山西省忻州市圪廖中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

山西省忻州市圪廖中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為（

）A．

B.

C．

D．參考答案：C2.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則m+n=(

)

A．1

B．-1

C．2

D．-2參考答案：B3.某幾何體的三視圖如圖所示，當(dāng)xy最大時，該幾何體的體積為（）A． B．

C． D．參考答案：A略4.下列結(jié)論正確的是①“”是“對任意的正數(shù)，均有”的充分非必要條件②隨機變量服從正態(tài)分布，則③線性回歸直線至少經(jīng)過樣本點中的一個④若10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,設(shè)其平均數(shù)為,中位數(shù)為,眾數(shù)為，則有A．③④

B．①②

C．①③④

D．①④參考答案：D略5.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：D6.“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】首先解出兩個不等式，再比較x的范圍，范圍小的可以推出范圍大的．【解答】解：由|x﹣1|＜2，得﹣1＜x＜3，由x（x﹣3）＜0，得0＜x＜3，故選B．【點評】正確解出不等式，理解必要條件，充分條件的判斷．7.已知集合，，則（

）． A． B． C． D．參考答案：B∵或，，，故選．8.若實數(shù)、滿足，實數(shù)的最小值為

（

）A．

B．0

C．

D．3參考答案：D9.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），其俯視圖為等邊三角形，則該幾何體的體積（單位：cm3）是（

）A． B． C． D．參考答案：B10.函數(shù)定義在R上，常數(shù)，下列正確的命題個數(shù)是①若，則函數(shù)的對稱軸是直線②函數(shù)的對稱軸是③若，則函數(shù)的對稱軸是④函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率為______．參考答案：略12.已知為等差數(shù)列{}的前n項和，若＝1，＝4，則的值為

__________.參考答案：略13.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若a=3，∠B=2∠A，cosA=，則sinA=，b=．參考答案：，2考點：正弦定理；二倍角的余弦．專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值；解三角形．分析：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，由二倍角公式可求sinB，利用正弦定理即可求b的值．解答：解：∵cosA=，A為三角形內(nèi)角，∴sinA==，∵a=3，∠B=2∠A，sinB=2sinAcosA=2××=∴由正弦定理可得：=，可得：b===2．故答案為：，2．點評：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題14.已知三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°，=3，若P是BC邊上的動點，則?的取值范圍是．參考答案：[﹣，]【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】運圖形得出=×4×（﹣）=﹣8，=，=，0≤λ≤1化簡得出?=（+）=2+λ2+3×，運用數(shù)量積求解即可．【解答】解：∵三角形ABC中，AB=AC，BC=4，∠BAC=120°∴AB=，∠ABC=30°，求出=×4×（﹣）=﹣8，∵=3，∴=，=，0≤λ≤1∵?=（+）=2+λ2+3×∴?=﹣8λ+12λ×（﹣8）=4，0≤λ≤1根據(jù)單調(diào)性得出：?的取值范圍，故答案為：[﹣，]

【點評】本題考查了平面向量的運用算，向量的分解合成，數(shù)量積的運用，屬于中檔題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的向量求解．15.已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；則此棱錐的體積為__________.參考答案：的外接圓的半徑，點到面的距離,為球的直徑點到面的距離為此棱錐的體積為16.在極坐標(biāo)系下，已知圓O：和直線．（1）求圓O和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時，求直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo)．參考答案：故直線與圓O公共點的一個極坐標(biāo)為．……10分17.

