高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章數(shù)列數(shù)列 省一等獎(jiǎng)

一、填空題1.已知數(shù)列{an}中，an＝eq\f(1,n（n＋2）)(n∈N*)，那么eq\f(1,120)是這個(gè)數(shù)列的第________項(xiàng)．2.已知數(shù)列{an}的圖象是函數(shù)y＝eq\f(1,x)圖象的一部分，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．3.在古希臘，人們把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)橐赃@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖)．則第8個(gè)三角形數(shù)是____________．4.下列說法正確的是____________．(填序號)①數(shù)列1，2，3，4，5，6與數(shù)列6，5，4，3，2，1表示同一個(gè)數(shù)列；②根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng)；③根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)；④如果數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.5.已知數(shù)列{an}中，an＝n2＋2λn(λ是與n無關(guān)的常數(shù))，且a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是____________．6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝n2－9n＋1，則其通項(xiàng)an＝________．7.若an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么a2017與a2016之間的大小關(guān)系是________________________________________________________________________．8.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的正整數(shù)n，當(dāng)n≥2時(shí)都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5的值為__________．9.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，n≥2時(shí)an－an－1＝n，則an＝__________．10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))(n∈N*)，給出下列說法：①數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是a10，a9；②數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是a9，a10；③數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是a1，a9；④數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是a1，a10.其中，說法正確的是________．(填序號)二、解答題11.已知數(shù)列{an}中，a1＝3，a10＝21，通項(xiàng)an相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若{bn}是由a2，a4，a6，a8，…組成，試求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．12.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1).(1)判斷eq\f(98,101)是不是數(shù)列{an}中的一項(xiàng)；(2)試判斷數(shù)列{an}中的項(xiàng)是否都在區(qū)間(0，1)內(nèi)；(3)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))內(nèi)有無數(shù)列{an}中的項(xiàng)？若有，是第幾項(xiàng)？若沒有，請說明理由．13設(shè)函數(shù)f(x)＝log2x－eq\f(1,log2x)(0<x<1)，數(shù)列{an}滿足f(2an)＝2n(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．1.102.an＝eq\f(1,n)(n∈N*)3.36解析：由題圖可知，第8個(gè)三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.4.②③解析：①數(shù)列中的數(shù)是有先后順序的，①錯(cuò)誤；②顯然正確；③由前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的排列規(guī)律可能有多種，所以通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)，③正確；④由于1是正的自然數(shù)，但是n＝1時(shí)Sn－1無意義，④錯(cuò)誤．5.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，＋∞))解析：∵an＝n2＋2λn①，∴an＋1＝(n＋1)2＋2λ(n＋1)②.②－①，得an＋1－an＝2n＋1＋2λ，由已知，數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則an＋1－an＞0對于任意n∈N*都成立，即2n＋1＋2λ＞0，∴λ＞－eq\f(1,2)(2n＋1)，易知當(dāng)n＝1時(shí)－eq\f(1,2)(2n＋1)取最大值－eq\f(3,2)，∴λ＞－eq\f(3,2).6.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－7，n＝1，,2n－10，n≥2))解析：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n＋1－(n－1)2＋9(n－1)－1＝2n－10，又a1＝S1＝－7≠2×1－10，所以an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－7，n＝1，,2n－10，n≥2.))7.a2017＞a2016解析：∵a2016＝eq\f(1,2017)＋eq\f(1,2018)＋eq\f(1,2019)＋…＋eq\f(1,2×2016)，a2017＝eq\f(1,2018)＋eq\f(1,2019)＋…＋eq\f(1,2×2016)＋eq\f(1,2×2016＋1)＋eq\f(1,2×2017)，∴a2017－a2016＝eq\f(1,2×2016＋1)＋eq\f(1,2×2017)－eq\f(1,2017)＝eq\f(1,2×2016＋1)－eq\f(1,2×2017)＞0.8.eq\f(61,16)解析：由a1·a2·a3·…·an＝n2，得a1a2＝4，a1a2a3＝9，∴a3＝eq\f(9,4).同理可得a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(61,16).9.eq\f(n（n＋1）,2)解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(n（n＋1）,2).10.①解析：令f(n)＝eq\f(n－\r(98),n－\r(99))，則f(n)＝eq\f(n－\r(99)＋\r(99)－\r(98),n－\r(99))＝1＋eq\f(\r(99)－\r(98),n－\r(99))，∵eq\r(99)－eq\r(98)＞0，∴f(n)在(0，eq\r(99))和(eq\r(99)，＋∞)上都是減函數(shù)．∴當(dāng)n＝9時(shí)an取最小值；當(dāng)n＝10時(shí)an取最大值．11.解：(1)設(shè)an＝kn＋b，由a1＝3，a10＝21，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝3，,10k＋b＝21，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝1，))∴an＝2n＋1(n∈N*)．(2)∵{bn}是由{an}的偶數(shù)項(xiàng)組成，∴bn＝a2n＝2×2n＋1＝4n＋1(n∈N*)．12.解：(1)∵an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(（3n－1）（3n－2）,（3n－1）（3n＋1）)＝eq\f(3n－2,3n＋1)，令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，解得n＝eq\f(100,3).∵eq\f(100,3)不是正整數(shù)，所以eq\f(98,101)不是該數(shù)列中的項(xiàng)．(2)∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(3n＋1－3,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，又n∈N*，∴0<eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.∴數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0，1)內(nèi)．(3)令eq\f(1,3)<an<eq\f(2,3)，即eq\f(1,3)<eq\f(3n－2,3n＋1)<eq\f(2,3)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1<9n－6，,9n－6<6n＋2，))解得eq\f(7,6)<n<eq\f(8,3).又n∈N*，∴n＝2.故區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))上有數(shù)列{an}中的項(xiàng)，且只有一項(xiàng)，是第二項(xiàng)a2＝eq\f(4,7).13.解：(1)由f(x)＝log2x－eq\f(1,log2x)，得f(2an)＝an－eq\f(1,an)＝2n，所以aeq\o\al(2,n)－2nan－1＝0，解得an＝n±eq\r(n2＋1).因?yàn)?<x<1，所以0<2an<1，所以an<0.故an＝n－eq\r(n2＋1).(2)∵an＋1－an＝n＋1－eq\r(（n＋1）2＋1)－n＋eq\r(n2＋1)＝eq\r(n2＋1)＋1－eq\r(n2＋2n＋2)＝eq\f(（\r