高中數(shù)學(xué)蘇教版第三章概率互斥事件 2023版第3章互斥事件

互斥事件1．了解互斥事件、對立事件的概念和實際意義，能根據(jù)定義辨別事件的互斥、對立關(guān)系．(易混、易錯點)2．了解兩種互斥事件概率的加法公式，知道對立事件概率之和為1的結(jié)論，會用相關(guān)公式進(jìn)行簡單概率計算．(重點)3．注重思維習(xí)慣的培養(yǎng)，在順向思維受阻時，知道轉(zhuǎn)而采用逆向思維．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理互斥事件、對立事件閱讀教材P112～P113“例1”上邊的內(nèi)容，并完成下面的問題．1．互斥事件的概念不能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件．2．互斥事件概率的加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An兩兩互斥，那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．3．對立事件及概率公式(1)如果兩個互斥事件必有一個發(fā)生，那么稱這兩個事件為對立事件，事件A的對立事件記為eq\x\to(A).(2)對立事件A與eq\x\to(A)必有一個發(fā)生，故A＋eq\x\to(A)是必然事件．對立事件的概率公式：P(eq\x\to(A))＝1－P(A)．填空：(1)若事件A與事件B為對立事件，且P(A)＝eq\f(1,4)，則P(B)＝________.【解析】因為事件A與事件B為對立事件，則P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).【答案】eq\f(3,4)(2)拋擲一骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件A為“出現(xiàn)1點”，事件B為“出現(xiàn)3點”，事件C為“出現(xiàn)5點”，則“出現(xiàn)奇數(shù)點”的概率為________．【解析】由條件知事件A，B，C為互斥事件，設(shè)“出現(xiàn)奇數(shù)點”為事件D，則D＝A＋B＋C，由互斥事件概率加法公式得P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)[小組合作型]互斥事件、對立事件的判斷某學(xué)習(xí)小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽．判斷下列各事件是否是互斥事件，是否是對立事件．并說明理由．(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有1名男生和全是女生；(3)至少有1名男生和至少有1名女生；(4)至少有1名男生和全是男生．【精彩點撥】找出各事件對立的試驗結(jié)果，然后根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷．【自主解答】(1)是互斥事件，但不是對立事件．理由是：“恰有一名男生”即選出的是“一名男生和一名女生”，它與“恰有兩名男生”不可能同時發(fā)生，所以是互斥事件．但其并事件不是必然事件，所以不是對立事件．(2)是互斥事件，也是對立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種情況，它與“全是女生”不可能同時發(fā)生，且其和事件是必然事件，所以是對立事件．(3)不是互斥事件，從而也不是對立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”兩種情況．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“兩名都是女生”兩種情況，他們可同時發(fā)生，故不是互斥事件．(4)不是互斥事件，也不是對立事件．理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“兩名都是男生”，與“全是男生”可同時發(fā)生．1．判斷兩個事件是不是互斥事件時，只需要分別找出各個事件包含的所有結(jié)果，看他們之間能不能同時發(fā)生．在互斥的前提下，再看兩個事件的和事件是否為必然事件，從而可判斷是否為對立事件．2．考慮事件的結(jié)果間是否有交事件．可考慮利用Venn圖分析，對于較難判斷的關(guān)系，也可考慮列出全部結(jié)果，再進(jìn)行分析．[再練一題]1．從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．判斷下列給出的每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由．(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”【解】(1)是互斥事件，但不是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件．同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件．(2)是互斥事件，又是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張．“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”兩個事件不可能同時發(fā)生，且其中必有一個發(fā)生，所以他們既是互斥事件，又是對立事件．(3)不是互斥事件，也不是對立事件．理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對立事件.互斥事件的概率加法公式及其應(yīng)用盒中裝有各色球共12只，其中5只紅球，4只黑球，2只白球，1只綠球，從中取一球，設(shè)事件A為“取出一球是紅球”，事件B為“取出一球為黑球”，事件C為“取出一球是白球”，事件D為“取出一球是綠球”．求：【導(dǎo)學(xué)號：11032070】(1)事件A，B，C，D的概率；(2)“取出一球是紅球或黑球”的概率；(3)“取出一球為紅球或黑球或白球”的概率．【精彩點撥】先由古典概型求事件A、B、C、D的概率，然后用互斥事件的概率公式求解．【自主解答】(1)由古典概型概率公式，得P(A)＝eq\f(5,12)，P(B)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,12).(2)設(shè)“取出一球是紅球或黑球”為事件E，則E＝A＋B，因為事件A與事件B互斥．∴P(E)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).故“取出一球是紅球或黑球”的概率為eq\f(3,4).(3)設(shè)“取出一球為紅球或黑球或白球”為事件F，則F＝A＋B＋C，因為事件A、B、C兩兩互斥．∴P(F)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).故“取出一球為紅球或黑球或白球”的概率為eq\f(11,12).1．解題時，首先要判斷所給的已知事件是否為互斥事件，再將要求概率的事件寫成幾個已知的互斥事件的和，最后用概率加法公式求解．2．公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)必須在事件A、B互斥的前提下使用，否則就不能用該公式．[再練一題]2．在某一時期內(nèi)，一條河流某處的年最高水位在各個范圍內(nèi)的概率如下表：年最高水位(單位：m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18]概率計算在同一時期內(nèi)，河流這一處的年最高水位在下列范圍內(nèi)的概率：(1)[10,16)(m)；(2)水位不低于14m.