若，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是

。

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）（Ⅰ）當(dāng)a=5時，求函數(shù)f（x）的定義域；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）的定義域為R時，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】：絕對值不等式的解法；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域．【專題】：計算題；壓軸題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：（1）a=5時，表達式中對數(shù)的真數(shù)大于0，即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0，分情況討論不等式的解集，最后取并集即可得到函數(shù)f（x）的定義域．（2）函數(shù)f（x）的定義域為R，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|＞a恒成立，根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出左邊的最小值，即可得到實數(shù)a的取值范圍．解：（Ⅰ）當(dāng)a=5時，要使函數(shù)f（x）有意義，即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①①當(dāng)x≤1時，不等式①等價于﹣2x+1＞0，解之得x；②當(dāng)1＜x≤5時，不等式①等價于﹣1＞0，無實數(shù)解；③當(dāng)x＞5時，不等式①等價于2x﹣11＞0，解之得x綜上所述，函數(shù)f（x）的定義域為（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的定義域為R，∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a＞0恒成立，∴只要a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|（x﹣1）+（x﹣5）|=4，（當(dāng)且僅當(dāng)1≤x≤5時取等號）∴a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即a＜4，可得實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，4）．【點評】：本題給出含有絕對值的對數(shù)形式的函數(shù)，求函數(shù)的定義域并討論不等式恒成立．著重考查了函數(shù)的定義域及其求法和絕對值不等式的解法與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．19.已知函數(shù)，其中常數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)在點處的切線方程為，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)的“類對稱點”，當(dāng)時，試問是否存在“類對稱點”，若存在，請求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.參考答案：（1））函數(shù)的定義域為

……1分………………3分，由，即，得或由，得…………，單調(diào)遞減區(qū)間為…………5分（2）解：當(dāng)時，，從而所以在點處的切線的斜率為所以在點處的切線方程為……7分令則又則令得或

………………8分①當(dāng)，即時，令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又易知所以當(dāng)時，，從而有時，②當(dāng)，即時，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，從而有時，所以當(dāng)時，函數(shù)不存在“類對稱點”…………10分③當(dāng)時，，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，若，，

故恒成立所以當(dāng)時，函數(shù)存在“類對稱點”，其橫坐標(biāo)為?！?2分20.已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測試，學(xué)校決定利用隨機數(shù)表法從中抽取100人進行成績抽樣調(diào)查，先將800人按001、002、800編號.(1)

如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢查的3個人的編號；（下面摘取了第7行到第9行）

8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695566719

9810507175

1286735807

44395238793321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954（2）抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚撼煽兎譃閮?yōu)秀、良好、及格三個等級；橫向、縱向分別表示地理成績與數(shù)學(xué)成績各等級人數(shù)，例如：表中數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42.1

若在該樣本中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率是，求a,b的值；人數(shù)數(shù)學(xué)優(yōu)秀良好及格

地理優(yōu)秀7205良好9186及格a4b

②在地理成績及格的學(xué)生中，已知求數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.

參考答案：（1）785,667,199；（2）①a=14,b=17，②.解析：（1）785,667,199.----3分（2）①-----5分

②------6分因為所以a,b的搭配是：（10,21），（11,20）,(12,19),,(15,16),(16,15),(23,8),共有23-9=14種.------8分設(shè)時，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少為事件A，事件A包括：（10,21），（11,20），（12,19），，（15,16），共15-9=6個基本事件.-----10分所以,即：數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率為.---12分

略21.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N

分別是PA、BC的中點．(I)求證：MN∥平面PCD；(II)在棱PC上是否存在點E，使得AE⊥平面PBD?若存在，求出AE與平面PBC所成角的正弦值，若不存在，請說明理由．參考答案：（Ⅰ）證明：取PD中點為F，連結(jié)FC，MF．∵,.∴四邊形為平行四邊形，……………3分∴，又平面,…………5分∴MN∥平面PCD.……6分（Ⅱ）以A為原點，AB、AD、AP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2，則B(2,0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，設(shè)PC上一點E坐標(biāo)為，，即，則．………………7分由,解得．∴.………………9分作AH⊥ PB于H，∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，∴AH⊥平面PBC,取為平面PBC的法向量．則，∴設(shè)AE與平面PBC所成角為，,的夾角為，則.…………12分22.已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且是1與an的等差中項．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）設(shè)Tn為數(shù)列{}的前n項和，證明：＜Tn＜1（n∈N*）參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（Ⅰ）n=1時，可求得a1=1；依題意，4Sn=（an+1）2，n≥2時，4Sn﹣1=（an﹣1+1）2，二式相減，可得