山西省忻州市五寨縣杏嶺子鄉(xiāng)聯(lián)校2021年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析

山西省忻州市五寨縣杏嶺子鄉(xiāng)聯(lián)校2021年高二數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.圓ρ=（cosθ+sinθ）的圓心的極坐標(biāo)是（）A．（1，） B．（，） C．（，） D．（2，）參考答案：C【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】先在極坐標(biāo)方程ρ=（cosθ+sinθ）的兩邊同乘以ρ，再利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進(jìn)行代換化成直角坐標(biāo)方程求解即得．【解答】解：將方程ρ=（cosθ+sinθ）兩邊都乘以ρ得：ρ2=pcosθ+ρsinθ，化成直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣x﹣y=0．圓心的坐標(biāo)為（，）．化成極坐標(biāo)為（1，）．故選C．2.在ΔABC中，a=2，b=3，c=4，則ΔABC的面積是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.某人從2008年起，每年1月1日到銀行新存入元(一年定期)，若年利率為保持不變，且每年到期存款自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2012年1月1日將所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)為（

）(單位為元)A.

B.

C.

D.參考答案：B4.在某項(xiàng)體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分?jǐn)?shù)如下：

90

89

90

95

93

94

93去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（

）

A.92,2

B.92,2.8C.93,2

D.93,2.8參考答案：B5.已知隨機(jī)變量η＝8--ξ，若ξ～B(10,0.6)，則Eη，Dη分別是()

A．6和2.4

B．2和5.6

C．6和5.6

D．2和2.4參考答案：D6.命題“x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是（

）A．x∈Z，使x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．x∈Z，使x2＋2x＋m≤0

D．x∈Z，使x2＋2x＋m>0參考答案：D7.為了解一片速生林的生長情況,隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長(單位:cm).根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖(如右),那么在這100株樹木中,底部周長小于110cm的株數(shù)是（）A．30

B．60

C．70

D．80參考答案：C8.在△ABC中，AC＝6，BC＝7，＝，是△ABC的內(nèi)心，若，其中,動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋的面積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.設(shè),集合是奇數(shù)集,集合是偶數(shù)集．若命題,則

（） A． B． C． D．參考答案：A10.拋物線y2=4px（p＞0）上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為，則M到y(tǒng)軸距離為(

)A.a-p

B.a+p

C.a－

D.a+2p

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓（x﹣1）2+（y+1）2=16的一條直徑恰好經(jīng)過直線x﹣2y+3=0被圓所截弦的中點(diǎn)，則該直徑所在直線的方程為

．參考答案：2x+y﹣1=0【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】綜合題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】由題意求出圓心坐標(biāo)（1，﹣1），再由弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在的直線垂直求出斜率，進(jìn)而求出該直徑所在的直線方程【解答】解：由題意知，已知圓的圓心坐標(biāo)（1，﹣1）∵弦的中點(diǎn)與圓心的連線與弦所在的直線垂直得，且方程x﹣2y+3=0∴該直徑所在的直線的斜率為：﹣2，∴該直線方程y+1=﹣2（x﹣1）；即2x+y﹣1=0，故答案為：2x+y﹣1=0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了過弦中點(diǎn)的直徑和弦所在的直線的位置關(guān)系，直線垂直和直線的斜率關(guān)系，進(jìn)而求直線方程，屬于中檔題．12.已知函數(shù)在區(qū)間（-1,1）上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

____

．參考答案：略13.已知實(shí)數(shù)x∈[1，9]，執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出的x不小于55的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【專題】圖表型．【分析】由程序框圖的流程，寫出前三項(xiàng)循環(huán)得到的結(jié)果，得到輸出的值與輸入的值的關(guān)系，令輸出值大于等于55得到輸入值的范圍，利用幾何概型的概率公式求出輸出的x不小于55的概率．【解答】解：設(shè)實(shí)數(shù)x∈[1，9]，經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=2x+1，n=2經(jīng)過第二循環(huán)得到x=2（2x+1）+1，n=3經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此時(shí)輸出x輸出的值為8x+7令8x+7≥55，得x≥6由幾何概型得到輸出的x不小于55的概率為==．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，一般采用先根據(jù)框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，根據(jù)結(jié)果找規(guī)律．14.命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為

