山西省忻州市秀容中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

山西省忻州市秀容中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A． B．5 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為邊長(zhǎng)為1的正方體切去一個(gè)三棱錐得到的，共含有7個(gè)面．【解答】解：由三視圖可知該幾何體為邊長(zhǎng)為1的正方體切去一個(gè)三棱錐得到的，三棱錐的底面邊長(zhǎng)為正方體相鄰三個(gè)面的對(duì)角線長(zhǎng)，剩余幾何體有3個(gè)面為原正方體的面，有3個(gè)面為原正方體面的一半，有1個(gè)面為等邊三角形，邊長(zhǎng)為原正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)．∴幾何體的表面積為1×3++（）2=．故選A．2.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是其定義域上的增函數(shù)的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.關(guān)于直線、與平面、，有下列四個(gè)命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號(hào)是(

).A．①②

B．②③

C．①④

D．③④參考答案：B4.在△ABC中，已知，則C=（

）A.300

B.1500

C.450

D.1350參考答案：C5.給出下面7個(gè)關(guān)系式：①②

③④⑤

⑥⑦，其中正確的個(gè)數(shù)是

A

3

B

4

C

5

D6參考答案：B6.的零點(diǎn)在下列哪個(gè)區(qū)間內(nèi)（

）

A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，3）

D．（3，4）參考答案：B7.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的表面積為（）A．8+4 B．8+4 C．8+16 D．8+8參考答案：A【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該幾何體是三棱錐，由三視圖求出棱長(zhǎng)、判斷出線面的位置關(guān)系，由條件和面積公式求出各個(gè)面的面積，加起來(lái)求出幾何體的表面積．【解答】解：根據(jù)三視圖和題意知幾何體是三棱錐P﹣ABC，直觀圖如圖所示：D是AC的中點(diǎn)，PB⊥平面ABC，且PD=BD=2，∴PB⊥AB，PB⊥BC，PB⊥BD，則PB=2，∵底面△ABC是等腰三角形，AB=BC=2，AC=4，∴PA=PC=2，∴該幾何體的表面積S==8+4，故選A．8.設(shè)集合和集合都是自然數(shù)集，映射把集合中的元素映射到集合中的元素，則在映射下，像20的原像是（）A.2

B.

3

C.4

D.

5參考答案：C略9.設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且lα，mβ.下列命題正確的是().A．若l⊥β，則α⊥β

B．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥β

D．若α∥β，則l∥m參考答案：A10.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)，，且，則A. B. C. D.1參考答案：B【分析】首先根據(jù)兩點(diǎn)都在角的終邊上，得到，利用，利用倍角公式以及余弦函數(shù)的定義式，求得，從而得到，再結(jié)合，從而得到，從而確定選項(xiàng).【詳解】由三點(diǎn)共線，從而得到，因?yàn)?，解得，即，所以，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)角的終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差值的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共線的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，余弦的倍角公式，余弦函數(shù)的定義式，根據(jù)題中的條件，得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，，則cosα=．參考答案：【考點(diǎn)】GP：兩角和與差的余弦函數(shù)．【分析】先確定α+的范圍，求得cos（α+）的值，進(jìn)而利用余弦的兩角和公式求得答案．【解答】解：∵，，∴∈（﹣，），∴cos（）==，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin==．故答案為：．12.在等比數(shù)列中，已知，，，則項(xiàng)數(shù)

.參考答案：

4

略13.已知ABC滿足,則ABC的形狀是三角形。參考答案：直角三角形

解析：注意到已知等式關(guān)于A，B的對(duì)稱性，為便于推理，我們?cè)谶@里不妨設(shè)A，B為銳角，

則有

故由此可得

∴cosC=0即C=90°∴ABC為Rt14.設(shè)函數(shù)f（x）=，則f（f（））=

．參考答案：1【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】先求出==4，從而f（f（））=f（4），由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=，∴==4，f（f（））=f（4）==1．故答案為：1．15.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為

