高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測試【全國一等獎(jiǎng)】

選修2-2第一章第2課時(shí)一、選擇題1．已知eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝6，則eq\i\in(a,b,)6f(x)dx等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510335)()A．6 B．6(b－a)C．36 D．不確定[答案]C[解析]eq\i\in(a,b,)6f(x)dx＝6eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝36.故應(yīng)選C.2．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0，,2xx<0，))則eq\i\in(,1,)－1f(x)dx的值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510336)()\i\in(－1,1,)x2dx B．eq\i\in(－1,1,)2xdx\i\in(－1,0,)x2dx＋eq\i\in(0,1,)2xdx \i\in(－1,0,)2xdx＋eq\i\in(0,1,)x2dx[答案]D[解析]由定積分性質(zhì)(3)求f(x)在區(qū)間[－1,1]上的定積分，可以通過求f(x)在區(qū)間[－1,0]與[0,1]上的定積分來實(shí)現(xiàn)，顯然D正確，故應(yīng)選D.3．若eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝1，eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝－3，則eq\i\in(a,b,)[2f(x)＋g(x)]dx＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510337)()A．2 B．－3C．－1 D．4[答案]C[解析]eq\i\in(a,b,)[2f(x)＋g(x)]dx＝2eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝2×1－3＝－1.4．由函數(shù)y＝－x的圖象，直線x＝1、x＝0、y＝0所圍成的圖形的面積可表示為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510338)()\i\in(0,1,)(－x)dx B．eq\i\in(0,1,)|－x|dx\i\in(－1,0,)xdx D．－eq\i\in(0,1,)xdx[答案]B[解析]圍成圖形如圖，由定積分的幾何意義可知，所求圖形面積S＝－eq\i\in(0,1,)(－x)dx＝eq\i\in(0,1,)|－x|dx，故選B.5．eq\i\in(0,2π,)cosxdx＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510339)()A．0 B．πC．－π D．2π[答案]A[解析]作出[0,2π]上y＝cosx的圖象如圖，由y＝cosx圖象的對(duì)稱性和定積分的幾何意義知，陰影部分在x軸上方和下方部分的面積相等，積分值符號(hào)相反，故eq\i\in(0,2π,)cosxdx＝0.6．下列命題不正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510340)()A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝0B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則eq\i\in(-a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒正，則eq\i\in(a,b,)f(x)dx>0D．若f(x)在[a，b)上連續(xù)且eq\i\in(a,b,)f(x)dx>0，則f(x)在[a，b)上恒正[答案]D[解析]本題考查定積分的幾何意義，對(duì)A：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以x軸上方的面積和x軸下方的面積相等，故積分是0，所以A正確．對(duì)B：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故圖象都在x軸下方(或上方)且面積相等，故B正確．C顯然正確．D選項(xiàng)中f(x)也可以小于0，但必須有大于0的部分，且f(x)>0的曲線圍成的面積比f(x)<0的曲線圍成的面積大．二、填空題7．由y＝sinx、x＝0、x＝eq\f(π,2)、y＝0所圍成的圖形的面積可以寫成________.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510341)[答案]eq\a\vs4\al(\i\in(0,eq\s\up4(\f(π,2)),))sinxdx[解析]由定積分的幾何意義可得．\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510342)[答案]12[解析]如圖A(0，－4)，B(6,8)，M(2,0)，S△AOM＝eq\f(1,2)×2×4＝4，S△MBC＝eq\f(1,2)×4×8＝16，∴eq\i\in(0,6,)(2x－4)dx＝16－4＝12.9．設(shè)y＝f(x)為區(qū)間[0,1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f(x)≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx.先產(chǎn)生兩組(每組N個(gè))區(qū)間[0,1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再數(shù)出其中滿足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方法可得積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx的近似值為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510343)[答案]eq\f(N1,N)[解析]因?yàn)?≤f(x)≤1且由積分的定義知：eq\i\in(0,1,)f(x)dx是由直線x＝0，x＝1及曲線y＝f(x)與x軸所圍成的面積．又產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)對(duì)在如圖所示的正方形內(nèi)，正方形面積為1，且滿足yi≤f(xi)的有N1個(gè)點(diǎn)，即在函數(shù)f(x)的圖象上及圖象下方有N1個(gè)點(diǎn)，所以用幾何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上與x軸圍成的面積為eq\f(N1,N)×1＝eq\f(N1,N)，即eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\f(N1,N).