種變換將它變換到另一區(qū)域，比如說頻率域內(nèi)進(jìn)行研究，最終目的是使問題簡化。傅里葉變換提供了一種方法，就是如何將時間域的問題轉(zhuǎn)換到頻率域，進(jìn)而使問題簡化。在頻率域內(nèi)，頻率意味著信息變化的速度。即，如果一個信號有“高”頻成分，我們在頻率域內(nèi)就可以看到“快”的變化。這方面的應(yīng)用在數(shù)字信號分析和電路理論等方面應(yīng)用極廣。是不是任何一個時間函數(shù)都可以將其通過傅氏變換變到頻率域去研究呢？我們說當(dāng)時間函數(shù)滿足絕對可積條件時可以。然而，隨機(jī)過程的樣本函數(shù)，即一般不滿足絕對條件，因此隨機(jī)過程不能直接進(jìn)行付氏變換。此外，很多隨機(jī)過程的樣本函數(shù)不規(guī)則，無法用方程描述。這樣，若想直接對隨機(jī)過程進(jìn)行譜分解，顯然也不行。但是，對隨機(jī)過程進(jìn)行某種處理后，同樣可對隨機(jī)過程施行傅里葉變換?！?.1功率譜密度

為了研究隨機(jī)信號的傅氏變換，我們首先簡單復(fù)習(xí)一下確定信號的頻譜、能譜密度及能量概念，然后再引入隨機(jī)過程的功率譜密度概念。定理5.1設(shè)S(t)是一個確定信號，且在上，則S(t)的傅氏變換存在，或者說具有頻譜記為一般頻譜是一個復(fù)數(shù)，且有，*表示共軛。我們知道，對于復(fù)數(shù)有∴對于定理的物理解釋是，或代表電流或電壓，則定理?xiàng)l件要求，即是要求的總能量必須有限。

由積分變換的巴塞伐能量公式有下面我們來解釋一下公式的物理含義等式左邊表示在上的總能量，而右邊積分中被積函數(shù)相應(yīng)地稱為能譜密度。巴塞伐公式理解為時間域上的總能量可用頻率域上的頻譜能量表示。然而，工程技術(shù)上有許多重要的時間函數(shù)總能量是無限的，不能滿足傅氏變換絕對可積條件，如正弦就是。我們要研究的隨機(jī)過程，由于持續(xù)時間是無限的，所以其總能量也是無限的，即所以隨機(jī)過程的頻譜不存在。那么該如何應(yīng)用傅氏變換工具來對隨機(jī)過程進(jìn)行化簡研究呢？我們是這樣考慮的，一個隨機(jī)過程，盡管它的樣本函數(shù)總能量是無限的，但它的平均功率是有限的，即這是隨機(jī)過程的樣本函數(shù)在時間域上的平均功率表示。這樣，對隨機(jī)過程的樣本函數(shù)而方，雖然研究它的頻譜沒有意義，但研究它的平均功率確有意義。圖5.1及其截取函數(shù)

