山西省大同市開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

山西省大同市開(kāi)發(fā)區(qū)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.有這樣一個(gè)有規(guī)律的步驟：對(duì)于數(shù)25，將組成它的數(shù)字和5分別取立方再求和為133，即23+53=133；對(duì)于133也做同樣操作：13+33+33=55，如此反復(fù)操作，則第2017次操作后得到的數(shù)是（）A．25 B．250 C．55 D．133參考答案：D【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】第1次操作為23+53=133，第2次操作為13+33+33=55，第3次操作為53+53=250，第4次操作為23+53+03=133，所以操作結(jié)果，以3為周期，循環(huán)出現(xiàn)，由此可得第2017次操作后得到的數(shù)．【解答】解：第1次操作為23+53=133，第2次操作為13+33+33=55，第3次操作為53+53=250，第4次操作為23+53+03=133，∴操作結(jié)果，以3為周期，循環(huán)出現(xiàn)，∵2017=3×672+1，∴第2017次操作后得到的數(shù)與第1次操作后得到的數(shù)相同，∴第2017次操作后得到的數(shù)是133，故選：D．2.已知數(shù)列{an}中，a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2an﹣1+1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的一個(gè)表達(dá)式是（）A．n2﹣1 B．（n﹣1）2+1 C．2n﹣1 D．2n﹣1+1參考答案：C【考點(diǎn)】等比關(guān)系的確定；數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法．【分析】由遞推式可求得數(shù)列的前4項(xiàng)，從而可猜想an，通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列可求證．【解答】解：由a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an=2an﹣1+1，得a2=2a1+1=2×1+1=3，a3=2a2+1=2×3+1=7，a4=2a3+1=2×7+1=15，猜想﹣1，證明如下：由an=2an﹣1+1，得an+1=2（an﹣1+1）（n≥2），∴{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an+1=2n，∴，故選C．3.下邊程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是(

)A．19 B．28 C．10 D．37參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】計(jì)算題；圖表型；試驗(yàn)法；算法和程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，a的值，當(dāng)a=4時(shí)滿足條件a＞3，退出循環(huán)，輸出S的值為28．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得a=1，S=1不滿足條件a＞3，S=10，a=2不滿足條件a＞3，S=19，a=3不滿足條件a＞3，S=28，a=4滿足條件a＞3，退出循環(huán)，輸出S的值為28．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的S，a的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4.在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，AA1=3，E是AA1的中點(diǎn)，過(guò)C1作C1F⊥平面BDE與平面ABB1A1交于點(diǎn)F，則等于（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，當(dāng)C1F與EO垂直時(shí)，C1F⊥平面BDE，從而F∈AA1，△C1A1F∽△EAO，由此能求出的值．【解答】解：連結(jié)AC、BD，交于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是正方形，AA1⊥底面ABCD，∴BD⊥平面ACC1A1，則當(dāng)C1F與EO垂直時(shí)，C1F⊥平面BDE，∵F∈平面ABB1A1，∴F∈AA1，在矩形ACC1A1中，△C1A1F∽△EAO，則=，∵A1C1=2AO=，AE=，∴A1F=，∴AF=，∴=．故選：C．5.已知復(fù)數(shù)z=a+（a﹣2）i（a∈R，i為虛數(shù)單位）為實(shí)數(shù)，則（+x）dx的值為（）A．2+π B．2+ C．4+2π D．4+4π參考答案：A【考點(diǎn)】定積分；復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】由復(fù)數(shù)定義易得a=2，可得（+x）dx=dx+xdx，由定積分的幾何意義個(gè)定積分的計(jì)算可得．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=a+（a﹣2）i為實(shí)數(shù)，∴a=2，∴（+x）dx=dx+xdx，由定積分的幾何意義可知dx表示圓x2+y2=4面積的四分之一，為π，∴（+x）dx=π+=π+2故選：A6.在曲線y=x3上切線的斜率為3的點(diǎn)是(

) A．（0，0） B．（1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）或（﹣1，﹣1）參考答案：D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可．解答： 解：曲線y=x3，可得y′=3x2，曲線y=x3上切線的斜率為3，可得3x2=3，解得x=±1，切點(diǎn)坐標(biāo)為：（1，1）或（﹣1，﹣1）．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力．7.設(shè)全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，則A∪（?UB）等于(

) A．? B．{1} C．{1，2} D．{﹣1，0，1，2}參考答案：D考點(diǎn)：交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．專題：計(jì)算題．分析：先求出集合B的補(bǔ)集，再根據(jù)兩個(gè)集合的并集的意義求解即可．解答： 解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={﹣2，1，2}，∴CUB={﹣1，0}，A∪（CUB）={﹣1，0，1，2}，故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是集合并集的基礎(chǔ)題，也是2015屆高考常會(huì)考的題型．8.已知a，b，c∈R，下列四個(gè)命題：（1）若a＞b則ac2＞bc2

（2）若則a＞b（3）若a＞b則（4）若a＞b則，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．0個(gè)

B．1個(gè)

C．2個(gè)

D．3個(gè)

參考答案：A9.復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z＝(

)A.1－i B.1＋2i C.1＋i D.－1－i參考答案：D【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】，，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．10.已知命題，則為（

）A．B．C．D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn),則▲參考答案：12.已知平面向量，，且，則向量與的夾角為

．參考答案：略13.已知的通項(xiàng)公式＝(n∈N*)，則的前n項(xiàng)和＝

.參考答案：14.非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：①對(duì)于任意a、bG，都有abG；②存在，使對(duì)一切都有a=a=a，則稱G關(guān)于運(yùn)算為融洽集，現(xiàn)有下列集合運(yùn)算：

