sp-3拉普拉斯變換

第三章拉普拉斯變換由FTLT用ej

ωt的復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示連續(xù)時間信號，這是傅立葉分析和變換的基礎(chǔ)。

復(fù)指數(shù)函數(shù)的指數(shù)為jωt，它只能隨時間在虛軸上變化，將其變化的范圍擴展到整個復(fù)數(shù)平面，即ej

ωt變成est，其中s=σ+jω，連續(xù)信號就可以看成無窮多項est的疊加。傅里葉變換看成是拉普拉斯變換的特例，LT是FT的推廣。LT的變換域是復(fù)頻率域。LT適用范圍連續(xù)、線性、時不變系統(tǒng)的分析為什么引入LT？FT存在的充要條件是：在無限區(qū)間內(nèi)，信號滿足絕對可積。而有些信號，t->無窮大時，信號不衰減，因而積分不收斂。(即使FT存在也不能用FT的定義式求)有些函數(shù)FT存在，但得借助于沖激函數(shù)表達，有時不方便。實際碰到的信號總是因果信號引入衰減因子與f(t)相乘令則上式被稱為

拉普拉斯變換

式拉普拉斯變換LT定義拉普拉斯反變換ILT定義拉普拉斯變換方法是一種復(fù)頻域變換方法，常稱為s域分析。原函數(shù)若考慮零點處的沖激，則象函數(shù)復(fù)數(shù)拉普拉斯變換拉普拉斯變換衰減因子引入的意義（作用）從數(shù)學(xué)觀點看這是將函數(shù)f(t)乘以因子以使之能滿足絕對可積的條件從物理意義看這是將頻率由w變換為復(fù)頻率s，w只能描述振蕩的重復(fù)頻率，而s不僅能給出重復(fù)頻率，還可以表示振蕩幅度的增長速率或衰減速率。（因為復(fù)數(shù)s可以同時提供兩種信息）拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換LT與ILT定義與傅里葉變換的關(guān)系與單邊LT的關(guān)系因果信號的單邊LT與雙邊LT是一樣的。單邊拉氏變換對于分析具有初始條件的線性常系數(shù)微分方程描述的因果系統(tǒng)具有重要意義。LT相對于FT引入了衰減因子，把增長信號的這種增長“壓下去”LT的收斂域壓不下去的原因有兩種：一是以現(xiàn)在這種形式的衰減因子，根本不可能使乘積信號衰減下來，如一些比指數(shù)函數(shù)增幅更快的函數(shù)；二是衰減因子選擇不適當(dāng)-----如果衰減因子選得適當(dāng)，拉氏變換還是存在的，這就涉及到下面我們要講的LT的收斂域問題了。

問題：如果壓不下去怎么辦？ROC：使f(t)的LT存在的s的取值范圍為LT的收斂域，簡記為ROC。例3.1試求信號的雙邊拉氏變換。LT的收斂域上述積分只有當(dāng)

，即

時才收斂，于是

如果a為正，那么F(s)就能在

=0處求值，即

上式表示

=0時的拉氏變換，等于傅里葉變換；如果a為負，拉氏變換仍存在，但傅里葉變換不存在,例3.2試求信號的雙邊拉氏變換。LT的收斂域解：根據(jù)雙邊拉氏變換的定義，可求得信號的雙邊拉氏變換為上述積分只有當(dāng)

，即

時才收斂，于是

,例3.1與例3.2中的兩個信號是不同的，但它們的拉氏變換結(jié)果卻是一樣的!不過，兩個信號的拉氏變換能成立的條件(即LT的ROC)卻不同。LT的收斂域定義拉氏變換收斂域的必要性。從定義出發(fā)，變換結(jié)果只在特定的域(ROC)內(nèi)才能成立；從區(qū)分不同信號的相同變換結(jié)果出發(fā)，變換結(jié)果不能孤立存在，需要標(biāo)明其存在的ROC才有意義。特別地，對于單邊拉氏變換，由于其只能適用于因果信號，故其以收斂域位于收斂軸的右邊，其形式比較簡單。例3.1和3.2的ROCLT的收斂域常見函數(shù)的LT(1)階躍函數(shù)上式積分在Re[s]>0時收斂，故同理，可求出-u(-t)的雙邊拉氏變換為：可見，u(t)與-u(-t)具有相同的雙邊拉氏式，但ROC不相同。常見函數(shù)的LT(2)指數(shù)函數(shù),Re[s]>-a,其中a可正可負(3)

(n是正整數(shù))

(4)沖激函數(shù)

ROC為整個s平面P92表3-1，注意必須注明ROC常見函數(shù)的LTs平面s平面LT的性質(zhì)線性復(fù)頻域平移線性推廣時域平移單邊LT雙邊LT尺度變換單邊LT雙邊LT當(dāng)時域反褶時，LB[f(-t)]=F(-s)

LT的性質(zhì)LT的性質(zhì)共軛特性若f(t)是實函數(shù)，則時域微分單邊LT雙邊LT時域積分單邊LT雙邊LT復(fù)頻域微分LT的性質(zhì)其中

是f(t)積分式在t=0的取值。

頻域積分LT的性質(zhì)卷積定理

同理還可得到頻域卷積定理（也稱時域相乘定理）

初值和終值定理使用條件：信號是因果信號，且在時域不包含沖激或高階奇異函數(shù)。計算方法：注意事項：如果通過該定理求出的初值和終值與實際不符，則計算結(jié)果肯定有誤。但即使初值與終值這兩點與實際符合了，也不能保證所求的LT是正確的。LT的性質(zhì)補充例題

1.求sinωt的拉氏變換？能使用終值定理嗎？LT的性質(zhì)用留數(shù)定理求逆變換用部分分式法求逆變換有理分式分解借助于常見函數(shù)的拉氏變換求解步驟：

1）對分母D(s)因式分解

2）根據(jù)根的情況拆分

3）分別對每項求逆變換LT的逆變換1.所有極點為單階實數(shù)極點LT的逆變換求f(t)解：將F(s)分解為：Eg3.6已知對應(yīng)的逆變換f(t)為：如果已知中ROC為？求f(t)解：將F(s)分解為：對應(yīng)的逆變換f(t)為：如果已知中ROC為1.所有極點為單階實數(shù)極點LT的逆變換Eg3.7已知求f(t)解：長除法將F(s)變換為：對應(yīng)的逆變換f(t)為：分解F(s)：LT的逆變換2.極點中有多重實根Eg3.8已知求f(t)解：將F(s)寫成展開式：待定系數(shù)K2可以用下式求分別求得K11~K13LT的逆變換2.極點中有多重實根于是得逆變換3.極點中含有共軛復(fù)根LT的逆變換Eg3.9已知求f(t)解：將F(s)寫成展開式：待定系數(shù)法可求得系數(shù)3.極點中含有共軛復(fù)根LT的逆變換Eg3.9已知求f(t)解：將F(s)寫成：所以原函數(shù)為：(1)

F(s)為有理分式：利用部分分式分解和查表的方法求逆變換，無需引用留數(shù)定理。(2)

F(s)為有理分式與

相乘：可借助拉氏變換的時域平移性質(zhì)，用部分分式法求解逆變換。(3)

F(s)為無理函數(shù)：需利用留數(shù)定理逆變換。但是這種情況在實際系統(tǒng)中很少碰到