高中數(shù)學(xué)蘇教版(2023)必修第二冊第9章平面向量向量應(yīng)用

向量應(yīng)用學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.會用向量方法解決簡單的物理問題及其他的一些實際問題.2.會用向量方法解決某些簡單的幾何問題．(重點、難點)通過學(xué)習(xí)向量的應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).1．設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夾角為θ.證明線線平行、點共線及相似問題，可用向量的哪些知識？證明垂直問題，可用向量的哪些知識？2.物理中的量如力、速度、加速度、位移和向量有什么關(guān)系？物理學(xué)中的力、速度、加速度、位移的合成和分解是向量的什么運算？向量的應(yīng)用(1)用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(2)向量在物理中的應(yīng)用①速度、加速度、位移、力的合成和分解，實質(zhì)上就是向量的加減法運算，求解時常用向量求和的平行四邊形法則和三角形法則．②物理上力做功的實質(zhì)是力在物體前進方向上的分力與物體位移的乘積，它的實質(zhì)是向量的數(shù)量積．(3)向量在平面解析幾何中的應(yīng)用向量在解析幾何中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是作為題設(shè)條件；二是作為解決問題的工具使用，充分體現(xiàn)了幾何問題代數(shù)化的思想，是高考考查的熱點之一．解決此類問題的思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是向量平行或垂直的坐標表示；二是向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若△ABC是直角三角形，則有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＝0． ()(2)若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，則直線AB與CD平行． ()(3)在物體的運動過程中，力越大，做功越多． ()[解析](1)可能eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝0或eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，故錯誤．(2)eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，AB，CD亦可能在一條直線上，故錯誤．(3)W＝F·s＝|F|·|s|cosθ，故錯誤．[答案](1)×(2)×(3)×2．已知△ACB，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b，且a·b＜0，則△ABC的形狀為()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．不能確定[答案]A3．已知F＝(2，3)作用一物體，使物體從A(2，0)移動到B(4，0)，則力F對物體作的功為________．[答案]4向量在物理中的應(yīng)用【例1】如圖所示，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，求當整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，兩根繩子拉力的大?。甗思路點撥]解決本題的關(guān)鍵是把力的問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決，注意力的合成可以用平行四邊形法則，也可用三角形法則．[解]如圖，作平行四邊形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|cos30°＝300×eq\f(\r(3),2)＝150eq\r(3)(N)，|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|sin30°＝eq\f(1,2)×300＝150(N)．故與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是150eq\r(3)N，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是150N.1．解力向量題時，依據(jù)題意對物體進行受力分析，通過向量加法的平行四邊形法則對力進行分解和合成．2．解題時要明確各個力之間的關(guān)系及它們各自在題目中的地位，借助于圖形，將物理量之間的關(guān)系抽象為數(shù)學(xué)模型．[跟進訓(xùn)練]1．已知兩恒力F1＝(3，4)，F(xiàn)2＝(6，－5)作用于同一質(zhì)點，使之由點A(20，15)移動到點B(7，0)．(1)求F1，F(xiàn)2分別對質(zhì)點所做的功；(2)求F1，F(xiàn)2的合力F對質(zhì)點所做的功．[解](1)eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－13，－15)，W1＝F1·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W2＝F2·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F1，F(xiàn)2對質(zhì)點所做的功分別為－99J和－3J.(2)W＝F·eq\o(AB,\s\up8(→))＝(F1＋F2)·eq\o(AB,\s\up8(→))＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F對質(zhì)點所做的功為－102J.向量在平面幾何中的應(yīng)用【例2】如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.[思路點撥]法一：選取基底，并證明eq\o(DE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0.法二：建立平面直角坐標系證明eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝0.[解]法一：設(shè)eq\o(AD,\s\up8(→))＝a，eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0，又eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝－a＋eq\f(b,2)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝b＋eq\f(a,2)，所以eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(a,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a＋\f(b,2)))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0，故eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.法二：如圖，建立平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為2，則A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，eq\o(AF,\s\up8(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝(1，－2)．因為eq\o(AF,\s\up8(→))·eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up8(→))⊥eq\o(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.用向量法證明平面幾何問題的方法，兩種常見的思路：(1)向量的線性運算法eq\x(選取基底)→eq\x(把待證問題用基底線性表示)→eq\x(利用向量的線性運算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系)→eq\x(把向量問題幾何化)(2)向量的坐標運算法eq\x(建立適當?shù)淖鴺讼?