【解】設(shè)年最高水位在[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]范圍內(nèi)分別為事件A、B、C、D，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.(1)設(shè)“年最高水位在[10,16)內(nèi)”為事件E，則E＝A＋B＋C，因為事件A、B、C互斥．∴P(E)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，故年最高水位在[10,16)內(nèi)的概率為.(2)設(shè)“水位不低于14m”為事件F，則F＝C＋D，因為事件C、D互斥，∴P(F)＝P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝＋＝.故水位不低于14m的概率為.[探究共研型]對立事件的概率公式及應(yīng)用探究1從集合觀點認(rèn)識互斥事件、對立事件的概率公式：在集合中，我們有這樣的結(jié)論：若記CardA為集合A中元素的個數(shù)，則有Card(A∪B)＝CardA＋CardB－Card(A∩B)．利用該公式如何去理解互斥事件概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)？同樣，如何利用補(bǔ)集的概念去理解對立事件？【提示】由公式Card(A∪B)＝CardA＋CardB－Card(A∩B)可得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，而當(dāng)A、B互斥時，P(A∩B)＝0，故P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．對于補(bǔ)集而言，類似的有P(A)＋P(eq\o(A,\s\up16(－)))＝1，從而P(eq\o(A,\s\up16(－)))＝1－P(A)．探究2一個盒子內(nèi)裝有標(biāo)號為1,2,3的三張卡片，這些卡片除編號不同外其余完全一樣，現(xiàn)有放回的抽取3次，每次1張．則“抽取的卡片上的數(shù)字不完全相同”包括多少種情況？“抽取的3張卡片上的數(shù)字完全相同”有多少種情況？如何計算“抽取的3張卡片上的數(shù)字不完全相同”的概率呢？【導(dǎo)學(xué)號：11032071】【提示】有放回的抽取3次，共有3×3×3＝27種情況，經(jīng)列舉可知“3張卡片上數(shù)字不同”包括24種情況，“3張卡片上的數(shù)字相同”包括3種情況．求事件“3張卡片上的數(shù)字不全相同”的概率時，很明顯利用對立事件求解更簡單．在某購物中心舉行的“回報顧客”超低購物有獎活動中，一統(tǒng)計部門對購物中心交款處排隊等候付款的人數(shù)及其概率統(tǒng)計如下表所示.排隊人數(shù)02030405050人以上概率求：(1)至多有30人排隊的概率；(2)至少有30人排隊的概率．【精彩點撥】利用互斥事件概率公式及對立事件概率公式求解．【自主解答】設(shè)“沒有人排隊”為事件A1，“20人排隊”為事件A2，“30人排隊”為事件A3，“40人排隊”為事件A4，“50人排隊”為事件A5，“50人以上排隊”為事件A6，則P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，P(A5)＝，P(A6)＝，且A1，A2，A3，A4，A5，A6兩兩互斥．法一：(1)記“至多有30人排隊”為事件B，則B＝A1＋A2＋A3，∴P(B)＝P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝，即至多有30人排隊的概率為.(2)記“至少有30人排隊”為事件C，則C＝A3＋A4＋A5＋A6.∴P(C)＝P(A3＋A4＋A5＋A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝＋＋＋＝.即至少有30人排隊的概率為.法二：(1)同法一．(2)設(shè)“至少有30人排隊”為事件C，則eq\o(C,\s\up6(－))＝A1＋A2.∴P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.∴P(C)＝1－P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－＝.即至少有30人排隊的概率為.1．求復(fù)雜事件的概率的方法有兩種：一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和；二是轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率．2．對于涉及到“至多”“至少”的問題，可以用互斥事件以及分類討論的思想求解，當(dāng)涉及的互斥事件多于兩個時，一般用對立事件求解較簡單．[再練一題]3．一個袋子內(nèi)有9個小球，其編號分別為1,2，…，9.從中任取2個球，求編號至少有一個為奇數(shù)的概率．【解】從9個球中任取2個，有(1,2)，(1,3)，…，(1,9)；(2,3)，(2,4)，…，(2,9)；(3,4)，(3,5)，…，(3,9)；…(7,8)，(7,9)；(8,9)，共計36種取法．記“編號至少有一個為奇數(shù)”為事件B，“編號全是偶數(shù)”為事件C，則事件C為從號數(shù)為2,4,6,8的四個球中任取2個，有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6種取法．∴P(C)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6)，由對立事件的概率公式得，P(B)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).即編號至少有一個奇數(shù)的概率為eq\f(5,6).1．給出下面四個結(jié)論：①將一枚硬幣拋兩次，設(shè)事件A：“兩次正面朝上”，事件B：“只有一次反面朝上”，則事件A與B是對立事件；②若事件A與B為對立事件，則事件A與B為互斥事件；③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B為對立事件；④若事件A與B為對立事件，則事件A＋B為必然事件．其中，正確的結(jié)論是________．(填序號)【解析】由互斥事件與對立事件的定義知只有②④正確．【答案】②④2．某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．【解析】由互斥事件的定義知所求事件應(yīng)為“兩次都沒中靶”．【答案】兩次都沒中靶3．某射手的一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別為,,.則此射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為________．【解析】設(shè)事件A為“在一次射擊中，射中不夠8環(huán)”，則eq\o(A,\s\up6(－))為“在一次射擊中，射中8環(huán)、9環(huán)或10環(huán)”．∴P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝＋＋＝，P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－＝.【答案】4．如果事件A與B是互斥事件，且事件A＋B的概率是，事件A的概率是事件B的概率的3倍，則事件A的概率為________．【解析】依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＋PB＝，,PA＝3PB，))∴P(A)＝.【答案】5．某學(xué)校成立了舞蹈、美術(shù)、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39,32,33個成員，一些成員參加了不止1個小組，具體情況如圖3-4-1所示．隨機(jī)選出一個成員，求：圖3-4-