⑴G={非負(fù)整數(shù)}，為整數(shù)的加法

⑵G={偶數(shù)}，為整數(shù)的乘法⑶G={平面向量}，為平面向量的加法

⑷G={二次三項(xiàng)式}，為多項(xiàng)式的加法其中關(guān)于運(yùn)算的融洽集有____________參考答案：⑴⑵⑶略15.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，已知，若為BC的中點(diǎn)，則與所成的角的余弦值為

參考答案：16.給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；④一個(gè)棱錐可以有兩條側(cè)棱和底面垂直；⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直；⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體．其中正確命題的序號(hào)是

．參考答案：①⑤【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①根據(jù)正方體中取對(duì)應(yīng)的對(duì)角線構(gòu)成的四面體是正四面體．②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐；③當(dāng)有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面時(shí)，該四棱柱不一定為直四棱柱；④一個(gè)棱錐不能有兩條側(cè)棱和底面垂直；⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直；⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱不一定是正方體．【解答】解：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)正確，如圖四面體B1﹣ACD1是正四面體；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐不一定是正三棱錐，如圖所示，若AB=BC=AC=VA，且VA⊥平面ABC，但三棱錐V﹣ABC表示正三棱錐，∴②錯(cuò)誤；③當(dāng)有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面時(shí)，該四棱柱不一定為直四棱柱，如兩個(gè)側(cè)面不是相鄰的時(shí)，側(cè)棱與底面不一定垂直，∴③錯(cuò)誤；④一個(gè)棱錐不能有兩條側(cè)棱和底面垂直，否則，這兩條側(cè)棱互相平行，∴④錯(cuò)誤；⑤一個(gè)棱錐可以有兩個(gè)側(cè)面和底面垂直，如②中圖形，∴⑤正確；⑥所有側(cè)面都是正方形的四棱柱不一定是正方體，∵各相鄰側(cè)面并不一定都互相垂直，∴⑥錯(cuò)誤．故答案為：①⑤17.已知x，y的值如下表所示：x234y546如果y與x呈線性相關(guān)且回歸直線方程為，那么b=

.參考答案：0.5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在邊長(zhǎng)為25cm的正方形中挖去邊長(zhǎng)為23cm的兩個(gè)等腰直角三角形，現(xiàn)有均勻的粒子散落在正方形中，問(wèn)粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是多少？參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】我們分別求出帶形區(qū)域的面積，并求出正方形面積面積用來(lái)表示全部基本事件，再代入幾何概型公式，即可求解．【解答】解：因?yàn)榫鶆虻牧Ｗ勇湓谡叫蝺?nèi)任何一點(diǎn)是等可能的所以符合幾何概型的條件．設(shè)A=“粒子落在中間帶形區(qū)域”則依題意得正方形面積為：25×25=625兩個(gè)等腰直角三角形的面積為：2××23×23=529帶形區(qū)域的面積為：625﹣529=96∴P（A）=，則粒子落在中間帶形區(qū)域的概率是．19.（本小題滿分12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若且（1）求角的大??；（2）若的面積求的值．參考答案：（1）∵＝，＝，且,∴

,

∴, …………3分即,

即－，又，∴.

………………6分（2），∴

………9分又由余弦定理得：

∴16＝，故.

………………12分20.如圖，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，，，，，點(diǎn)P在線段DF上.（1）求證：AF⊥平面ABCD；（2）若二面角的余弦值為，求PF的長(zhǎng)度.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）先證明，又平面平面，即得平面；（2）以為原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解方程即得解.【詳解】（1）證明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以為原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，由題知，平面，∴為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間垂直關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21.

設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13.(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.參考答案：（1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d

等比數(shù)列的公比為q，由題意得1+2d+q4=21，

①

1+4d+q2=13，

②①×2－②得，2q4－q2－28=0，解得q2=4

又由題意，知{bn}各項(xiàng)為正，所以q=2，代入②得d=2，所以an=2n－1，bn=2n-1.(2)由(1)可知，，又，

(1)，

(2)(2)－(1)得

，∴22.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），且圓心C在直線y=x上，又直線l：y=kx+1與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)．（1）求圓C的方程；（2）若?=﹣2，求實(shí)數(shù)k的值；（3）過(guò)點(diǎn)（0，4）作動(dòng)直線m交圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．試問(wèn)：在以EF為直徑的所有圓中，是否存在這樣的圓P，使得圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0）？若存在，求出圓P的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．【分析】（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圓C的方程．（2）由?=2×2×cos＜，＞=﹣2，得∠POQ=120°，圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，由此能求出k=0．（3）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，圓C也是滿足題意的圓；當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，由，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出在以EF為直徑的所有圓中，存在圓P：5x2+5y2﹣16x﹣8y+12=0或x2+y2=4，使得圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0）．【解答】解：（1）設(shè)圓心C（a，a），半徑為r．因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，即，解得a=0，r=2，所以圓C的方程是x2+y2=4．…（2）因?yàn)?=2×2×cos＜，＞=﹣2，且與的夾角為∠POQ，所以cos∠POQ=﹣，∠POQ=120°，所以圓心C到直線l：kx﹣y+1=0的距離d=1，又d=，所以k=0．…（3）（ⅰ）當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，直線m經(jīng)過(guò)圓C的圓心C，此時(shí)直線m與圓C的交點(diǎn)為E（0，2），F(xiàn)（0，﹣2），EF即為圓C的直徑，而點(diǎn)M（2，0）在圓C上，即圓C也是滿足題意的圓．…（ⅱ）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=kx+4，由，消去y整理，得（1+k2）x2+8kx+12=0，由△=64k2﹣48（1+k2）＞0，得或．設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則有①…由①得，②，③若存在以EF為直徑的圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，0），則ME⊥MF，所以，因此（x