→eq\x(把相關(guān)量坐標向量化)→eq\x(利用向量的坐標運算找相應(yīng)關(guān)系)→eq\x(把向量問題幾何化)但比較以上兩種方法，易于知道，如果題目建系比較方便，坐標法更好用．[跟進訓(xùn)練]2．已知在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點，BE，CF交于點P.求證：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．[證明]建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)AB＝2，則A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(xiàn)(0，1)．(1)∵eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－1，2)，eq\o(CF,\s\up8(→))＝(－2，－1)．∴eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(CF,\s\up8(→))＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，∴eq\o(BE,\s\up8(→))⊥eq\o(CF,\s\up8(→))，即BE⊥CF.(2)設(shè)點P坐標為(x，y)，則eq\o(FP,\s\up8(→))＝(x，y－1)，eq\o(FC,\s\up8(→))＝(2，1)，∵eq\o(FP,\s\up8(→))∥eq\o(FC,\s\up8(→))，∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2，同理，由eq\o(BP,\s\up8(→))∥eq\o(BE,\s\up8(→))，得y＝－2x＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2y－2，,y＝－2x＋4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(6,5)，,y＝\f(8,5)，))∴點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(8,5))).∴|eq\o(AP,\s\up8(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)))eq\s\up12(2))＝2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|，即AP＝AB．平面向量的綜合應(yīng)用【例3】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝9，tanA＝eq\f(4,3)，P為線段AB上的點，且eq\o(CP,\s\up8(→))＝x·eq\f(\o(CA,\s\up8(→)),|\o(CA,\s\up8(→))|)＋y·eq\f(\o(CB,\s\up8(→)),|\o(CB,\s\up8(→))|)，則xy的最大值為________．3[在Rt△ABC中，由eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝9，得AB·AC·cosA＝9，因為Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq\f(4,3)，所以cosA＝eq\f(3,5)，所以AB·AC＝15，所以AB＝5，AC＝3，BC＝4.又P為線段AB上的點，且eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\f(x,3)·eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\f(y,4)·eq\o(CB,\s\up8(→))，故eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))，即xy≤3，當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2時取等號．]利用向量的載體作用，可以將向量與三角函數(shù)、不等式結(jié)合起來，要先將線段看成向量，解題時通過定義或坐標運算進行轉(zhuǎn)化，使問題的條件結(jié)論明晰化，得以解決．[跟進訓(xùn)練]3.在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，動點P和Q分別在線段BC和CD上，且eq\o(BP,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DQ,\s\up8(→))＝eq\f(1,8λ)eq\o(DC,\s\up8(→))，則eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BQ,\s\up8(→))的最大值為()A．－2B．－eq\f(3,2)C．eq\f(3,4)D．eq\f(9,8)D[因為AB∥CD，CD＝1，AB＝BC＝2，∠BCD＝120°，所以ABCD是直角梯形，作CM⊥AB交AB于M點，則CM＝eq\r(3)，∠BCM＝30°，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，因為eq\o(BP,\s\up8(→))＝λeq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(DQ,\s\up8(→))＝eq\f(1,8λ)eq\o(DC,\s\up8(→))，動點P和Q分別在線段BC和CD上，則λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1))，B(2，0)，P(2－λ，eq\r(3)λ)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8λ)，\r(3)))，所以eq\o(AP,\s\up8(→))·eq\o(BQ,\s\up8(→))＝(2－λ，eq\r(3)λ)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8λ)－2，\r(3)))＝5λ＋eq\f(1,4λ)－4－eq\f(1,8).令f(λ)＝5λ＋eq\f(1,4λ)－4－eq\f(1,8)且λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，1))，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，當λ＝1時可取得最大值，則f(λ)max＝f(1)＝5＋eq\f(1,4)－4－eq\f(1,8)＝eq\f(9,8).]1．本節(jié)課的重點是平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，難點是平面向量在物理中的應(yīng)用．2．要掌握平面向量的應(yīng)用(1)利用平面向量解決平面幾何中的平行、垂直問題；(2)平面向量在物理中的應(yīng)用．(3)平面向量的綜合應(yīng)用．1．力F＝(－1，－5)作用于質(zhì)點m，使m產(chǎn)生的位移s＝(4，6)，則力F對質(zhì)點m做的功是()A．34B．26C．－34D．－26C[∵W＝F·s＝(－1，－5)·(4，6)＝－34，∴力F對m所做的功是－34.]2．在平面直角坐標系xOy中，已知eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－1，t)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(2，2)．若∠ABO＝90°，則實數(shù)t的取值為________．5[eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝(3，2－t)，由題意知eq\o(OB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，所以2×3＋2×(2－t)＝0，解得t＝5.]3．在OA為邊，OB為對角線的矩形中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝(－3，1)，eq\o(OB,\s\up8(→