．參考答案：416.設(shè)集合，，若，則a的取值范圍為________．參考答案：.【分析】先化簡(jiǎn)集合A,再根據(jù)得到關(guān)于a的不等式求出a的取值范圍.【詳解】由得，∴，由得，∴．又當(dāng)時(shí)，滿足，時(shí)，也滿足，∴.故答案為【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和關(guān)系運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)利用數(shù)軸處理集合的交集、并集、補(bǔ)集運(yùn)算時(shí)，要注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心，在含有參數(shù)時(shí)，要注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意．17.中國(guó)乒乓球隊(duì)甲、乙兩名隊(duì)員參加奧運(yùn)會(huì)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率為，乙?jiàn)Z得冠軍的概率為，那么中國(guó)隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分10分）如圖，長(zhǎng)方體中，,點(diǎn)是棱上一點(diǎn)（I）當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積是否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求這個(gè)三棱錐的體積（II）當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，是否始終有，證明你的結(jié)論。參考答案：（I）三棱錐的體積不變,所以（II）當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，始終有，證明：連結(jié),四邊形是正方形，所以,因?yàn)?

19.如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為頂點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為始邊分別作角與(0<<<)，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，)．

(I)求的值；

(II)若，求的值．參考答案：20.已知函數(shù)．（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；函數(shù)的值域．【分析】（1）由f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a＜+2x．記g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函數(shù)，得g（x）＞g（1）=3，由此能求出a的范圍．（2）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞），再由n＞m＞0和0＞n＞m兩種情況分別討論實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，得a﹣＜2x即a＜+2x，記g（x）=+2x，在（1，+∞）上是增函數(shù)，得g（x）＞g（1）=3，所以：a≤3（2）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋ī仭蓿?）∪（0，+∞）?。┊?dāng)n＞m＞0時(shí)，f（x）在[m，n]上是增函數(shù)，故，解得：a＞2；ⅱ）當(dāng)0＞n＞m時(shí)，f（x）在[m，n]上是減函數(shù)，故，解得：a=0；所以：a∈{0}∪（2，+∞）．21.（本小題滿分13分）已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）如果數(shù)列滿足，請(qǐng)證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)的值．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

……………1分當(dāng)時(shí)，．

……………2分又滿足，

……………3分

．

………………4分∵

，∴數(shù)列是以5為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

………………5分

（Ⅱ）由已知得

，

………6分∵

，

……7分又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

………………8分（Ⅲ）

……10分

∴

．

……11分∵

，∴單調(diào)遞增．∴．

…12分∴，解得，因?yàn)槭钦麛?shù)，∴．………………13分略22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x2﹣6x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）若圓C與直線x﹣y+a=0交與A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓相交的性質(zhì)．【專題】直線與圓．【分析】（Ⅰ）法一：寫出曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用圓心的幾何特征設(shè)出圓心坐標(biāo)，構(gòu)造關(guān)于圓心坐標(biāo)的方程，通過(guò)解方程確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而算出半徑，寫出圓的方程；法二：可設(shè)出圓的一般式方程，利用曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)同一性直接求出參數(shù)，（Ⅱ）利用設(shè)而不求思想設(shè)出圓C與直線x﹣y+a=0的交點(diǎn)A，B坐標(biāo)，通過(guò)OA⊥OB建立坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理尋找關(guān)于a的方程，通過(guò)解方程確定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲線y=x2﹣6x+1與y軸的交點(diǎn)為（0，1），與x軸的交點(diǎn)為（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圓心在直線x=3上，故可設(shè)該圓的圓心C為（3，t），則有32+（t﹣1）2=（2）2+t2，解得t=1，故圓C的半徑為，所以圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣1）2=9．法二：圓x2+y2+Dx+Ey+F=0x=0，y=1有1+E+F=0y=0，x2﹣6x+1=0與x2+Dx+F=0是同一方程，故有D=﹣6，F(xiàn)=1，E=﹣2，即圓方程為x2+y2﹣6x﹣2y+1=0（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足方程組，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1=0，由已知可得判別式△=56﹣16a﹣4a2＞0．在此條件下利用根