三、解答題10．利用定積分的幾何意義，解釋下列等式.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510344)(1)eq\i\in(0,1,)2xdx＝1；(2)eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).[解析](1)eq\i\in(0,1,)2xdx表示由直線y＝2x，直線x＝0、x＝1、y＝0所圍成的圖形的面積，如圖所示，陰影部分為直角三角形，所以S△＝eq\f(1,2)×1×2＝1，故eq\i\in(0,1,)2xdx＝1.(2)eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx表示由曲線y＝eq\r(1－x2)，直線x＝－1、x＝1、y＝0所圍成的圖形面積(而y＝eq\r(1－x2)表示圓x2＋y2＝1在x軸上方的半圓)，如圖所示陰影部分，所以S半圓＝eq\f(π,2)，故eq\i\in(－1,1,)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,2).一、選擇題1．(2023·威海高二檢測)已知t>0，若eq\i\in(0,t,)(2x－2)dx＝8，則t＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510345)()A．1 B．－2C．－2或4 D．4[答案]D[解析]作出函數(shù)f(x)＝2x－2的圖象與x軸交于點(diǎn)A(1,0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，－2)，易求得S△OAB＝1，∵eq\i\in(0,t,)(2x－2)dx＝8，且eq\i\in(0,1,)(2x－2)dx＝－1，∴t>1，∴S△AEF＝eq\f(1,2)|AE||EF|＝eq\f(1,2)×(t－1)(2t－2)＝(t－1)2＝9，∴t＝4，故選D.2．下列等式不成立的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510346)()\i\in(a,b,)[mf(x)＋ng(x)]dx＝meq\i\in(a,b,)f(x)dx＋neq\i\in(a,b,)g(x)dx\i\in(a,b,)[f(x)＋1]dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋b－a\i\in(a,b,)f(x)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx·eq\i\in(a,b,)g(x)dx\i\in(－2π,2π,)sinxdx＝eq\i\in(－2π,0,)sinxdx＋eq\i\in(0,2π,)sinxdx[答案]C[解析]利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷，選項(xiàng)C不成立．例如eq\i\in(0,1,)xdx＝eq\f(1,2)，eq\i\in(0,1,)x2dx＝eq\f(1,3)，eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4).但eq\i\in(0,1,)x3dx≠eq\i\in(0,1,)xdx·eq\i\in(0,1,)x2dx.故選C.二、填空題3．已知f(x)是一次函數(shù)，其圖象過點(diǎn)(3,4)且eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝1，則f(x)的解析式為_________.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510347)[答案]f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5)[解析]設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，∵f(x)圖象過(3,4)點(diǎn)，∴3a＋b又eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax＋b)dx＝aeq\i\in(0,1,)xdx＋eq\i\in(0,1,)bdx＝eq\f(1,2)a＋b＝1.解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a＋b＝4，,\f(1,2)a＋b＝1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,5)，,b＝\f(2,5).))∴f(x)＝eq\f(6,5)x＋eq\f(2,5).4．比較大?。篹q\i\in(－2,0,)exdx________eq\i\in(－2,0,)\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510348)[答案]>[解析]eq\i\in(－2,0,)exdx－eq\i\in(－2,0,)xdx＝eq\i\in(－2,0,)(ex－x)dx，令f(x)＝ex－x(－2≤x≤0)，則f′(x)＝ex－1≤0，∴f(x)在[－2,0]上為減函數(shù)，又f(0)＝1>0，∴f(x)>0，由定積分的幾何意義又知eq\i\in(－2,0,)f(x)dx>0，則由定積分的性質(zhì)知，eq\i\in(－2,0,)exdx>eq\i\in(－2,0,)xdx.三、解答題5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3x∈[－2，2，,2xx∈[2，π，,cosxx∈[π，2π].))求f(x)在區(qū)間[－2,2π]上的積分.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510349)[解析]由定積分的幾何意義知eq\i\in(－2,2,)x3dx＝0，eq\i\in(2,π,)2xdx＝eq\f(π－22π＋4,2)＝π2－4，eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝0，由定積分的性質(zhì)得eq\i\in(－2,2π,)f(x)dx＝eq\i\in(－2,2,)x3dx＋eq\i\in(2,π,)2xdx＋eq\i\in(π,2π,)cosxdx＝π2－4.6．已知eq\i\in(0,1,)x3dx＝eq\f(1,4)，eq\i\in(1,2,)x3dx＝eq\f(15,4)，eq\i\in(1,2,)x2dx＝eq\f(7,3)，eq\i\in(2,4,)x2dx＝eq\f(56,3)，eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)10510350)求：(1)eq\i\in(0,2,)3x3dx；(2)eq\i\in(1,4,)6x2dx；(3)eq\i\in(1,2,)(3x2－2x3)dx.[解析](1)eq\i\in(0,2,)3x3dx＝3eq\i\in(0,2,)x3dx＝3(eq\i\in(0,1,)x3dx＋eq\i\in(1,2,)x3dx)＝3×(eq\f(1,4)＋eq\f(15,4))＝12.(2)eq\i