．參考答案：若x＞2，則x＞1

【考點(diǎn)】四種命題．【分析】根據(jù)已知中的原命題，結(jié)合逆命題的定義，可得答案．【解答】解：命題“若x＞1，則x＞2”的逆命題為命題“若x＞2，則x＞1”，故答案為：若x＞2，則x＞1【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是四種命題，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．15.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M、N分別在線段AB1、BC1上運(yùn)動(dòng)（不包括線段端點(diǎn)），且.以下結(jié)論：①；②若點(diǎn)M、N分別為線段AB1、BC1的中點(diǎn)，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD-A1B1C1D1上的截面為等邊三角形；③四面體MBCN的體積的最大值為；④直線D1M與直線A1N的夾角為定值.其中正確的結(jié)論為______.（填序號(hào)）參考答案：①②③【分析】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，可得四邊形MNEF是矩形，可得MN∥FE，利用AA1⊥面AC，可得結(jié)論成立；②截面為△AB1C，為等邊三角形，故正確．③設(shè)，則＝dM﹣BCN=，故③成立；④設(shè)，當(dāng)接近于0時(shí)，直線與直線的夾角接近于，當(dāng)接近于1時(shí)，夾角接近于，故④不正確；【詳解】①作NE⊥BC，MF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)，∵AM＝BN，∴NE＝MF，∴四邊形MNEF是矩形，∴MN∥FE，∵AA1⊥面AC，EF?面AC，∴AA1⊥EF，∴AA1⊥MN，故①正確；②點(diǎn)M、N分別為線段AB1、BC1的中點(diǎn)，則由線MN與AB1確定的平面在正方體ABCD﹣A1B1C1D1上的截面為△AB1C，為等邊三角形，故②正確．③設(shè)，則＝dM﹣BCN，又AM=BN=,∴=，dM﹣BCN=，∴＝dM﹣BCN=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，故③成立；④設(shè)，當(dāng)接近于0時(shí)，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，當(dāng)接近于1時(shí)，直線與直線的夾角近似于直線和直線的夾角，接近于，故④不正確；綜上可知，正確的結(jié)論為①②③故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、垂直，考查點(diǎn)到面的距離的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．16.橢圓的長軸長為；參考答案：617.已知點(diǎn)P（m，n）是直線2x+y+5=0上的任意一點(diǎn)，則的最小值為

．參考答案：【考點(diǎn)】7F：基本不等式．【分析】變形利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵點(diǎn)P（m，n）是直線2x+y+5=0上的任意一點(diǎn)，∴2m+n+5=0．則==≥，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）設(shè)g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）證明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】創(chuàng)新題型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的定義域，把函數(shù)f（x）求導(dǎo)得到g（x）再對(duì)g（x）求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到函數(shù)g（x）的單調(diào)期間；（Ⅱ）由f（x）的導(dǎo)函數(shù)等于0把a(bǔ)用含有x的代數(shù)式表示，然后構(gòu)造函數(shù)φ（x）=x2，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理得到x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），利用導(dǎo)數(shù)求得a0∈（0，1），然后進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)說明當(dāng)a=a0時(shí)，若x∈（1，+∞），有f（x）≥0，即可得到存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【解答】解：（Ⅰ）由已知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），g（x）=，∴．當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（x）在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)a時(shí)，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（Ⅱ）由=0，解得，令φ（x）=x2，則φ（1）=1＞0，φ（e）=．故存在x0∈（1，e），使得φ（x0）=0．令，u（x）=x﹣1﹣lnx（x≥1），由知，函數(shù)u（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．∴．即a0∈（0，1），當(dāng)a=a0時(shí)，有f′（x0）=0，f（x0）=φ（x0）=0．由（Ⅰ）知，f′（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（1，x0）時(shí)，f′（x）＜0，從而f（x）＞f（x0）=0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，從而f（x）＞f（x0）=0．∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）≥0．綜上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立，且f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)有唯一解．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新知識(shí)，考查了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．19.（本題6分）已知，且。求的值。參考答案：由，得，所以，

2分此時(shí)

3分由題意可知，,

4分所以。

6分20.已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinxcosx﹣．（1）若x∈[0，]，求f（x）的最大值及取得最大值時(shí)相應(yīng)的x的值；（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若f（）=1，b=l，c=4，求a的值．參考答案：【考點(diǎn)】GT：二倍角的余弦；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GS：二倍角的正弦；H4：正弦函數(shù)的定義域和值域；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡可得f（x）=，結(jié)合，可求sin（2x+）的范圍，進(jìn)而可求函數(shù)的最大值及取得最大值的x（Ⅱ）由，及0＜A＜π，可求A，結(jié)合b=1，c=4，利用余弦定理可求a【解答】解：（Ⅰ）==．

…（4分）∵，∴，∴，即．∴f（x）max=1，此時(shí)，∴．

…（8分）（Ⅱ）∵，在△ABC中，∵0＜A＜π，，∴，．

…（10分）又b=1，c=4，由余弦定理得a2=16+1﹣2×4×1×cos60°=13故．

…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，及余弦定理解三角形的應(yīng)用．21.如圖，平面平面，四邊形為矩形，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若二面角的余弦值為時(shí)，求的值．

參考答案：

略22.已知：等差數(shù)列{an}中，a4=14，前10項(xiàng)和S10=185．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）將{an}中的第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，…，第2n項(xiàng)按原來的順序排成