高中數(shù)學(xué)北師大版第三章不等式單元測試 學(xué)業(yè)分層測評1

學(xué)業(yè)分層測評(十五)(建議用時：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．完成一項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請工人滿足的關(guān)系式是()A．5x＋4y＜200 B．5x＋4y≥200C．5x＋4y＝200 D．5x＋4y≤200【解析】由題意x，y滿足的不等式關(guān)系為500x＋400y≤20000，即5x＋4y≤200.【答案】D2．若a，b，c為實數(shù)，且a＜b＜0，則下列命題正確的是()A．a(chǎn)c2＜bc2 B．a(chǎn)2＞ab＞b2\f(1,a)＜eq\f(1,b) D．eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)【解析】c＝0時，ac2＝bc2，∴A錯；a＜b＜0?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，∴C錯；∵a＜b＜0，∴eq\f(a,b)＞1,0＜eq\f(b,a)＜1，∴D錯．【答案】B3．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關(guān)系是()A．A≤B B．A≥BC．A＞B或A＜B D．A＞B【解析】A－B＝a2＋3ab－4ab＋b2＝a2＋b2－ab＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋eq\f(3,4)b2≥0，∴A≥B.【答案】B4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若eq\f(c,a＋b)＜eq\f(a,b＋c)＜eq\f(b,c＋a)，則()A．c＜a＜b B．b＜c＜aC．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a【解析】∵a，b，c∈(0，＋∞)且eq\f(c,a＋b)＜eq\f(a,b＋c)＜eq\f(b,c＋a)，∴eq\f(c,a＋b)＋1＜eq\f(a,b＋c)＋1＜eq\f(b,c＋a)＋1，即eq\f(a＋b＋c,a＋b)＜eq\f(a＋b＋c,b＋c)＜eq\f(a＋b＋c,a＋c)，∴a＋b＞b＋c＞a＋c.由a＋b＞b＋c，∴a＞c，由b＋c＞a＋c，∴b＞a，∴b＞a＞c，故選A.【答案】A5．(2023·宿州高二檢測)若eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，則不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＞2中，正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】由eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，得ab＞0，b＜a＜0.故a＋b＜0＜ab，|b|＞|a|，因此①正確，②錯誤，③錯誤．又eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)－2＝eq\f(a－b2,ab)＞0，因此④正確．【答案】B二、填空題6．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)________g(x)．(用“＜”，“＞”，“＝”填空)【解析】f(x)－g(x)＝3x2－x＋1－2x2－x＋1＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，∴f(x)＞g(x)．【答案】＞7．設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么2α－eq\f(β,3)的取值范圍是________．【解析】由題設(shè)得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，∴－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，π))8．若a＜b＜0，則eq\f(1,a－b)與eq\f(1,a)的大小關(guān)系是________．【解析】eq\f(1,a－b)－eq\f(1,a)＝eq\f(a－a－b,a－ba)＝eq\f(b,a－ba)，∵a＜b＜0，∴a－b＜0，則eq\f(b,a－ba)＜0，∴eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a).【答案】eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)三、解答題9．有學(xué)生若干人，住若干宿舍，如果每間住4人，那么還余19人，如果每間住6人，那么只有一間不滿但不空，求宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)．【解】設(shè)宿舍x間，則學(xué)生(4x＋19)人，依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋19＜6x，,4x＋19＞6x－1，))解得eq\f(19,2)＜x＜eq\f(25,2).∵x∈N＋，∴x＝10,11或12，學(xué)生人數(shù)為：59,63,67.故宿舍間數(shù)和學(xué)生人數(shù)分別為10間59人，11間63人或12間67人．10．已知a、b、x、y都為正數(shù)，且eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，x＞y，求證：eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b)【證明】eq\f(x,x＋a)－eq\f(y,y＋b)＝eq\f(xy＋b－yx＋a,x＋ay＋b)＝eq\f(bx－ay,x＋ay＋b).∵eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0，x＞y＞0，∴b＞a＞0，x＞y＞0，∴bx＞ay，即bx－ay＞0.又x＋a＞0，y＋b＞0，∴eq\f(bx－ay,x＋ay＋b)＞0，即eq\f(x,x＋a)＞eq\f(y,y＋b).[能力提升]1．如圖3-1-1為某三岔路口交通環(huán)道的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口A、B、C的機(jī)動車輛如圖所示，圖中x1，x2，x3分別表示該時段單位時間通過路段eq\x\to(AB)，eq\x\to(BC)，eq\x\to(CA)的機(jī)動車輛數(shù)(假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出車輛數(shù)相等)，則()圖3-1-1A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x1【解析】由已知圖形知x1＝50＋x3－55，x2＝x1－20＋30，x3＝x2－35＋30，由此得x1＝x3－5，x2＝x1＋10，x2＝x3＋5，故x1＜x3＜x2.【答案】C2．若0＜a＜1，c＞1，則ac＋1與a＋c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)c＋1＜a＋c B．a(chǎn)c＋1＞a＋cC．a(chǎn)c＋1＝a＋c D．不能確定【解析】(ac＋1)－(a＋c)＝ac－a＋1－c＝a(c－1)－(c－1)＝(a－1)(c－1)，∵0＜a＜1，c＞1，∴a－1＜0，c－1＞0，∴(a－1)(c－1)＜0，即ac＋1＜a＋c.【答案】A3．用錘子以均勻的力敲擊鐵釘釘入木板，隨著鐵釘?shù)纳钊?，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的eq\f(1,k)(k∈N＋)，已知一個鐵釘受擊3次后全部進(jìn)入木板，且第一次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長度是釘長的eq\f(4,7)，請從這個實例中提煉出一個不等式組為________．【解析】依題意得，第二次釘子沒有全部進(jìn)入木板，第三次全部進(jìn)入木板，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)＜1，,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N＋)．【答案】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)＜1,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))4．某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往，甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受折優(yōu)惠”，乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠”，這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠. 【導(dǎo)學(xué)號：67940054】【解】設(shè)該單位職工有n人(n∈N＋)，全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，則y1＝x＋eq\f(3,4)x(n－1)＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn，y2＝eq\f(4,5)nx.∵y1－y2＝eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)xn－eq