怎樣具體表示隨機(jī)過程一個樣本函數(shù)的平均功率呢，我們是這樣操作的：首先定義的一個樣本函數(shù)，不妨設(shè)為，再次將樣本函數(shù)任意截取一段，長度為2T，并記為。稱為原樣本函數(shù)的截取函數(shù)，如圖5.1所示。用公式表示即為于是滿足絕對可積條件?！啻嬖诟妒献儞Q，即這里稱為的頻譜函數(shù)。又由于隨機(jī)過程在隨機(jī)試驗(yàn)中取哪一個樣本函數(shù)具有不確定性。因此，不同的試驗(yàn)結(jié)果，就意味著隨機(jī)過程可能取不同的樣本函數(shù)，亦即樣本函數(shù)與試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)，為此，可將樣本函數(shù)進(jìn)一步表示為，當(dāng)然該樣本函數(shù)的截取函數(shù)也可相應(yīng)表示為，顯然它的傅氏變換也可表示為。又∵由于引入隨機(jī)過程樣本函數(shù)的截取函數(shù)定義，所以又可給出上式隨機(jī)過程的樣本函數(shù)平均功率在頻率域的表示形式。在上式中，令則稱（5.1）式為隨機(jī)過程X(t)的樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)。定義樣本函數(shù)的功率譜密度式中，為截取函數(shù)的頻譜。又∵隨機(jī)過程是由一族樣本函數(shù)組成，即顯然對每一個樣本函數(shù)，按照上面類似的方法都呆以求出它的一個樣本函數(shù)的功率譜密度，于是對所有的樣本函數(shù)取統(tǒng)計(jì)平均就可給出隨機(jī)過程的功率譜密度定義。定義隨機(jī)過程的功率譜密度：隨機(jī)過程的一個樣本函數(shù)的平均功率的表示形式，有兩種類似的，可求出X(t)的所有樣本函數(shù)的平均功率表示形式，然后取統(tǒng)計(jì)平均，則可以給出隨機(jī)過程的平均功率定義，定義隨機(jī)過程的平均功率：由隨機(jī)過程平均功率定義可知，要求隨機(jī)過程的平均功率可用兩種方法，一種方法是求出，即過程的功率譜密度，然后再積分，另一種方法是先求出過程的均方值，再積分。特別地，當(dāng)我們研究的隨機(jī)過程是平穩(wěn)過程時，此時的平穩(wěn)過程平均功率可表示為：∵X(t)平穩(wěn)∴∴該式說明：平穩(wěn)過程的平均功率等于該過程的均方值，也可由隨機(jī)過程的功率譜密度在全頻域上積分得到。若隨機(jī)過程再各態(tài)歷經(jīng)，則各態(tài)歷經(jīng)過程的功率譜密度可用一個樣本函數(shù)的功率譜密度來表示：例5.1隨機(jī)過程式中，是常數(shù)，上均勻分布隨機(jī)變量，求的平均功率。例5.1隨機(jī)過程式中，是常數(shù)，上均勻分布隨機(jī)變量，求的平均功率。解∵∴顯然該過程不平穩(wěn)?！唷?.2功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系通過對隨機(jī)過程的分析，我們知道隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)是從時間有度描述了過程的重要統(tǒng)計(jì)特性，而隨機(jī)過程的功率譜密度是從頻率角度描述了過程的統(tǒng)計(jì)特性，二者是異曲同工，研究的都是一個對象，于是人們自然提出一個問題，隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)和它的功率譜密度之間是否存在一定關(guān)系，我們說當(dāng)隨機(jī)過程平穩(wěn)且滿足一定條件時，它們之間存在一定關(guān)系。定理5.2如果平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)絕對可積，即則過程X(t)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度之間存在付氏變換，即例5.2設(shè)X(t)是平穩(wěn)過程，共相關(guān)函數(shù)，其中、是正數(shù)，求X(t)的譜密度。例5.2設(shè)X(t)是平穩(wěn)過程，自相關(guān)函數(shù)，其中、是正數(shù)，求X(t)的譜密度。解最后需要指出，在實(shí)際問題中常常碰到一些平穩(wěn)過程，它的自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度在通常意義可能付氏變換不存在。如果我們允許自相關(guān)函數(shù)或功率譜密度函數(shù)含有函數(shù)定義下自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度存在付氏變換。定義函數(shù)：如果函數(shù)滿足則稱函數(shù)為函數(shù)。性質(zhì)5.1若為無窮次可微函數(shù)，則或例5.3求的付氏變換。例5.4求的付氏逆變換。解∵又∵

∴例5.5若隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為求譜密度。例5.5若隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為解§5.3功率譜密度性質(zhì)

由隨機(jī)過程的功率譜密度定義，即可得如下幾個常用的性質(zhì)。性質(zhì)5.2

∵

式中，必為非負(fù)?！唷嘈再|(zhì)5.3是實(shí)函數(shù)。證∵是實(shí)函數(shù)∴是實(shí)函數(shù)∴是實(shí)函數(shù)性質(zhì)5.4是偶函數(shù)。證∵∴

而∴∴∴是偶函數(shù)。性質(zhì)5.5設(shè)X(t)為一個隨機(jī)過程，為隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)，則證